AA
A A A
Opastus ja palaute
liity jäseneksi!

 /   /  /  / ympyrän pinta-alan laskeminen

ympyrän pinta-alan laskeminen

29 Vastausta 7 153 Lukukertaa
perusasiat päässyt unohtumaan.. kertokaapa joku millä kaavalla lasketaan ympyrän pinta-ala?

pii

pii*säde*säde

näin on

Ympyrän ala on

A= pii r*2
3.14 kertaa halkaisijan puolikas toiseen potenssiin.

Jaa juu

Ympyrän säteen neliö kerrottuna piillä.

Näillä

palstoilla r*2 = 2r.
Potenssi tavallisesti merkitään r^2.

Näin se meni – kai?

2r•πk
------- = π6–
cc

Lue: par' erree piikoo perseesee' on yhtä kuin piikuus poes.

Taitaa olla väärin

Tuohon laskuun pitää olla potenssiakin. Mihinkäs se jäi?

Vain vinkkejä

Pyöritä persettäsi perusteelliststi lakanalla (jos on). Pyydä kaveri (jos on) mittaamaan senttinauhalla (jos on) ruskean kuvion läpimitta. Pyydä toinen kaveri (jos on) kertomaan läpimitan puolikas itsellään. Pyydä kolmas kaveri (jos on) tuomaan hyvä nainen paikalle (jos on)). Sitten vaan mittaat kullisi koon, mikä on tosin saatavissa myös väestötietokannasta; 3,14.

Sitten vaan kerrot taskulaskimella (jos o) persalan (jos on vielä) puolikkaan neliön kullikertoimllasi, ja appropoo, siinähän se ympyrän pinta-ala henkilökohtaisesti

Yleispätevän ratkaisun saamiseksi niuhot matemaatikot kyllä käyttävät melkein päinvastaista tapaa (jos on), mutta tämä riittää käytännön tarpeisiin (jos on).

Ympyrän pinta-alasta.

Kaava johtuu seuraavasta:

A = [Integraali] 2pii -> 0 d (theta)
= [integraali] r -> 0 dr
= 2pii * (1/2 pii * r^2) = pii * r^2.

Ja tässä tarvittiin napakoordinaattiesitystä eli:
x = r cos theta ja y = r sin theta.

Miten ...

... niin muka "johtuu"? Höh! Mistäs pii johtuu tuohon integraaliin? Kehäpäätelmät eivät ole kovin luovia.

Tähänpä..

... mieluisasti viisaan Downspringerin aatokset kuulla haluasin, jotta minua ei puusuutarin pojaksi luultaisi ja mainittaisi, kun muille ympyripyöreitä kertoilen.
Heittääkö kaava ympyrjäistä häränpyllyä, ja ajaa itseään takaa, kuin vanha hullu Viertolan sonni? Vai löytyykö piin arvo kiveen koverrettuna Nurmijärven kartanon mailta, vaikka siitä isosta kivestä, jos sammalta rapsuttaa?

Minun tapa perustella kaava.

En ole kysytty viisas Downspringer, mutta vastaanpa silti. Perustelisin ympyrän pinta-alan kaavan seuraavasti:
1. Määritellään pii on ympyrän kehän pituuden suhde halkaisijan pituuteen.
2. Osoitetaan piin olevan vakio riippumatta ympyrän säteestä.
3. Suoritetaan Riemann-integroinnin määritelmässä tarvittava jako, jolla ympyrän pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Kun jakoa tihennetään rajatta, huomataan ympyrän pinta-alan olevan \pi r^2, missä r on ympyrän säde.

Vaan.

... nytpä olen iloinen kuin itsepäinen sonnimulli kevätlaitumella, kun kohdat 1-2 ovat selviä kuin jeesus kaanaan häissä. Mutta kohdat 2-3 pyörivät somaa loogista ympyryrjäistä kehää kuin Viertolan entinen hieho, kun sonni oli karkumatkalla.

Jukolan renkipoikakin uskoo, että vaikka Stieltjes-integraaleiila voi häränpyllyä keikkarehdella, kun sonni on karussa.

Nurmijärvellä uskotaan, että pii on empiirinen tulos, vakio sinänsä, joten ympyrän pinta-alaa ei edes tarvitse varsinaisesti "johtaa", oikeastaan ei saisikaan, koska se johtaa aina kehäpäätelmiin piin kanssa.

Tuusulan kerettiläisellä ja krekiläisellä puolella voi vallita toinen usko.

Ei kehäpäätelmää.

Eipäs tulekaan kehäpäätelmää. Ympyrän kehän pituutta laskettaessä käytetään vaan moneen kertaan Pythagoraan lausetta ja otetaan lopulta raja-arvo. Toisaalta Pythagoraan lauseen todistuksessa ei tarvita piitä missään vaiheessa.

Ympyrän pinta-ala taas palautuu suorakulmioiden pinta-alojen summan raja-arvoon. Tässäkään tapauksessa ei pii tule käyttöön missään vaiheessa.

Epäillä sopii ...

... sillä näinhän pystyisi takaperin neliöimään ympyrän! Pitäisi ensin todistaa, että tuo raja-arvo on oleassa ympyrälle. Mitenkähän se tehdään?
Tuolla tavoin kai voisi, käyttämällä yhä pienepää kateetien jakoa todistaa, että suorakulmaisella kolmiolla a = b + c, eli "sahalaidan" limes yhty hypotenuusaan. Ei yhdy, ja kai vielä vahemmän ympyrän kehään.
Valaisetko, jos tiedät paremmin!
Sitäpaitsi, mistä se pii ilmestyisi Pythagoraan kautta, jos noin olisikin?

Valaisua

> ... sillä näinhän pystyisi takaperin neliöimään >ympyrän!
Ei pysty. Ympyrän neliöiminen johtaa ristiriitaan luvun pii transkendentiaalisuuden kanssa. Lindemann osoitti piin transkendenttiseksi.

>Pitäisi ensin todistaa, että tuo raja-arvo on >oleassa ympyrälle. Mitenkähän se tehdään?

Jaa ympyrä monikulmioihin joiden kärkipisteet ovat ympyrän kehällä. Laske syntyneen monikulmion piirin raja-arvo kun monikulmion kulmien lukumäärä kasvaa rajatta ja monikulmion pisimmän sivun pituus on lähestyy nollaa.

> Tuolla tavoin kai voisi, käyttämällä yhä
> pienepää kateetien jakoa todistaa, että
> suorakulmaisella kolmiolla a = b + c

Mitä ovat a, b ja c? Sivujen pituuksia?. Todistus ei onnistu. Pythagoraan lause on todistettu oikeaksi, joten sitä ei pysty tällä yrityksellä osoittamaan vääräksi. Lause on nimittäin todistettu vetoamatta ainoaankaan ympyrää koskevaan tulokseen. Kannattaa harjoituksen vuoksi todistaa Pythagoraan lause lähtien tasogeometrian aksioomista. Ongelma johtuu siitä, että päättelyssä a=b+c kuljetaan koko ajan joko vaaka- tai pystysuoraan, viistosuuntaista liikkumista ei tapahdu.

> Sitäpaitsi, mistä se pii ilmestyisi Pythagoraan > kautta, jos noin olisikin?

Sarjakehitelmän raja-arvosta. Ympyrää siis approksimoidaan monikulmioilla ja lasketaan piirin pituuden raja-arvo, kuten yllä selitin.

Kehottaisin tutustumaan euklidisen tasogeometrian aksiomeihin ja johtaa tulokset sieltä mikäli epäilet jotain kohtaa. Sieltä lähtien voidaan tarvittavat tulokset johtaa, mutta se vaatii paljon työtä.

Alexis Kivexis

...aamu sarastella ympyrjäisessä mielessäni synkkänä talvipäivänä.

Kirjoittaisitko tuon sarjakehitelmän alkukaavan ja mainitset, mikä sarjakehitelmämetodi (Fourier?) on käypä? Eipähän tule aika pitkäksi :-). Tuntuu äkkipäätään kokeiltuna, että homma hajoaa käsiin, kun monikulmion sivujen lkm --> oo, en saa suppenemaan. Voi olla joku laskuvirhekin, tai tai möhläys jo kaavan muotoilussa.

En epäile myöntää, jos (ja varmaan kun) olen väärässä, mutta kiva olisi oppia oikeaan ihan kantapään kautta, ja samalla palauttaa mieleen vähän lasku- ja johtamisrutiinia.

Tasogeometrian perusaksioomat kyllä tunnen.
säteen neliö kertaa 3,1416

Puoliksi täsmällinen perustelu

Lähdetään siitä, että ympyrän kehän pituus on Pi * 2 * r, missä r on ympyrän säde. Jaetaan ympyrä n kpl yhteneväiseen tasakylkiseen kolmioon, joiden yhteinen kärki on ympyrän keskipisteessä ja kantakulmat ovat ympyrän kehällä. Kun n on suuri, on kantasivujen pituus noin Pi * 2 * r / n ja kolmioiden korkeus on melkein sama kuin ympyrän säde.

Siis yhden kolmion pinta-ala on kanta * korkeus / 2 , joka on likimäärin (Pi * 2 * r / n) * r / 2 = Pi * r * r / n.
Koska kolmoita on n kpl, niin lopuksi saadaan kolmioista koostuvan n-kulmion alaksi Pi * r * r. Kun n kasvaa rajatta, niin n-kulmio lähenee ympyrää.
Oletetaan että ympyrän säde on r ja lisäksi tarvitaan kaksi tunnettua tulosta. Trigonometrian kaava
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) [1] sekä raja-arvo sin(t)/t -> 1 kun t -> 0. [2] (Viisaammat voivat kertoa onko tulosten johtamisessa käytetty pinta-alan kaavaa.)

Arvioidaan ympyrän alaa alhaalta säännöllisellä n-kulmiolla ja annetaan n kasvaa rajatta. Jaetaan ympyrä kolmioihin yllä esitetyllä tavalla. Merkitään kolmion -ympyrän keskipisteestä avautuvaa- kulmaa
a = 2pi/n. Yhden kolmion alaksi saadaan helposti

A_n = r²sin(a/2)cos(a/2) = r²/2*sin(a). [1]

Koko n-kulmion ala

A = nA_n = n*r²/2*sin(2pi/n) = pi*r²*sin(2pi/n)/(2pi/n).

Tilanne hallitaan muunnoksella t = 2pi/n jolloin n kasvaessa rajatta saadaan

A = pi*r². [2]
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_trigonometric_identities#Sine

http://people.hofstra.edu/Stefan_Waner/trig/triglim.html

Vaikuttaisi siltä, että jälkimmäisen johdossa on tarvittu sektorin alan kaavaa joka on johdettu ympyrän alan kaavasta...
http://www.themathpage.com/acalc/sine.htm

Ilmeisesti riittää tietää ympyrän kaaren pituus.

Mutkun-mutkun

Mistä se pii tempaistiin tähänkin "täsmällisempään"? Tämä kysymys ei ole palkkä vitsi. Pii:tähän on kyllä tutkittu maailmantappiin asti. Mutta löytyykö sen arvolle muu kuin "kokeelliseen mittaukseen" perustuva selitys? On tätä kysytty ennekin, ja vastauksina on ollut erilaisia kehäselityksiä.
No, aloittaja kysyi yksinkertaista kaavaa ja saikin vastauksen, mutta kun keskustelu hajosi tasolle, jossa jokaisen on esitettävä tietämystään, niin heitän tämän kysymuksen mukaan.
Vastauksessa on käytössä radiaanit, jolloin on oletettu kaaren pituuden ja halkaisijan suhteen olevan vakio. Mitä tämän todistamiseen tulee, nimim. xyz antaa menetelmän, joka ei ole kokeellinen.

Voihan

pinta-alaa laskimella arvioida, vaikkei olisi piistä ikinä kuullutkaan, kunhan vain trigonometria on hallussa
vaikka näin:
Piirretään r-säteisen ympyrän sisään n kulmio. Sen keskuskulma on 360/n

Piirretään ulkopuolelle 2*n kulmio. Sen keskuskulma on 180/n
Ulkopuolelle piirretyn monikulmion ala=tan(90/n)*2n*r^2

Sisäpuolelle piirretyn monikulmion ala=sin(180/n)*cos(180/n)*n*r^2

jos noihin sijoittaa esim. n=1000, niin

ulkoala on 3,141595*r^2
sisäala on 3,14157*r^2 , ympyrän ala on siis noiden välissä

Ympyrän alalle löytyy säteestä riippuva likiarvo löytyy, kunhan lisää monikulmioiden määrää

Helpoiten ...

0,785 kertaa läpimitan (halkaisijan) neliö
(0,785=pii/4)
Metrin ympyrän ala on 0,785 m2
Pallon tilavuus on 0,5236*läpimitan kuutio (m3)
Pallon pinta-ala on 3,416*läpimitan neliö (m29
Hitto miten vajakkia jengiä täällä on. Koko Sakki.
Voi hemmetti näitä voorumia.
Ala = Pii kerrottuna säteellä kerrottuna säteellä.
Eli Pii kertaa säde-potenssiin2.

R^2*3,14
Kehä on geometriassa ympyrän reunaviiva eli piiri, joka sulkee ympyräkiekon sisäänsä. r-säteisen ympyrän kehän pituus p1 on ulkomuistista

p1=2*pii*r.

Kehän pituus voidaan ajatella 1-ulotteiseksi pinta-alaksi. 2-ulotteinen pinta-ala p2 saadaan summaamalla yhteen ääretön määrä äärettömän ohuita kehiä ympyrän pituuksia

2*pi*d + 2*pi*2*d + 2*pi*3*d + ... + 2*pi*(r-d) + 2*pi*r

koska nämä pituudet kuvaavat kehiä, jotka täydellisesti peittävät ympyrän. Siis d on yleisesti käytetty äärettömän pientä lukua lähestyvä delta. Saadaan siis integraali lausekkeesta 2*pi*r, ja se on kaavan

integraali(a*x*dx)=a/2*x^2

mukaan

integraali(2*pi*r*dr)=pi*r^2
 /   /  /  / ympyrän pinta-alan laskeminen

Keskusteluhaku

Laaja haku



Facebookissa suositeltua

Tietoa mainosten kohdentamisesta