Tarkastellaan äärellistä kommutatiivista rengasta, joka ei välttämättä ole kokonaisalue. Rengas sisältää nolla-alkion ja siitä erillisen yksiköiden ryhmän. Ovatko kaikki muut renkaan alkiot tällöin nollasta eroavia nollantekijöitä?
Jos ovat, niin miten tämä todistetaan?
Jos eivät, niin mikä olisi yksinkertaisin vastaesimerkki?
Nollasta eroavat nollantekijät?
34676+56786=80352
7
106
Vastaukset
- Integers
Tutkittaessa tällaisia väitteitä, kannattaa monesti ensin testata väitteen paikkaansa pitävyyttä joissakin yksinkertaisissa tapauksissa. Renkaiden teoriassa esimerkiksi kokonaislukujen rengas on hyvä prototyyppi renkaasta.
- MesiErkki
Esim. jäännösluokkarenkaassa Z_10 yksiköitä ovat alkiot 1, 3, 7 ja 9, sillä 1*1=3*7=9*9=1. Alkiot 2,4,5,6 ja 8 ovat nollasta eroavia nollantekijöitä, sillä mm. 2*5=4*5=5*6=5*8=0. Siis väite pitää tässä tapauksessa paikkansa.
- Tarkkana nyt
Integers ei ilmeisesti ole lukenut kysymystä kunnolla, koska siinähän nimenomaan puhutaan äärellisestä renkaasta.
9236:n vastaukset alempana ovat hyviä.
- algeb9236
Olkoon x tämän renkaan alkio joka ei ole nolla tai nollanjakaja.
Tällöin
ax =!= bx kaikilla a=!=b (muuten (a-b)x=0 ja (a-b) ei ole kuitenkaan nolla).
Siis kuvaus
a -> ax on injektio renkaalta itselleen. Koska rengas on äärellinen, on kuvauks myös surjektio. Näin ollen myös ykkönen saavutetaan jollain renkaan alkiolla eli x:lle löytyy käänteisalkio.- algb9236
Joten vastatakseni kysymykseen: Ovat. Jos x ei ole nolla eikä kääntyvä, niin sen täytyy edellisen nojalla olla nollanjakaja (sillä osoitettiin, että jos se ei ole nollanjakaja niin se on kääntyvä).
- alg9236
algb9236 kirjoitti:
Joten vastatakseni kysymykseen: Ovat. Jos x ei ole nolla eikä kääntyvä, niin sen täytyy edellisen nojalla olla nollanjakaja (sillä osoitettiin, että jos se ei ole nollanjakaja niin se on kääntyvä).
Vielä lisäys: Ajattelin jo ettei tuota kommutatiivisuutta edes tarvittaisi mutta kyllähän se tuossa tarvitaan kun löydetään vain alkio a, jolle ax=1, jolloin kommutatiivisuuden nojalla a on x:n käänteisalkio.
En nyt kyllä ihan heti keksi epäkommutatiivista esimerkkiäkään, jossa olisi ei-nollanjakaja, ei-kääntyvä alkio...
Ja eipä sellaista löydykään ; ) sillä samalla tavalla löydetään x:lle oikea käänteisalkio ja kun on löydetty oikea ja vasen käänteisalkio, niin tiedetään, että x on kääntyvä ja käänteisalkio = vasen käänteisalkio = oikea käänteisalkio:
Jos ax = 1 ja xb = 1, niin
b = axb = a. - 45776+38556=73222
alg9236 kirjoitti:
Vielä lisäys: Ajattelin jo ettei tuota kommutatiivisuutta edes tarvittaisi mutta kyllähän se tuossa tarvitaan kun löydetään vain alkio a, jolle ax=1, jolloin kommutatiivisuuden nojalla a on x:n käänteisalkio.
En nyt kyllä ihan heti keksi epäkommutatiivista esimerkkiäkään, jossa olisi ei-nollanjakaja, ei-kääntyvä alkio...
Ja eipä sellaista löydykään ; ) sillä samalla tavalla löydetään x:lle oikea käänteisalkio ja kun on löydetty oikea ja vasen käänteisalkio, niin tiedetään, että x on kääntyvä ja käänteisalkio = vasen käänteisalkio = oikea käänteisalkio:
Jos ax = 1 ja xb = 1, niin
b = axb = a.Tarkemmin tuo päättely menee kai näin:
b=1b=(ax)b=a(xb)=a1=a
Tästä voidaan siis päätellä, että jos x:llä on sekä vasemmanpuoleinen, että oikeanpuoleinen käänteisalkio, niin ne ovat samat.
Oleellista on myös se, että vasemmanpuoleinen ja oikeanpuoleinen ykkösalkio ovat samat ja niitä on vain yksi kappale ts. ykkösalkio on yksikäsitteinen.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
KUPSinpelaaja vangittu törkeästä rikoksesta
Tänään tuli uutinen että Kupsin sopimuspelaajs vangittu törkeästä rikoksesta epäiltynä. Kuka pelaaja kysressä ja mikä ri181625- 291319
Minun oma kaivattuni
Ei ole mikään ilkeä kiusaajatyyppi, vaan sivistynyt ja fiksu sekä ystävällinen ihminen, ja arvostan häntä suuresti. Raka641224Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha111122Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.281066Tervehdys!
Sä voit poistaa nää kaikki, mut mä kysyn silti A:lta sen kokemuksia sun käytöksestä eron jälkeen. Btw, miks haluut sabot651046Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?111036Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se61001Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan30999Kaupungin valtuuston yleisötilaisuus
YouTubessa katsojia 76 Buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha buahahaha2996