Laskutoimitukset

Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksia, mutta kuinka monta kaikenkaikkiaan erillaista laskutoimitusta on yhteensä nykyisin olemassa matematiikan kaikilta pääalueilta?
Ilmianna
Jaa

8 Vastausta


Laskutoimitus on määritelmän mukaan kuvaus ExE->E, missä E on annettu joukko. Siten esimerkiksi jakolasku ei aina ole, joukosta E riippuen, laskutoimitus. Laskutoimituksia on äärettömän monta. Esimerkiksi kokonaislukujen joukkoon saa äärettömän monta laskutoimitusta kiinnittämällä kokonaisluku n ja asettamalla (x,y)->x y n.
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
4 VASTAUSTA:
Eikö laskutoimitus voida periaatteessa määritellä myös joukolta ExExE ja yleensäkin ännännestä karteesisesta tulosta? (en tunne aluetta kovinkaan hyvin)

Yksi ehkä vähän maallikolle intuitiivisempi tapa on määritellä laskutoimitukset Grzegorczykin hierarkiaa noudatellen (tai oikeastaan Ackermannin). Määritelmä antaa valinnaisen tason laskutoimituksia (funktioita) ja alussa tasot ovat yhteenlasku, kertolasku, potenssi, superpotenssi jne. ja tasoja on rajattomasti (itse asiassa saadaan kaikkien primitiivirekursiivisten funktioiden hierarkia ja Ackermannin funktio kulkee eräänlaisella rekursiolla pitkin tätä hierarkiaa ja kasvaa siten nopeammin kuin yksikään primitiivirekursiivinen funtio).

Sitten tietysti on näiden käänteisfunktiot.

Ideasta on vähän vaikea antaa lyhyessä tilassa esitystä, mutta esim. Knuthin ylänuolinotaatio http://en.wikipedia.org/wiki/Knuths_up-arrow_notation valaiseen alkuperäiselle kysyjälle hieman minkälaisesti asiasta on kyse.
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
l9ojilae kirjoitti:
Eikö laskutoimitus voida periaatteessa määritellä myös joukolta ExExE ja yleensäkin ännännestä karteesisesta tulosta? (en tunne aluetta kovinkaan hyvin)

Yksi ehkä vähän maallikolle intuitiivisempi tapa on määritellä laskutoimitukset Grzegorczykin hierarkiaa noudatellen (tai oikeastaan Ackermannin). Määritelmä antaa valinnaisen tason laskutoimituksia (funktioita) ja alussa tasot ovat yhteenlasku, kertolasku, potenssi, superpotenssi jne. ja tasoja on rajattomasti (itse asiassa saadaan kaikkien primitiivirekursiivisten funktioiden hierarkia ja Ackermannin funktio kulkee eräänlaisella rekursiolla pitkin tätä hierarkiaa ja kasvaa siten nopeammin kuin yksikään primitiivirekursiivinen funtio).

Sitten tietysti on näiden käänteisfunktiot.

Ideasta on vähän vaikea antaa lyhyessä tilassa esitystä, mutta esim. Knuthin ylänuolinotaatio http://en.wikipedia.org/wiki/Knuths_up-arrow_notation valaiseen alkuperäiselle kysyjälle hieman minkälaisesti asiasta on kyse.
"Eikö laskutoimitus voida periaatteessa määritellä myös joukolta ExExE ja yleensäkin ännännestä karteesisesta tulosta? "

Kaikkeahan voi määritellä, mutta vakiintunut tapa laskutoimituksen määritelmälle on kuvaus ExE->E. Tuollaista yleistystä en ole missään algebran oppikirjassa nähnyt, mutta voihan se olla hyvinkin määritelty.
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
mahtimatemaatikko kirjoitti:
"Eikö laskutoimitus voida periaatteessa määritellä myös joukolta ExExE ja yleensäkin ännännestä karteesisesta tulosta? "

Kaikkeahan voi määritellä, mutta vakiintunut tapa laskutoimituksen määritelmälle on kuvaus ExE->E. Tuollaista yleistystä en ole missään algebran oppikirjassa nähnyt, mutta voihan se olla hyvinkin määritelty.
Omat kokemukseni ovat logiikasta, missä laskutoimitus on lopulta vain tietyt ominaisuudet täyttävä relaatio, eli parametreja voi olla enemmänkin kuin kaksi.

Yleistys on kuitenkin niin suoraviivainen, että ehkä sitä ei vain ole nähty oleelliseksi ottaa mukaan oppikirjoihin vaan jokainen saa määritellä tykönään mitä haluaa :)
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
mahtimatemaatikko kirjoitti:
"Eikö laskutoimitus voida periaatteessa määritellä myös joukolta ExExE ja yleensäkin ännännestä karteesisesta tulosta? "

Kaikkeahan voi määritellä, mutta vakiintunut tapa laskutoimituksen määritelmälle on kuvaus ExE->E. Tuollaista yleistystä en ole missään algebran oppikirjassa nähnyt, mutta voihan se olla hyvinkin määritelty.
Jos on vain kaksi tekijää laskutoimituksessa, se on 'binary operation'. Sitten voi olla 'n-ary operation' n:lle tekijällä.
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
+Lisää kommentti
>>>>>Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksia>>>>

Peruslaskutoimitukset ovat yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku, jotka opetetaan vuosiluokilla 1-6. Jos tarkkoja ollaan, niin vähennyslasku on negatiivisen luvun lisäämistä ja jakolasku käänteisluvulla kertomista. Esim. 30/2 = ½*30. Tämä voidaan ajatella olevan lausekkeena ´osa jostakin´. Potenssilasku on kertolaskua ja juuren ottaminen yhtälönratkaisemista. Sehän vastaa kysymykseen X^n=a.
Mutta kuten tuolla aiemmin kerrottiin, laskutoimituksia voidaan myös itse määritellä. Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksiaoit aloittaa vaikkapa kilpailulla, jossa tutuille reaalilukulaskuille sovitkin laskusäännöt uusiksi. Vaikka niin, että ja * vaihtavat merkityksensä toisikseen 2*3=5...
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
2 VASTAUSTA:
Tekstini lopussa on sälää, kun kopioitui muistista sinne loppupuolelle se mikä oli alussa. Siitä tuo epäjodonmukaisuus.

>>>>Tämä pois: Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksia>>>>>

Mutta kuten tuolla aiemmin kerrottiin, laskutoimituksia voidaan myös itse määritellä.
Voit aloittaa vaikkapa kilpailulla, jossa tutuille reaalilukulaskuille sovitkin laskusäännöt uusiksi. Vaikka niin, että ja * vaihtavat merkityksensä toisikseen 2*3=5...    
      
   
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
koneellakin kirjoitti:
Tekstini lopussa on sälää, kun kopioitui muistista sinne loppupuolelle se mikä oli alussa. Siitä tuo epäjodonmukaisuus.

>>>>Tämä pois: Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksia>>>>>

Mutta kuten tuolla aiemmin kerrottiin, laskutoimituksia voidaan myös itse määritellä.
Voit aloittaa vaikkapa kilpailulla, jossa tutuille reaalilukulaskuille sovitkin laskusäännöt uusiksi. Vaikka niin, että ja * vaihtavat merkityksensä toisikseen 2*3=5...    
      
   
kahdeksantoista. Kaikki eivät ole tosi perustoimituksia, mutta jos kysyit a luokan toimituksia niin niitä on 7
Kommentoi
Ilmianna
Jaa
+Lisää kommentti

Vastaa alkuperäiseen viestiin

Laskutoimitukset

Yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku, jakolasku, potenssiin korotus ja juuren ottaminen taitavat olla näitä peruslaskutoimituksia, mutta kuinka monta kaikenkaikkiaan erillaista laskutoimitusta on yhteensä nykyisin olemassa matematiikan kaikilta pääalueilta?

5000 merkkiä jäljellä

Peruuta