Lineaarisen optimoinnin sanallinen tehtävä

Nyt iski silmiin nuo tuntimäärät 200 ja 250, kun viikossa on 7x24=168h... Jos muutettaisiin se kuukaudessa käytössä olevaan tuntimäärään 30x24=720.. Viikottainen valmistusmäärä voisi olla vaikka 900kpl ja tehtävässä ei huomioida mitään vkl vapaita :P

Ja jos koneet tuottavat samanverran pv:ssä näillä eri tuntimäärillä, niin silloin nuo 1h käytettävät koneet olisivat nopeampia kuin 2h koneet, eli karkeasti sanottuna tuplasti parempia.

Enpä ole lineaarista optimointia syvällisemmin opiskellut, joskus hiukan silmäillyt tehtäviä. Tuossa kai auttaa graafinen ratkaisu. Eli otetaan koordinaatisto jossa vaikkapa x-akselilla on tikkaiden määrä ja y-akselilla mattotelineiden määrä. Etsitään sitten x-akselista piste joka vastaa maksimaalisesti valmistettavien tikkaiden määrää; se on 100 sillä silloin konetta A käytetään koko ajan tikkaiden valmistukseen. Vastaavasti etsitään y-akselilta mattotelineiden maksimaalista valmistusmäärää vastaava piste; se on 125.

Sitten noista pisteitä lähtien piirretään suorat jotka kuvaavat mahdollisia tuotantomääriä, jos vähennetään yhtä, voidaan valmistaa enemmän toista. Nuo suorat leikkaavat yhdessä pisteessä. Syntyy kahden suoran muodostama murtoviiva jolla on tuo optimiratkaisu.

Tehdään tästä nyt tavanomainen lineaarinen optimointitehtävä.

Olkoon x tikkaiden määrä ja y mattotelineiden määrä.

Objektifunktio: Maksimoitava 20x 30y.
Rajoitukset:
Kone A: 2x y = 0.

Sallittujen ratkaisujen alue x,y-tasossa on monikulmio, joka on suoran x = 0 oikealla puolella, suoran y = 0 yläpuolella, suoran 2x y = 200 vasemmalla puolella sekä suoran x 2y = 250 vasemmalla puolella. On syytä piirtää kuva.

Objektifunktion tasa-arvoviivat (korkeuskäyrät) ovat muotoa 20x 30y = c (yhdensuuntaisia suoria). Optimipiste (x,y), joka antaa maksimin sallitussa alueessa objektifunktiolle on sellainen alueen kulmapiste, missä ylin korkeuskäyrä hipaisee sallittujen ratkaisujen aluetta. Kulmapisteen x ja y-koordinaatit antavat parhaan ratkaisun.

Tällaista graafista ratkaisumeneelmää voi käyttää vain, jos muuttujia on kaksi. Muuten on käytettävä tietokoneohjelmaa, joka suorittaa Simplex-algoritmin. Tällainen löytyy mm kehittyneemmissä Excel-versioissa.

Olkoon x tikkaiden määrä ja y mattotelineiden määrä.

Määritetään funktion
f: ℝ² -> ℝ, f(x, y) = 20x 30y
suurin arvo joukossa
D = { (x, y) ∈ ℝ²: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x y ≤ 200, x 2y ≤ 250 }.

Joukko D on selvästi kompakti, joten jatkuvana funktiona f saavuttaa siinä suurimman arvonsa.

∇f = (20, 30) ≠ (0, 0) kaikilla (x, y) ∈ D
Näin ollen suurinta arvoa ei saavuteta joukon D sisäpisteiden joukossa.

Tutkimalla joukon D reunaa huomataan, että suurin arvo saavutetaan jossain seuraavista pisteistä: (0, 0), (100, 0), (0, 125) ja (50, 100)
f(0, 0) = 20 * 0 30 * 0 = 0
f(100, 0) = 20 * 100 30 * 0 = 2000
f(0, 125) = 20 * 0 30 * 125 = 3750
f(50, 100) = 20 * 50 30 * 100 = 4000