Integraalin suppeneminen?

Kuiskäy?

Tarkastellaan funktiota f(x)=1/(ln(x))^1000.

Integroidaan funktio f(x) Neperin luvusta e (luonnollisten logaritmien kantaluku) äärettömään.

Kysymys kuuluu, suppeneeko tämä integraali?

Jos ei suppene, niin miten tämä voidaan helpoimmin todistaa?

Jos suppenee, niin millaisen arvon integraali saa, tai miten sitä voidaan arvioida?

5

118

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • 13+20

      Vertaa tuota funktiota funktioon 1/x, joka tunnetusti ei suppene kun integroidaan äärettömään. Jos valitaan vaikkapa x=e^a, saadaan (ln(x))^1000=a^1000. Kun a kasvaa kyllin suureksi, e^a > a^1000 eli hyvin suurilla arvoilla tarkasteltava integraali antaa suurempia arvoja kuin 1/x integraali.

      • 1+3

        Vielä tuo että e^a > a^1000; yhtäpitävää on että a > 1000*lna ja noin on kun a:n arvo on esim. > 10 000, koska myös derivaatoille pätee sama suuruusjärjestys. Koska 1/x integraali äärettömään ei suppene vaikka integrointi aloitetaan mistä tahansa äärellisestä luvusta, pätee sama kyseenä olevalle funktiolle.

    • inffiniitti
      • 12+20

        Tuolla vertailuperiaatteella ei tässä ole mitään tekemistä, mutta jos tuon saa muutettua integraaliksi 1 to infinite (e^y/y^1000)dy, niin välillä 1---ääretön tuo integroitava funktio saa ensin arvon 1, kun y=1, sitten se pienenee ja kohdassa y=1000 se saa pienimmän arvonsa (e/1000)^1000, mutta ei mene ikinä nollaan.
        Sen jälkeen se lähtee kasvamaan ja lim y lähenee ääretöntä,( e^y/y^1000 )on ääretön, (sen saa käyttämällä tuhannen kertaa Hospitaalia, jolloin tulee (e^y/1000!), ja tuohon sijoittamalla y=ääretön tulee ääretön.)
        Määrätty integraali on pinta-ala, ja välillä y=1---ääretön, tuo pinta-ala on ääretön, joten tuo funktio hajaantuu, eli se alkuperäinenkin hajaantuu.

      • 15+19
        12+20 kirjoitti:

        Tuolla vertailuperiaatteella ei tässä ole mitään tekemistä, mutta jos tuon saa muutettua integraaliksi 1 to infinite (e^y/y^1000)dy, niin välillä 1---ääretön tuo integroitava funktio saa ensin arvon 1, kun y=1, sitten se pienenee ja kohdassa y=1000 se saa pienimmän arvonsa (e/1000)^1000, mutta ei mene ikinä nollaan.
        Sen jälkeen se lähtee kasvamaan ja lim y lähenee ääretöntä,( e^y/y^1000 )on ääretön, (sen saa käyttämällä tuhannen kertaa Hospitaalia, jolloin tulee (e^y/1000!), ja tuohon sijoittamalla y=ääretön tulee ääretön.)
        Määrätty integraali on pinta-ala, ja välillä y=1---ääretön, tuo pinta-ala on ääretön, joten tuo funktio hajaantuu, eli se alkuperäinenkin hajaantuu.

        Niin, jos vähän tarkemmin katsoo, nuo kaksi esitettyä ratkaisua ovat olennaisesti samat, vähän eri tavalla esitettynä.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. En ole rakastunut

      Tai ihastunut sinuun. Kiinnostuin kyllä heti koska erotut massasta.
      Ikävä
      378
      3774

    2. Miksi suomalaisia vainajia säilytetään kylmäkonteissa ulkona? Näin kuolleita kohdellaan Suomessa

      Suomesta ei löydy enää tilaa kuolleille. Tänä päivänä vainajia säilytetään ympäri maata ulkona kylmäkonteissa. Kontit
      Maailman menoa
      210
      1861

    3. Olen ärtynyt koska

      minulla on tunteita sinua kohtaan. Tunteita joita en voi ilmaista. Kaipaan kaikkea sinussa. Siksi olen välillä hankala.
      Ikävä
      67
      1404

    4. Suomalaiset marjat loppuvat

      Suomalaiset marjat mätänevät metsään, koska ulkomaalaiset, lähinnä thaimaalaiset poimijat ovat huolehtineet suomalaisten
      Maailman menoa
      152
      1285

    5. Joku tukeva täti syyttää suomalaisia rasisteiksi Hesarissa

      ”Kaikki valkoiset ihmiset Suomessa ovat kasvaneet rasistiseen ajatteluun”, sanoo Maija Laura Kauhanen: https://www.hs.
      Maailman menoa
      167
      951

    6. Yhteiskuntaa hyväksi käyttäjät

      Kyllä täällä Suomussalmellakin osaavat käyttää näitä Suomen etuja hyväksi. Vuokrataan ns. asunto lapselle että saa asu
      Suomussalmi
      58
      900

    7. Puhutko toisista ihmisistä

      pahaa, jotta näyttäytyisit itse jotenkin paremmassa valossa?
      Ikävä
      117
      893

    8. Mitä teen väärin?

      Alkaa pikku hiljaa tympäsemään ainainen pakkien saanti. Eka ennen kun nähdään, miehet ovat kiinnostuneita viestittelemää
      Sinkut
      117
      870

    9. Haluaisin tietää

      mikä saa sinut tuntemaan olosi rakastetuksi. Ja sitten haluaisin mahdollisuuden tehdä juuri niin. 💔
      Ikävä
      51
      858

    10. Oli mukava tavata irl

      Sattuma toi sinut matkani varrelle. Ihmettelin sitä silloin, ehkä vähän vieläkin. Oli ilo jutella ja tuntea, vaikka nyt
      Ikävä
      24
      849
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt