Osoita yleispätevästi, että peräkkäisten kokonaislukujen neliöiden erotukset muodostavat aritmeettisen sarjan.
Apuja kaivattaisiin!
todistustehtävä aritmeettisesta sarjasta
jajwuwb
4
52
Vastaukset
- aeija
Yritetään nyt osoittaa se siten, että lasketaan sen sarjan summa kahdella tavalla, tiedä sitten onko se sitten yleispätevää, vaiko vain liian hankalaa:
http://aijaa.com/YYD1EF - 9+8
Aritmeettisen sarjan n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on sarjan ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Tässä sarjassa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Sarjan toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Sarjan kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen sarjan määritelmään ja heti nähdään, että:
Kyseessä on aritmeettinen sarja, jonka eka termi on (2m 1), ja jonka d=2, eli
n:s termi on (2m 1) ((n-1)2).
Tarkistetaan laskemalla kymmenes termi: (2m 1) (9*2)=2m 19
ja sama termi virallisesti: (m 10)^2-(m 9)^2= 20m 100-18m-81=2m 19
Paikkansa pitää aritmeettinen sarja ainakin positiivisilla luvuilla. Pitäisi varmaan osoittaa paikkansa pitävyys myös negatiivisilla luvuilla, tai pitää se tietenkin vaikka m olisikin negatiivinen.- 9+8
On tässä vähän säätämistä.
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), jossa a on jonon ensimmäinen termi, ja d on kahden peräkkäisen erotus.
Meidän jonossa ensimmäinen termi on: (m 1)^2-(m^2)= (2m) 1, m= joku kok.luku
Jonon toinen termi on: (m 2)^2-(m 1)^2=(2m) 3.
Jonon kolmas termi on: (m 3)^2-(m 2)^2=(2m) 5
Jonon n:s termi on: (m n)^2-(m n-1)^2= 2m-1 2n
Tätä pitää nyt verrata siihen aritmeettisen jonon määritelmään:
Aritmeettisen jonon n:s termi on a ((n-1)d), eli tulee:
a ((n-1)d)= 2m-1 2n
a-d nd=2m-1 2n
Tuosta tulee yhtälöpari:
a-d=2m-1
nd=2n=>d=2, ja a=2m 1
Näin ollen se meidän erotuksista syntyvä jono pystytään vääntämään
aritmeettisen jonon muotoon, ja sen aritmeettisen jonon n:s termi on:
(2m 1) (n-1)2,
(m on joku kokonaisluku, ja jos nyt laitetaan m=0 , tulee jono 1,3,5,7...
jos laitetaan m=-2, tulee jono: -3,-1,1,3...
jos laitetaan m=-5, tulee jono: -9,-7,-5,-3...
jos laitetaan m=5, tulee jono: 11,13,15,17...)
- 7+17
Onkohan tuossa mennyt sekaisin aritmeettiset lukujonot ja sarjat? Ja yleispätevässä todistuksessa ei riitä että todetaan säännönmukaisuus joillakin luvuilla.
Positiivisilla kokonaisluvuilla n 1 ja n tuo erotus (n:s erotus) on
(n 1)^2 - n^2 = 2*n 1
Voidaan myös kirjoittaa muotoon 1 n*2 eli nuo erotukset muodostavat aritmeettisen lukujonon jonka ensimmäinen termi on 1 ja perättäisten termien erotus on 2.
Sama saadaan negatiivisilla kokonaisluvuilla:
(-n-1)^2 -(-n)^2 = 2*n 1 (n on positiivinen kokonaisluku)
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 271878
Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha231818Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan
Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.1181809Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.761592Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?601432Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se201246Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan371153Avaa sydämesi mulle
❤ ❤❤ Tahdon pelkkää hyvää sulle Sillä ilmeisesti puhumalla Avoimesti välillämme Kaikki taas selviää Kerro kaikki, tahdo381138- 111128
Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k101127