Pisteiden isometrinen upottaminen

Siis yksinkertaisemmin (?) sanottuna:

Miten voidaan metrinen avaruus X = ( {1, 2, ..., k}, diskreetti metriikka) upottaa R^n:ään (normaali metriikka) siten, että kuvaus olisi mahdollisimman lähellä isometriaa?

Siis tarkemmin: jos F = { f : X -> R^n | f on upotus (jatkuva injektio) }, niin kysytään lukua

d = inf ( | 1 - f(s) | ), missä infimum on yli funktioiden f € F.

Ja jos tämä infimum saavutetaan jollain f € F, niin millä kaikilla?

Tehtävä vaikuttaa huonosti määriteltynä koska ei ole annettu kriteeriä sille, miten lasketaan poikkeama ideaalitilanteesta jossa kaikki pisteet ovat yhtä lähellä toisiaan. Esim. neliöllä pisteiden etäisyydet ovat 1, 1, 1, 1, sqrt2, sqrt2. Miten lasketaan poikkeama?

Otanpa sen verran takaisin, että en olekaan ihan varma onko sama asia "missä metriikassa" tätä minimoi.

Neliösummilla on helpompi laskea, joten lähdin tuota neljän pisteen sijoittamista tasoon miettimään näin:

Ensimmäinen piste voidaan sijoittaa origoon ja toinen kiertää pisteeksi (1, 0), sillä siirto ja kierto ovat isometrioita. Nyt on siis vielä kaksi pistettä vapaasti sijoitettavissa, eli neljä vapaata koordinaattia. Olkoot ne (x, y, z, w) ja sijoitettavat pisteet A = (x, y) ja B = (z, w). Halutaan, että neljän pisteen kuviossa kaikki pisteiden väliset etäisyydet ovat mahdollisimman lähellä lukua d = viides muuttuja (d voidaan siis valita skaalauksen avulla).

Olisi voitu myös valita d=1 ja antaa x-akselilla olevan pisteen (joka nyt valittu pisteeksi (1,0)) liikkua x-akselilla.

Nyt sain minivoitaksi lausekkeeksi

(d-x^2-y^2)^2
(d-z^2-w^2)^2
(d-(x-z)^2-(y-w)^2)^2
(d-(1-x)^2-y^2)^2
(d-(1-z)^2-w^2)^2
(d-1)^2