Tehtävänanto: Suorakulmaisen kolmion sisään piirretään suorakaide, jonka yksi kärkipiste on hypotenuusalla ja toinen tämän vastaisessa kolmion nurkkapisteessä. Kaksi suorakulmion sivuista sijaitsee siis kolmion kateeteilla. Mitkä ovat pinta-alaltaan suurimman tällaisen suorakaiteen mitat, kun kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 12 yksikköä?
Olen saanut muodostettua kolmion vastinsivujen verrannot: 12/y = 5/x, josta y= 12x/5
jolloin suorakaiteen pinta-ala A= x * (12x/5) --> A=12x^2 / 5
Tästä eteenpäin lyö tyhjää. Jos derivoin lausekkeen, saan:
f'(x) = 12x / 5
Miten tuosta saa selvitettyä x:n? Oon pähkäillyt tulon nollasäännön kanssa, muttei mee jakeluun.. auttakaa tyhmää!
Derivointi, suorakaide kolmion sisällä
hömeli
11
1244
Vastaukset
- verrantoväär
Verranto on väärin , siihen tulee: 12/5=y/(5-x) ............(tan(alfa))
- verrantoväär
Siis tuo tanalfa) meinaa sitä, että ota tangentti jommasta kummasta terävästä kulmasta molemmista yhdenmuotoisista kolmioista, niin saat oikean verrannon. Sulla tosin saattaa ola ne yhdenmuotoiset kolmiotkin piirretty väärin.
(12-x)/y=12/5. Merkitään suorakulmion sivuja muuttujilla x ja y.
y=5/12*(12-x)
A (x)=xy=5/12*(12x-x^2)
A'(x)=5/12*(12-2x)
A'(x)=0→12-2x=0→x=6. Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten kyseessä on maksimi.
y=5/12*(12-6)=5/2=2,5- hömeli
Kiitos paljon avusta! :)
- laskee
Toisella tapaa maalaisjärkeä käyttäen.
Olkoon suorakulmion pidemmällä kateetilla sijaitsevan sivun pituus s; tällöin sen toisen sivun pituus on 5 * (1 - s/12), jolloin nähdään, että suorakulmion ala eli sivujen tulo on s:n funktiona alaspäin aukeava parabeli. Ala on luonnollisesti 0 kun s=0 tai 12, jolloin ääriarvo on näiden puolivälissä eli s=6 ja toinen sivu 5 * (1 - 6/12) = 2.5. Eipä tässä tarvittu derivointeja eikä tangentteja. - Ohman
3. tapa:
Kolmion kärjet olkoot A (0,0), B (12,0) ja C(0,5). Hypotenuusan pituus on sqrt(12^2 5^2) = 13.
Kulma b, jonka kärki on B, on arcsin(5/13) = arccos(12/13. Valitaan hypotenuusalta piste jonka etäisyys B-kärjestä on d.
Suorakulmion ala f(d) = d sin(b) * (12- d cos(b)) = 5/13 d ( 12 - 12/13 d) = 60/13 d - 60/13^2 d^2
f'(d) = 60/13 - 120/13^2 d = 0 joten d = 60/13 * 13^2 / 120 = 13/2 = 6,5.
f''(13/2) < 0. f'(d) :n etumerkki vaihtuu plussasta miinukseksi kun kasvaa yli arvon 13/2. Molemmista seuraa, että kyseessä on maksimi.Kun d = 0 tai d = 113 on f(d) = 0, muulloin f(d) > 0.
Kun d on 13/2 niin suorakulmion x-akselilla olevan sivun pituus on 12 - 12/13 * 13/2 = 6 ja y-akselilla olevan sivun pituus on 13/2 * 5/13 = 2,5.
En laittanut tätä siksi, että tämä olisi jotenkin parempi tapa kuin jo esitetyt. Mutta onpahan eräs, hiukan toisenlainen, tapa.
Ohman- Ohman
...d = 113.. p.o. ...d = 13...
Ohman - Ohman
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
OhmanTämän voi todistaa myös ilman diff.int.laskua.
Suorakulmion ala = xy = f(d) = ab * d/c * (1 - d/c). Olkoon z = d/c.
Jos z > 0 ja 1 -z > 0 niin sqrt(z(1-z)) <= z/2 (1-z)/2 = 1/2 ja tuo = tapahtuu sjvs kun z = 1-z eli kun z = 1/2 (keskiarvoepäyhtälö)
.Siis z(1-z) <= 1/4 ja = 1/4 sjvs kun z = 1/2 eli kun d = c/2.Tällöin on x = a/2 ja y = b/2 (johtuen tilanteen geometriasta) ja
xy = f(d) <= (ab) / 4= a/2 * b/2.
Ohman
- motitettu
- Vastaus = se mikä on neliö
- Ohman
Vai on sinusta suorakaide jonka sivujen pituudet ovat 6 ja 2,5 neliö??
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan
Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.1502501- 261980
Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha231958Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.891766Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?671530Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se201296Avaa sydämesi mulle
❤ ❤❤ Tahdon pelkkää hyvää sulle Sillä ilmeisesti puhumalla Avoimesti välillämme Kaikki taas selviää Kerro kaikki, tahdo371202- 111188
Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan361188Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k101167