Viime aikoina olen tutkinut internetistä kaikenlaisiayhteyksiä matemaattiten vakioiden, lähinnä piin ja neperin luvun välillä.
Mihin perustuu se, että kahdella täysin eri matematiikan aloihin liittyvällä vakiolla on yhteys? Onko kukaan koskaan tutkinut näitä tai pystynyt osoittamaan, mistä tällaiset yhteydet johtuvat. Myöskin matemaattiset vakiot voidaan esittää sarjakehitelmien avulla, jotka ovat (päättymättömiä) yhteenlaskuja. Raja-arvon avulla tutkittaessa kuitenkin saadaan esim. Neperin luku vaikkapa seuraavasti:
e=1 1/1 (1/1*2) (1/1*2*3) (1/1*2*3*4)...
Esimerkiksi tämä sarjakehitelmä esittää transsendeettisen ja irrationaalisen vakion luonnollisten lukujen avulla. Myöskin piille tunnetaan useita vastaavanlaisia kehitelmiä. Mihin siis tällaiset sarjakehitelmät oikein perustuvat ja miten niihin on päädytty?
Toinen mielenkiintoinen tapa esittää Neperin luku on integroida funktiota 1/x väliltä 1, e, jolloin tulos on 1. Tämä on toisaalta ihan ymmärrettävää ottaen huomioon, että 1/x on funktion e^x derivaattafunktio.
Myös Stirlingin kaava luo yhteyden näiden kahden vakion välille, vaikkakin likimääräisesti mutta taas voidaan käyttää raja-arvoa jolloin tulos on täsmällinen.
Ehkä kaikkein mielenkiintoisin yhteys piin ja Neperin luvun välillä on niin sanottu Eulerin identiteetti, joka menee näin:
(e^(i*pii)) 1=0
Mitenkäs tämä on selitettävissä?
Jokatapauksessa, on se matematiikka ihmeellistä ainakin näin asiaan perehtymättömän mielestä.
Matemaattisten vakioiden välisistä yhteyksistä
4
78
Vastaukset
- 5g33
"Tämä on toisaalta ihan ymmärrettävää ottaen huomioon, että 1/x on funktion e^x derivaattafunktio".
Ei kai.- sadhaistakaakaikkipaska
taisi aloittaja tarkoittaa luonnollista logaritmia
Ei kai tässä ole mitään ihmeellistä. Moni funktio voidaan esittää Taylorin sarjana, joka on potenssisarja, ja e^x on yksi näistä. Samalla tavalla voidaan esittää esim. trigonometriset funktiot, neliöjuuret ja logaritmit, tai voit itse keksiä oman funktiosi, jonka kehität potenssisarjaksi.
Eulerin identiteetti saadaan aikaiseksi, jos kehitetään kompleksinen eksponentti Taylor-sarjaksi, eli e^iz. Tällöin voidaan sarjan termit nähdä sinin ja kosinin Taylor-sarjoina, ja saadaan e^iz = cosz isinz, johon sijoittamalla z = pi, saadaan e^i*pi = -1.
Vaikka usein puhutaan vain Taylorin sarjasta, niin tässä pitäisi puhua Maclaurinin sarjasta, kun origossa kehitetään sarja.
https://fi.m.wikipedia.org/wiki/Eulerin_lause_(funktioteoria)- Laskee
Kuten m36-intj totesi, sarjakehitelmissä ei ole mitään ihmeellistä. Analyysin oppikirjoista löytyy näistä tietoa. Jatkuvasti derivoituvaa funktio voidaan aina esittää Taylorin sarjana. Jaksollinen funktio puolestaan voidaan esittää trigonometristen funktioiden sarjakehitelmänä (Fourier), näillä on suuri merkitys fysiikassa aaltofunktioiden käsittelyssä.
Eulerin identiteetti on suora seuraus Eulerin lauseesta, jonka johtaminen löytyy Wikipediastakin.
Eikö matematiikka olekin kaunista!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 261841
Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha221769Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan
Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.1151721Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.701557Minun oma kaivattuni
Ei ole mikään ilkeä kiusaajatyyppi, vaan sivistynyt ja fiksu sekä ystävällinen ihminen, ja arvostan häntä suuresti. Raka721538Pelastakaa Lapset: Netti ei ole turvallinen paikka lapsille - Erätauko-tilaisuus to 25.4.2024
Netti ei ole turvallinen paikka lapsille, mutta mitä asialle voi vanhempana tehdä? Torstaina 25.4.2024 keskustellaan ne231436Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?581415Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se191232Tervehdys!
Sä voit poistaa nää kaikki, mut mä kysyn silti A:lta sen kokemuksia sun käytöksestä eron jälkeen. Btw, miks haluut sabot651150Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan361145