1. Kerran muinoin keksin pii'lle kaavan
lim(2^(n 1)B(n,2n-1)(1 (2n-1)/3 (2n-1)(2n-3)/(3*5) ... (2n-1)(2n-3)*..*(n 3)/(3*5*..*(n-1))) ->pii.
Tässä B(n,2n-1) tarkoittaa binomikertoimen käänteislukua. n on parillinen. Parittomille n tulee hieman toisenlainen kaava.Laskennan helpottamiseksi ylläolevaa kaavaa voi vielä vähän yksinkertaistaa.
Piin laskeminen 1 milj. desimaalin tarkkuudella vei aikaa n. 5 tuntia. (2.6 GHz prosessorin tietokoneella). Kaava on siitä huono että tämä alkaa olla yläraja laskentatarkkuudelle, sillä esim. 10 milj numeron laskeminen veisi aikaa jo 3 viikkoa. Tämä piin lauseke on hyvin helppo ohjelmoida kun on ensiksi tehnyt ohjelmat suurten lukujen laskemiseksi, yhteenlaskun, kertolaskun ja jakojaskun.
2. Talvella johdin edellisestä kaavan
pii=2 2*S(j!/(2j 1)!! , j=1,2,3...
Tässä S tarkoittaa sitä mitä yleensä merkitään sigmalla.
Tällä kaavalla laskin kokeeksi piin 100 000 desimaalia, ja tehtävästä se selvisi 1 min. 52 sek'ssa. Tämä on noin kaksi kertaa nopeampi kuin kaava 1. Pienten pii-arvojen laskemiseksi nämä ovat nopeita kaavoja. Esim 4000 desimaalia tulee silänräpäyksessä.
Kaksi kaavaa piin laskemiseksi
9
1092
Vastaukset
- Hallukigeige
Hienoa että olet ollut puuhakas matematiikan saralla mutta mitä helvettiä me muut hyödymme höpötyksestäsi?
- 'Päsmäri'
Jos kerran olet keksinyt sarjan, joka suppenee piihin, niin suppeneeko se varmasti? Mistä tuollainen päähänpälkähdys on tullut? Miten sen suppenemisen perustelee? Onko käytössä tarpeeksi järeää koneistoa tuon raja-arvon löytämiseksi? Vai onko kyseessä vain laskennallisesti huomattu tosiasia? Tai mikä vielä tärkeämpää, onko se uusi keksintö, vai ainoastaan jokin oppikirjasta kopioitu esimerkki? Uuden keksiminen on tietysti ilahduttavaa , mutta ennen kuin sitä menee mainostamaan millään palstalla, niin kannattaa ottaa selvää lauseen todenperäisyydestä.
- Rantanplan
Piistä voi kehittää laskentakaavoja erilaisin geometrisin menetelmin. Muistaakseni joskus kauan sitten piti kotitehtävänä koulussa johtaa piille kaava käyttäen siniä ja/tai kosinia. Siihen kaavaan voikin sitten vaikka sijoittaa niiden sarjakehitelmät, ja varmasti saadaan sarja joka suppenee piihin.
Helpoimmat tavat on varmasti jo keksitty, mutta ei se estä keksimästä pyörää aina uudelleen.
- piihin?
Tuosta ensimmäisestä kaavasta ei saa kyllä mitään
selkoa. Mutta tarkoitatko toisella kaavalla
pii=2 2*S(j!/(2j 1)!! , j=1,2,3...
kenties tällaista:
2 2*(1!/3!! 2!/5!! 3!/7!! ...)
Se tosiaan suppenee nopeasti, mutta ei kyllä
lähellekään piitä:
1!/3!! = 1/720
2!/5!! = 2.9897587696e-199
joten arvo 10:llä desimaalilla on
2.0027777778
mikä ei ole lähellekään piitä!- J. Iltanen
Merkintä 3!! ei tarkoita kolmen kertoman kertomaa. Kolmen kertoman kertoma merkittäisiin (3!)!.
Kyseessä on niin kutsuttu double factorial, ks.
http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html
Tietääkö kukaan onko tuolle suomenkielistä termiä, kaksoiskertoma tms?
- Mathbuster
Painaa taskulaskimesta sitä jakkara-merkkiä ja vot!
Uusi kaava laskea liku 2(kaksi):
15*2/6*2/5=2 - Piin käyttäjä
No on se hyvä, että joku osaa tuonkin laskea riittävän tarkasti, kun tulee käyttöä.
Eikun tsemppiä vaan sinne. - Tsiikaaja
Laita se ohjelma esille, jollei se ole jotenkin salainen. Voisi olla kiinnostava tsiikata.
- HeTu
Ei ohjelma ole mitenkään salainen, mutta en tiedä miten toimitaan. Ilmeisesti tarkoitat C- ja konekieliohjelmaa, etkä varsinaista näistä tulevaa tuotetta joka sitten laskee piin.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1031575
Välillä käy mielessä
olisiko sittenkin ollut parempi, että emme koskaan olisi edes tavanneet. Olisi säästynyt monilta kyyneleiltä.781214- 881137
- 1391046
Uskoontulo julistetun evankeliumin kautta
Ja kun oli paljon väitelty, nousi Pietari ja sanoi heille: "Miehet, veljet, te tiedätte, että Jumala jo kauan aikaa sitt580995Mika Muranen juttu tänään
Jäi puuttumaan tarkennus syystä teolle. Useat naapurit olivat tehneet rikosilmoituksia tästä kaverista. Kaikki oli Muras1987Hanna Kinnunen sai mieheltään tiukkaa noottia Tähdet, tähdet -kotikatsomosta: "Hän ei kestä, jos..."
Hanna Kinnunen on mukana Tähdet, tähdet -kisassa. Ja upeasti Salkkarit-tähti ja radiojuontaja onkin vetänyt. Popedan Lih8902- 20890
Oho! Farmi-tippuja Wallu Valpio ei säästele sanojaan Farmi-oloista "Se oli niin luotaantyöntävää..."
Wallu oikein listaa epämiellyttävät asiat… Monessa realityssä ollut Wallu Valpio ei todellakaan säästele sanojaan tippum9744Helvetin hyvä, että "hullut" tappavat toisensa
On tämä merkillistä, että yritetään pitää hengissä noita paskaperseitä, joilla ei ole muuta tarkoitusta, kuin olla riida8680