Lukion pitkän matematiika integraalilaskennan kirjassa oli seuraava tehtävä:
"Kuutio, jonka särmän pituus on 1, leikataan suoralla kahteen osaan yhdestä kärjestä alkaen niin, että kahdelle vierekkäiselle sivuille syntyvät leikkausurat ovat muodoltaan neljännesympyrän kaaria. Laske pienemmän osan tilavuus."
No, jos katsotaan kuutiota niin, että nähdään vain yksi tahko, ja tässä tapauksessa neljännesympyrän kaarii kulkee tahkon vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan. Seuraavaksi käännetään kuutiota 45 astetta vastapäivään ja poistetaan tuo tehtävänannon leikkauksen jälkeen muodostuva suurempi osa. Nyt kun katsotaan tästä perspektiivistä tuota pienempää osaa, muodostuva kaari(vasemmalla puolella) näyttää ellipsin neljännekseltä.
Sain tehtävästä oikean vastauksen hyödyntäen ellipsin yhtälöä. Opelle ei kelvannut, kun en ollut osannut perustella, miksi muodostuva kaari on ellipsin neljännes.
Kysymys kuuluu: miten voi perustella, että kaari ellipsin neljännes? Onko se edes sitä?
Pähkinä
8
77
Vastaukset
- Ainakin näin
Sijoita kappale aluksi (kolmiulotteiseen) koordinaatistoon. Määritä sitten leikkauskäyrän yhtälö muuttujien x, y ja z avulla. Tämän jälkeen voit muodostaa projektion, josta näet, onko kyseessä ellipsin osa.
- aeija
Kyllähän se on ellipsi, ja jotenkin näin se on perusteltavissa. Mutta on se teidän opettaja on kyllä täydellinen törppö, jos ei ole ratkaisua hyväksynyt, jossa olet käyttänyt tuota ellipsin yhtälöä. Se ratkaisu olisikin mukava nähdä, minä en edes yritä ratkaista sitä ellipseillä, noissa ympyrän kaarissakin on jo vääntämistä.
http://aijaa.com/h75B2w- aeija
Ei täsmää noi koordinaattiakselit tuossa tilavuuslaskussa, y lähtee väärään suuntaan ja x väärästä paikasta, mutta tässä: http://aijaa.com/MRVjsy
- 47658913476897134980
Vastauksen kannalta olisi oleellista myös tietää, ovatko pienemmän kappaleen kaksi leikkauksessa mukana ollutta sivua suurempia vai pienempiä kuin alkuperäisen kuution tahkon pinta-alan puolikas. Pelkästään tuon kuvauksen avulla ei saada yksikäsitteistä kappaletta.
Onko tehtävän yhteydessä jotain kuvaa? - pohdiskelijavaan
Kiitos vastauksista.
Taisin selittää melko sekavasti. Kappale on muuten sama kuin aeijan jälkimmäisen viestin linkissä, mutta neljännesympyrän kaari pullottaa toiseen suuntaan.
Melko simppelihän tuo on. x^2 y^2=1, ratkaistaan tuosta positiivinen y(suorakulmaisen kolmion kateetti), ja edelleen tilavuusalkio on suorakulmainen kolmio, jonka pinta-ala kohdassa x on 1/2y^2. Ja siitä määrätty integraali välillä [-1,0]. Vastaus on 1/3.
Ellipsivastauksessa taisin käyttää tilavuusalkiona suorakulmiota. Suorakulmion korkeus on ellipsin pisteen y-koordinaatti kodassa x. Ja suorakulmion kannan sain kuution pohjatahkoon muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusasta kohdassa x. Ja tästä määrätty integraali välillä [-1/2neliöjuuri2,0]
Yritänpä vielä laskea tuon, jos onnistuisi.- 58690325769058790823
"Kappale on muuten sama kuin aeijan jälkimmäisen viestin linkissä, mutta neljännesympyrän kaari pullottaa toiseen suuntaan"
Sitä minä vähän mietinkin. Aeijan viestin kaltainen tapaus johtaisi integraaleihin, jotka ovat lukiotasolle liian vaikeita. - aeija
58690325769058790823 kirjoitti:
"Kappale on muuten sama kuin aeijan jälkimmäisen viestin linkissä, mutta neljännesympyrän kaari pullottaa toiseen suuntaan"
Sitä minä vähän mietinkin. Aeijan viestin kaltainen tapaus johtaisi integraaleihin, jotka ovat lukiotasolle liian vaikeita.Kyllä se vaan lukion kirjassa oli http://aijaa.com/9c4I66
- pohdiskelijavaan
Onnistuihan tuo.
Sijoitetaan ellipsin yhtälöön tiedot b=1 ja a=1/2neliöjuuri2. Ratkaistaan yhtälöstä positiivinen y. Tämä on siis tilavuusalkion korkeus.
Tilavuusalkion kanta kohdassa x on 2x. Tämä tosin täytyy kääntää -2x, koska integrointiväli on negatiivinen (paitsi päätepiste 0)
Kerrotaan edelliset niin saadaan tilavuusalkion pinta-ala kohdassa x. Ja siitä määrätty integraali välillä [-1/2neliöjuuri2,0]
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan
Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.1371926- 271908
Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha231858Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.851640Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?621448Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se201266Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan371163Avaa sydämesi mulle
❤ ❤❤ Tahdon pelkkää hyvää sulle Sillä ilmeisesti puhumalla Avoimesti välillämme Kaikki taas selviää Kerro kaikki, tahdo381160- 111148
Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k101137