Integrointi on yksinkertaistettuna derivaatan käänteistoimitus. Eli jos tunnettaan derivaatta f'(x), niin integroinnin avulla saadaan selville funktio f(x).
Integroinnin avulla voidaan laskea myös erilaisten käyrien rajoittamia pinta-aloja(ja myös tilavuuksia). Tätä ominaisuutta koskee varsinainen kysymyksenikin, eli miten voidaan osoittaa integroimisen ja pinta-alan määrittämisen välinen yhteys?
Integrointi ja pinta-alat
5
665
Vastaukset
- epäfuksi
Lukaisepa kurssi Differentiaali- ja integraalilaskenta I. 2, http://www.math.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/
Lauseessa 9.3 todistetaan yhteys pinta-alan ja integraalifunktion välille. Toisaalta 5.11 kertoo, miten määrättyjä integraaleja lasketaan. Nyt integraalifunktion määritelmä on se, että F on f:n integraalifunktio jos D F(x)=f(x) kaikilla x. - JustuS67
Integraali voidaan ymmärtää kyllä ilman koko derivaatan käsitettäkin, tätä on selvitetty ainakin täällä http://www.math.jyu.fi/~terok/opetus/analyysi2/analyysi2.pdf
- jukepuke
Harmi, että varsinkin lukiossa sivuutetaan monesti tuo integraalin "oikea" tarkoitus. Riemannilainen integraali saadaan arvioimalla funktion käyrää porrasfunktiolla, jonka pinta-ala on helppo laskea. Nyt kun tämän porrasfunktion jakoa tihennetään, eli tehdään palkeista kapeampia, niin ne täyttävät pinta-alan paremmin ja saadaan parempi aproksimaatio kyseisesta alasta. Integraali saadaan antamalla näiden palkkien paksuuden mennä nollaan, eli raja-arvona.
Lukiossa integraali monesti määritellään derivaatan käänteisoperaatioksi, mikä on itseasiassa aika kovan luokan tulos. Tämän vuoksi lukiolaisille jää hämärän peittoon, että miksi se pinta-ala tulee juuri derivaatan käänteisoperaationa, mitä ei ainakaan minun mielestä ihan otsallaan näe.
Kannattaa etsiä netistä Riemann integraalista tietoa vaikka googlella. Toivottavasti valaisi jonkin verran tämä suht epäselvä ja lyhyt vastaus :). Kysymyksessä on analyysin peruslauseen lemma.
A(x) = a∫x f(t)dt
on ei-negatiivisen käyrän alle jäävä ala välillä [a,x] missä a vakio.
A'(x) = (A[x h] - A[x])/h kun h->0
ja toisaalta A(x h) - A(x) = f(x)*h kun h->0
=> A'(x) = f(x)
tämä tarkoittaa että A(x) on f:n integraalifunktio.- Myöhäinen lintu
Unohtakaa kaikki Riemannit, portaat ja muut. Peruskysymys kuuluu: Miksi integraalifunktion muutos on sama kuin sen derivaatan kuvaajan ja x-akselin välisen pinta-alan muutos.
Lähtökohtaisesti uskomme, että derivaatta kuvaa funktion muuttumiskulmaa tietyssä käyrän kohdassa eli on sen tangentti. Tällöin sen arvo on dy/dx ja nimenomaan tuon dy:n pitäisi olla sama kuin po. pinta-alan muutos.
No, derivaatan arvohan, eli sen etäisyys x-akselista sillä kohdalla on sama kuin tuo dy/dx, eli se on laskettavan alan korkeus. Alan leveys taas on dx. Siten pinta-ala on leveys kertaa korkeus eli dx kertaa dy/dx = dy, mikä siis on sama kuin integraalifunktion lisäys tuolla välillä. Voidaan siis todeta, että integraalifunktion arvo muuttuu yhtä paljon kuin sen derivaatan ja x-akselin välinen pinta-ala. Tämän perusteella on helppo uskoa, että sen arvo seuraa uskollisesti tätä pinta-alaa, oli muutos mikä tahansa.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
eerikäinen novassa sanoi ei kukaan enää aja manuaalivaihteilla
meillä on 3 autoa talissa ja kaikissa manuaalilaatikot, on meillä vielä tämmöiset vaikka toisin puhutaan.2342454Ilo, joka nousee silmiisi saakka
kun katseemme kohtaavat. Olet energinen, aito, ihana. Välillä tuijotat suoraan silmiini - enkä hämmenny, katson takaisin691776Jokaisella on omat syntinsä
Minä olisin niin mielelläni sinun. Ehkä joskus viittasitkin siihen. Olet nainen ajatuksissani jatkuvasti ja taidat tietä881620- 561549
En oikeasti
Tiennyt että sinulla on ollut vaikeuksia ja huonoja aikoja. Olen oikeasti pahoillani, ja olisin myös toiminut eritavoin147146790-luvulla maa syöksyi lamaan, ja silloinkin oli syypäinä samat tahot kuin nyt
Laman aiheuttajat olivat demarivetoinen virheellinen finanssipolitiikka, sekä ay-liikkeen taipumattomuus tilanteessa mik1411249Vakava varoitus perussuomalaisista!
Keskustan Annika Saarikolta veret seisauttavaa tekstiä, lukekaa uutinen kokonaisuudessaan, tässä siitä maistiainen: ”Ke2451173- 1731007
Olisitko ihminen minulle. Ihan ihminen vain.
Tiedätkö, että saan kyyneleet silmiini, niin syvästi sinua kaipaan. Meidän välillä on jotain todella syvää, kaunista ja56929Mä olisin niin iloinen
Jos vielä joskus nähtäis.. Ollaanko tulkittu mies toisiamme väärin?. Kumpikin luuli ettei toinen tykkää, vaikka molemmat62847