Kaksi tilavuuslaskua

16+10

1. Yhtälön x^2/a^2 y^2/b^2= 1 kuvaaja pyörähtää
a) x-akselin b) y-akselin ympäri.

Kummassako tapauksessa pyörähdyskappaleen tilavuus on
suurempi, kun tiedetään, että a > b > 0 ?

2. Paraabelin x = 4y^2, 0 < x < 36 sisään piirretään suorakulmio siten, että
kaksi kärkeä on paraabelin kaarella ja yksi sivu suoralla x = 36. Kun
sanotun rakennelman annetaan pyörähtää x-akselin ympäri välillä (siis 0
... 36) syntyy paraboloidin segmentti ja sen sisään suora ympyrälieriö.
Laske lieriön maksimitilavuuden ja pyörähdysparaboloidin tilavuuksien suhde.

Tuossa kohdassa 1 mietin, että pitäisikö nimittäjät jotenkin eliminoida pois ? Voisin silloin ymmärtääkkin, mitä tuossa kysytään.

7

131

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 2+15

      Kun lasket pyörähdystä x-akselin ympäri, muunna ensin muotoon
      y^2 = b^2(1-x^2/a^2)
      Siinä pitää integroida ympyräkiekkoja joiden säde on y ja paksuus dx. Vastaukseksi tulee vakio kertaa ab^2. Symmetriasysistä nähdään että pyörähdyksestä y-akselin ympäri tulee vastaavasti vakio kertaa a^2b. Siitä nähdään että pyörähdys y-akselin ympäri antaa suuremman tilavuuden.

      • Kertoisko joku ?

        Sain a-kohdasta tilavuudeksi V= 4/3(pii)ab^2

        ja b-kohdasta V= 4/3(pii)a^2b.

        Mistä voin olettaa, että b-kohdassa tilavuus on suurempi kuin a-kohdassa ? Esim. Jos a ja b ovatkin yhtä suuret.

      • BananaBoy.
        Kertoisko joku ? kirjoitti:

        Sain a-kohdasta tilavuudeksi V= 4/3(pii)ab^2

        ja b-kohdasta V= 4/3(pii)a^2b.

        Mistä voin olettaa, että b-kohdassa tilavuus on suurempi kuin a-kohdassa ? Esim. Jos a ja b ovatkin yhtä suuret.

        Olet saanut molemmista kohdista oikean vastauksen.

        "Jos a ja b ovatkin yhtä suuret"
        Tehtävänannossa sanotaan, että a > b > 0.

        V_x = ( 4πab² ) / 3 = b * ( 4πab ) / 3
        V_y = ( 4πa²b ) / 3 = a * ( 4πab ) / 3
        Tuosta nähdään aika selvästi tilavuuksien suuruusjärjestys.

      • Kertoisko joku ?
        BananaBoy. kirjoitti:

        Olet saanut molemmista kohdista oikean vastauksen.

        "Jos a ja b ovatkin yhtä suuret"
        Tehtävänannossa sanotaan, että a > b > 0.

        V_x = ( 4πab² ) / 3 = b * ( 4πab ) / 3
        V_y = ( 4πa²b ) / 3 = a * ( 4πab ) / 3
        Tuosta nähdään aika selvästi tilavuuksien suuruusjärjestys.

        Aivan. En kiinnittänyt huomiota tuohon, vaan oletin, että molempien tulisi olla nollaa suurempia. Kiitokset selvennyksestä !

    • 60396898908698390869

      Tarvitsetko vielä apua tuohon kakkoseen?

      • Ketjun aloittaja

        Ihan vaan jos viitsit.

    • 57874850847085738476

      Ympyrälieriön suurin mahdollinen tilavuus saadaan määrittämällä funktion
      V(x) = π ( 36x - x² ) / 4, missä 0 ≤ x ≤ 36
      suurin arvo.

      Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää muuttujan y suhteen rakennettua funktiota
      V(y) = 4π ( 9y² - y^4 ), missä 0 ≤ y ≤ 3.

      Molemmat funktiot on muodostettu ympyrälieriön tilavuuden kaavan
      V = π r² h
      pohjalta.
      Tässä tapauksessa:
      r² = x / 4 = y²
      h = 36 - x = 36 - 4y²

      Palataan sitten funktion V(x) suurimman arvon määrittämiseen.
      V´(x) = π ( 36 - 2x ) / 4
      V´(x) = 0 x = 18
      Kyseessä on maksimikohta, mikä voidaan perustella esimerkiksi kulkukaavion tai toisen derivaatan avulla.
      V(18) = π ( 36 * 18 - 18² ) / 4 = 81π
      Tämä on ympyrälieriön maksimitilavuus.

      Pyörähdysparaboloidin tilavuus:
      36
      ∫ ( π x / 4 ) dx
      0
      tai vaihtoehtoisesti
      3
      ∫ 8π ( 9y - y³ ) dy
      0

      Toivottavasti tästä oli apua.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mitä hittoa tapahtuu nuorille miehillemme?

      Mikä on saanut heidän päänsä sekaisin ja kadottamaan järjellisyytensä normaalista elämästä ja ryhtymään hörhöiksi? https
      Maailman menoa
      271
      2506

    2. Muistatko kun kerroin...

      että palelen..? Myös nyt on kylmä. Tahtoisin peittosi alle.
      Ikävä
      39
      1408

    3. En sitten aio sinua odotella

      Olen ollut omasta halustani yksin, mutta jossain vaiheessa aion etsiä seuraa. Tämä on aivan naurettavaa pelleilyä. Jos e
      Ikävä
      61
      1382

    4. Martina jättää triathlonin: "Aika kääntää sivua"

      Martina kirjoittaa vapaasti natiivienkusta suomeen käännetyssä tunteikkaassa tekstissä Instassaan. Martina kertoo olevan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      22
      1166

    5. Hei, vain sinä voit tehdä sen.

      Only you, can make this world seem right Only you, can make the darkness bright Only you and you alone Can make a change
      Ikävä
      7
      1144

    6. Kuka sinä oikeen olet

      Joka kirjoittelet usein minun kanssa täällä? Olen tunnistanut samaksi kirjoittajaksi sinut. Miksi et anna mitään vinkkej
      Ikävä
      48
      1136

    7. En vain ole riittävä

      Muutenhan haluaisit minut oikeasti ja tekisit jotain sen eteen. Joo, ja kun et varmaan halua edes leikisti. Kaikki on o
      Ikävä
      26
      1133

    8. Kellä on rumin tukka?

      Kuka on haapaveden rumin ihminen? Vinot silmät ja ikivanha mersu?
      Haapavesi
      9
      1111

    9. Oon pahoillani että

      Tapasit näin hyödyttömän, arvottoman, ruman ja tylsän ihmisen niinku minä :(
      Ikävä
      46
      1073

    10. Kuinka paljon nalle harmittaa

      Kun mä saan panna hehkua ja sä et? :)
      Ikävä
      6
      1042
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt