L'Hospitalin säännön todistus

Anonyymi

löytyy videolta, kohdasta 16:10 eteenpäin mietityttää:
https://www.youtube.com/watch?v=FhFWfVUBXC4

Tulee siis keissi f(x)/g(x), jossa sekä f että g lähestyvät ääretöntä, kun x lähestyy luku a.
Osamäärä voidaan kirjoittaa (1/g(x))/(1/f(x)), jolloin osoittajan lauseke 1/g(x) lähestyy nollaa ja nimittäjän 1/f(x) lähestyy nollaa, kun x lähestyy lukua a. Seuraavaksi hyödynnettäisiin videolla tehtyä aiempaa todistusta, jonka mukaan osoittaja ja nimittäjä voidaan derivoida, koska molempien lausekkeiden arvo lähestyy nollaa.

Tällöin kuitenkin päädytään ihan muuhun tulokseen kuin mitä piti; saadaan siis
lim x->a f(x)/g(x) = lim x->a D(1/g(x))/D(1/f(x)) = lim x->a g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2) eikä lim x-> a f'(x)/g'(x).

Missä vika?

26

433

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Hiukan hataraa selittelyä tuo video.
      Tuossa merkittiin x = 1/t ja lopuksi vaihdettiin t:n paikalle x varmaan siksi että näyttäisi paremmalta.

    • Anonyymi

      d/dx (f/g) =( f' g - g' f) / g^2
      Sama siitä tulee vaikka kirjoittaisit f/g =( 1/g) / (1/f)

      • Anonyymi

        Tarkoititkin lauseketta (1/g)' / (1/f)' . Sorry.


      • Anonyymi

        Mutta L'Hôspoitalin säännössä ei derivoida osamäärää vaan osoittaja ja nimittäjä erikseen. Tällöin tulee Df(x)/Dg(x)=f'(x)/g'(x).

        Jos kirjoittaa f/g=(1/g)/(1/f), tulee osoittajan ja nimittäjän derivaattojen osamääräksi g'(x)*f(x)^2/(f'(x)*g(x)^2), joka ei ole sama, mitä haluttiin.


    • Anonyymi

      Jaa f/g vasemmalta toiselle puolelle, niin se kumoaa toiseenit ja jaa g' / f' toiselle puolelle niin siitä tulee f' / g' eli saadaan se yhtälö mitä haluttiin. Niissähän on koko ajan liimekset päällä mutta se ei haittaa, sillä oletuksen mukaan halutut raja-arvot on olemassa, joten tuo purjaus voidaan tehdä.

      • Anonyymi

        No niinpä onkin. Kiitos paljon!!


      • Anonyymi

        Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?

        Harvinaisen yksinkertaista. Silloin ei sairaalasääntöä tarvita.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Harvinaisen yksinkertaista. Silloin ei sairaalasääntöä tarvita.

        Voihan lim f / lim g = ∞/∞, vaikka lim f/g = 0. Tämän raja-arvon laskeminen on helpointa l'hôspitalin säännöllä, mutta tuon todistuksen mukaan sitä ei saisi käyttää, koska tulee jako nollalla.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voihan lim f / lim g = ∞/∞, vaikka lim f/g = 0. Tämän raja-arvon laskeminen on helpointa l'hôspitalin säännöllä, mutta tuon todistuksen mukaan sitä ei saisi käyttää, koska tulee jako nollalla.

        Ei tajuu. Jos kerran tiedetään että lim f/g = 0, niin eihän tuossa tarvitse mitään laskea tai jakaa nollalla.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei tajuu. Jos kerran tiedetään että lim f/g = 0, niin eihän tuossa tarvitse mitään laskea tai jakaa nollalla.

        Haluan todistaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee myös, kun osoittajan ja nimittäjän lausekkeet lähestyvät ääretöntä. Aiempi todistus osoittaa, että sääntö pätee 0/0 tilanteessa, ja tuo pyörittely (jakaminen ym. joka esiteltiin ainakin viestissä 12:07) osoittaa, että sääntö pätee ∞/∞ tilanteessa, mutta ainoastaan, kun raja-arvon tulos ei ole nolla.

        Siis jos haluan laskea jonkin raja-arvon f(x)/g(x) tuloksen, enhän mä lähtökohtasesti tiedä mikä se on. Siks mun täytyy voida osoittaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee riippumatta siitä, mikä raja-arvon tulos on eli myös silloin, kun raja-arvo on nolla.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Haluan todistaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee myös, kun osoittajan ja nimittäjän lausekkeet lähestyvät ääretöntä. Aiempi todistus osoittaa, että sääntö pätee 0/0 tilanteessa, ja tuo pyörittely (jakaminen ym. joka esiteltiin ainakin viestissä 12:07) osoittaa, että sääntö pätee ∞/∞ tilanteessa, mutta ainoastaan, kun raja-arvon tulos ei ole nolla.

        Siis jos haluan laskea jonkin raja-arvon f(x)/g(x) tuloksen, enhän mä lähtökohtasesti tiedä mikä se on. Siks mun täytyy voida osoittaa, että L'Hôspitalin sääntö pätee riippumatta siitä, mikä raja-arvon tulos on eli myös silloin, kun raja-arvo on nolla.

        Tämäkin asia on selitetty kunnollisissa oppikirjoissa. Katsoisit sellaista etkä netin luentoja.
        En rupea yleisesti kirjallisuudesta löytyvää asiaa selittelemääm.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mutta entä jos lim f/g on nolla? Silloinhan jakoa ei saa tehdä?

        Joo, tuo tuo omat komplikaationsa ja lisäksi se, että eihän me aluksi tiedetä että raja-arvo lim_{x->a} f(x)/g(x) on olemassa. Ehkä se todistus kannattaneekin tehdä samoja keinoja käyttäen kuin 0/0-tapauksessa erikseen myös ∞/∞ -tapaukselle. Wikipediasta löytyy (case 2): https://en.wikipedia.org/wiki/L'Hôpital's_rule#General_proof


    • Anonyymi

      Entä onnistuisiko todistaa tällainen tulos, että
      jos f(x)/g(x) -> 0, niin f'(x)/g'(x) -> 0,
      kun f ja g lähestyvät molemmat ääretöntä?

      Tällä sen saisi ainakin fiksattua, tosin en ite osaa tuollaista todistaa :(.

      • Anonyymi

        Tuota ei voi todistaa, koska se ei pidä yleisesti paikkaansa. Esim: f(x) = x*sin(x^2) ja g(x) = x^2 kun x -> ∞.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuota ei voi todistaa, koska se ei pidä yleisesti paikkaansa. Esim: f(x) = x*sin(x^2) ja g(x) = x^2 kun x -> ∞.

        entä jos lisään ehdon, että f(x) -> ∞ ja g(x) -> ∞?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        entä jos lisään ehdon, että f(x) -> ∞ ja g(x) -> ∞?

        Näin käy jo yo. esimerkissä.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Näin käy jo yo. esimerkissä.

        x*sin(x^2) ei lähesty mitään, kun x -> ∞.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        x*sin(x^2) ei lähesty mitään, kun x -> ∞.

        Aaa joo sori. Ota jotain sellaista kuin f(x) = x*(sin(x^2)+2)


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Aaa joo sori. Ota jotain sellaista kuin f(x) = x*(sin(x^2)+2)

        Siis onks tää joku poikkeus, kun eikö L’Hopitalin säännön mukaan tuo juuri pidä paikkaansa, että
        lim f/g=lim f’/g’ ? Kun f ja g lähestyvät ääretöntä?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Siis onks tää joku poikkeus, kun eikö L’Hopitalin säännön mukaan tuo juuri pidä paikkaansa, että
        lim f/g=lim f’/g’ ? Kun f ja g lähestyvät ääretöntä?

        L'Hopital sanoo, että kun lim f'/g' on olemassa (+ ne muut ehdot), niin silloin lim f/g on olemassa ja yhtäsuuri kuin lim f'/g'.
        L'hopital ei siis "käänny" eli lim f/g:n olemassaolosta ei voi päätellä että lim f’/g’ olisi olemassa.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        L'Hopital sanoo, että kun lim f'/g' on olemassa (+ ne muut ehdot), niin silloin lim f/g on olemassa ja yhtäsuuri kuin lim f'/g'.
        L'hopital ei siis "käänny" eli lim f/g:n olemassaolosta ei voi päätellä että lim f’/g’ olisi olemassa.

        Miten se näkyy todistuksessa?
        lim f/g = välivaiheita = lim f’/g’

        Eikö yhtä lailla voi edetä lopputuloksesta alkuun?


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Miten se näkyy todistuksessa?
        lim f/g = välivaiheita = lim f’/g’

        Eikö yhtä lailla voi edetä lopputuloksesta alkuun?

        Ei. Käytän tässä nyt Calculus Fennicuksen sivun 359 kohdan 1 merkintöjä. Kun todistuksessa otetaan väliarvolauseen avulla ξ väliltä (a, x) siten, että

        f(x)/g(x) = (f(x) - f(a)) / (g(x) - g(a)) = f'(ξ) / g'(ξ)

        niin tämä ei takaa f'/g':n raja-arvon olemassa oloa (vaikka lim f/g olisikin olemassa), koska emme voineet vapaasti valita ξ:tä vaan se saatiin väliarvolauseesta.

        Ota esimerkiksi a = 0 ja
        f(x) = x^2 * sin(1/x^3) ja g(x) = x.
        Nyt
        f(x) / g(x) = x * sin(1/x^3) → 0, kun x → 0,
        mutta
        f'(x) / g'(x) = 2x*sin(1/x^3) - 3cos(1/x^3)/x^2
        ei mene nollaan, sillä 2x*sin(1/x^3) → 0, mutta 3cos(1/x^3)/x^2 ei mene vaan heilahtelee origon läheisyydessä aina vaan tiheämmin ja suuremmin (itse asiassa sisäfunktioon olisi riittänyt x^2, se että heilahtelu kasvaa ei ole oleellista; mutta x^3 oli varman päälle :D). Tästä heilahtelusta johtuen väliarvolauseen ξ aina löytyy eli f'/g' käy pienenä äärettömän monta kertaa origon läheisyydessä, mutta raja-arvoa ei ole.

        Hyvä kysymys muuten tuo että mikä menee toisessa suunnassa vikaan! Siitä nähdään, että jotenkin "hyvin villisti" f'/g': n on käyttäydyttävä, jotta raja-arvoa ei ole. Tai no, ainahan funktion on jotain "villiä" tehtävä ettei raja-arvoa ole :D


    • Anonyymi

      Kts. esim. Calculus Fennicus sivu 359.

      • Anonyymi

        eihän tuossa sanota muuta kuin että todistus sivuutetaan...


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        eihän tuossa sanota muuta kuin että todistus sivuutetaan...

        Etpä nyt lukenut. Eräs todistus (itseisarvot) sivuutettiin mutta muu asia kyllä tulee esille. Malttaisit nyt edes lukea!


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Putin hoiti Suomen natoon ja myös Ruotsin

      Iso kiitos Vladimir Putinille. Hänen ansiosta pääsemme nyt Natoon. Putin halusi Naton lähelle ja nyt sai. Voimme tästä kiittää vain Putinia.
      Maailman menoa
      674
      8161
    2. Niinistö teki hetkessä Suomesta Venäjän ydinaseiden maalitaulun

      Kaiken lisäksi mies vielä lällätteli Putinille eilisessä tiedotustilaisuudessa ja käski katsomaan itseään peiliin. Kyllä vähän asiallisempaa käytöstä
      Maailman menoa
      467
      2392
    3. Voi Stefu ja sun kiivas luonteesi

      Sielä lentelee ullakkohuoneiston ikkunasta daamin vaatteet ja matkalaukut pitkin pihaa. Toisaalta,en ihmettele yhtään että tämä suhde päättyi näin,kyl
      Kotimaiset julkkisjuorut
      234
      2380
    4. Poliisi otti Stefun kiinni!

      Seiska tietää kertoa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      147
      1924
    5. Ohhoh! Martina Aitolehti ja seurapiirihurmuri-Jesper ekassa yhteiskuvassa - Sutinaa Mallorcalla!

      Martina Aitolehti ja seurapiirijulkkis-Jesper nauttivat toisistaan varsin vauhdikkaissa merkeissä Mallorcalla. Aitolehti ei ole esitellyt rakastaan vi
      Kotimaiset julkkisjuorut
      30
      1515
    6. Stefanilta tuli taas karu totuus Sofiasta

      Marokkolainen h*o*ra! Voi tsiisus kun mulla on hauskaa! Lumput lentää ikkunasta kun Stefu raivoaa h*uralleen🤣🤣🤣 Nyt ne popparit tulille, tästä tule
      Kotimaiset julkkisjuorut
      120
      1307
    7. Veikkaus: Miten The Rasmus pärjää Euroviisuissa?

      Euroviisuhuuma on ylimmillään, kun Suomi ja The Rasmus taistelee biisillään Jezebel. Bändi on tikissä, kunhan Lauri Ylösen ääni kantaa. Mitä veikka
      Viihde ja kulttuuri
      51
      1263
    8. Steppuli veressä

      Seiskan lööpissä Steppulilla naama ja nyrkit veressä. Ei tainnut ihan kamojen pihalle paiskominen riittää. Onkohan pistänyt kämpän tuusannuuskaks.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      82
      1059
    9. Ootko onnellinen kun ei tarvitse

      nähdä tätä tyhmää naamaa enää koskaan? Multa se särkee sydämen, mutta minkäs teen. Vaikka olisi kuinka sinnikäs eikä hellittäisi, se ei aina auta.
      Ikävä
      65
      870
    10. Oletko nähnyt eroottiset kohuleffat? Fifty Shades Of Grey -trilogia tv:stä

      Fifty Shades -trilogia starttaa, kun nuori opiskelijanainen Anastasia tapaa rikkaan liikemiehen. Seksisuhdehan siitä starttaa, höystettynä sadistisill
      Suhteet
      7
      840
    Aihe