Pystyykö lausekkeen 2*sqrt( 1 x^2 / ( 1 - x^2) ) integroimaan analyyttisesti ilman tietoja trigonometrisista funktioista, kun x menee nollasta ykköseen.
Integrointitehtävä
npq
9
160
Vastaukset
- aeija
Pystyy, jos jostakin löytää tiedot:
integraali dt/i=-i*t ja i*ln(-i)=pi/2. Silloin voi käyttää sijoitusta x=cosh(t). Pii tulee silloinkin integraalin arvoksi.
(En minä niitä ainakaan löydä kuin Wolframista)- aeija
Tossa toi paperi nyt on ja siinä on jotakin perusteluitakin noille Wolframista saaduille tuloksille. Tässä pitää taas lässyttää monta riviä kaikenlaista, jotta moderaattori väsyy, eikä heti poista tätä linkkiä: http://aijaa.com/XoPudS
- npq
Tuon lausekkeen integraalihan on yksikköympyrän kehän puolikkan pituus. Ja oikea vastaus on pii.
Huvikseni laskin sen raa'asti diskretoimalla koneella (double precision). Kun dx on 1e-9, niin tulokseksi tulee 3.14147, joka on jo melko lähellä piitä.- Kanootti3
Totta. Tai ehkä se on yksinkertaisemmin 2*neljäsosaympyrän kaaren pituus. Käytetään siis polkua t-> (t, sqrt(1-t^2)), t € [0,1], jolloin trigonometrisia funktioita ei tarvita.
Vielä selvennykseksi: polun derivaatta on (1, -t/sqrt(1-t^2)), joten tämän pituuttahan tuossa integroidaan eli saadaan juurikin polun pituus.
Tässä tulee tämä polun integrointi joka ei saata kaikille tuttua olla, mutta kyllähän lukiossakin taidetaan funktion graafin pituuksia laskea. Niissähän tuo ensimmäinen komponentti on aina pelkkä muuttuja itsekseen niinkuin tuossakin tapauksessa. No tähän nyt tulee selittelyn makua, mutta kyllä se kaava kaaren pituudelle integraalina löytyy.
Lisäsin kommenttini vain sen takia, jos joku ei huomaa kuinka tuo integraali liittyy ympyrän kaaren pituuteen. - Kanootti3
Oho, huomasinkin, että olet aloittaja itse, ja varmaan siis haluat laskea tuon integraalin ja näin todistaa ympyrän kaaren pituuden. Mutta senhän avulla pii on määritelty. Pitäisikö tässä päätyä piihin jotain toista kautta käyttämättä trigonometrisiä funktioita? Menee hankalaksi, ehkä Walliksen tulona tai jotenkin...
- npq
Kanootti3 kirjoitti:
Oho, huomasinkin, että olet aloittaja itse, ja varmaan siis haluat laskea tuon integraalin ja näin todistaa ympyrän kaaren pituuden. Mutta senhän avulla pii on määritelty. Pitäisikö tässä päätyä piihin jotain toista kautta käyttämättä trigonometrisiä funktioita? Menee hankalaksi, ehkä Walliksen tulona tai jotenkin...
Kaaren pituuden laskeminen käy helposti, jos tietää, että täysi kulma on 2 pii ja lisäksi ds =r dfii. Yksikköympyrällä asetetaan r=1 ja intergoidaan.
Ajatus oli vain, että voidaanko tuosta avauksen integraalista päätysä pii:n arvoon analyyttisen integroinnin kautta ilman näitä etukäteistietoja trigonometrisista funktioista.
Ainakin numeerisella integroinnilla se siis onnistuu kohtuullisella tarkkuudella. - aeija
npq kirjoitti:
Kaaren pituuden laskeminen käy helposti, jos tietää, että täysi kulma on 2 pii ja lisäksi ds =r dfii. Yksikköympyrällä asetetaan r=1 ja intergoidaan.
Ajatus oli vain, että voidaanko tuosta avauksen integraalista päätysä pii:n arvoon analyyttisen integroinnin kautta ilman näitä etukäteistietoja trigonometrisista funktioista.
Ainakin numeerisella integroinnilla se siis onnistuu kohtuullisella tarkkuudella.Pääseehän siihen käyttämällä hyperbolisia funktioita, kuten tässä: http://aijaa.com/2MAoho
Siinä koukataan välillä kompleksilukujen avaruuteen, ja sieltä maan pinnalle pääsemiseen tarvitaan Eulerin identiteettiä. Eli se on nyt siitä kiinni, että hyväksytäänkö Eulerin identiteetti matemaattiseen yleissivistykseen kuuluvaksi, jota ei tarvitse perustella.
Lauseke sievenee muotoon 2/sqrt (1-x^2), jonka integraali on 2*arcsin (x). Määrätty integraali nollasta yhteen on sitten 2*(pi/2-0)=pii.
- Ohman
1-säteisen origokeskisen ympyrän yhtälö on
R(x) = x i sqrt(1 - x^2) j. dR/dx = i - x/sqrt(1 - x^2) j
Jos kaarenpituus on s(x) niin lasketaan nyt ympyräviivan neljänneksen pituus. Se on
s(1) - s(0) = Int (0,1) ds = Int(0,1) sqrt(ds^2)= Int(0,1) sqrt(dR/dx,dR/dx) dx =Int(0,1) (1 x^2/(1 - x^2)) dx = lim ( u -> 1) Int(0,u) ( 1/(1-x^2)) dx = lim(u-> 1) (arcsin(u) - arcsin(0)) = pii/2.
Kysyjän integraali oli sitten 2 kertaa näin saatu arvo eli pii.
Tässä nyt vain näytin sen kaarenpituuden laskun. Käytinhän kyllä funktiota arcsin, kuten thoyssa tuossa edellä, joten kyllähän tässä trigonometriaa tarvittiin.
Voisi tietysti tehdä sijoituksen x = sin(t) jolloin
s(pii/2) - s(0) = Int(0,pii/2) (cos(t) /sqrt(1- sin^2(t)) dt = Int(0,pii/2) dt = pii/2. Mutta trigonometriaa tämäkin.
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan
Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.2463993Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus
Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha282338- 242131
Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!
Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.932056Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?
Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?961719Sakarjan kirjan 6. luku
Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se241411- 91320
Avaa sydämesi mulle
❤ ❤❤ Tahdon pelkkää hyvää sulle Sillä ilmeisesti puhumalla Avoimesti välillämme Kaikki taas selviää Kerro kaikki, tahdo361307Kenen etua Stubb ajaa Euroopassa ilmoittaessaan olevansa enemmän Ruotsalainen
Tasavallan presidentti Alexander Stubb kertoi ensimmäisellä valtiovierailullaan Ruotsissa, että hän ei ole koskaan tunte3091262Elia tulee vielä
Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan351227