Pallo

Kaava

Kuinka pallon tilavuuden kaava (4πr^3)/3 on johdettu?

4

999

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • fffffffs

      Ympyrän yhtälö on x^2 y^2=r^2
      eli y=SQRT(r^2-x^2) välillä -r=

      • Kuvittele pallo kartioksi, jonka pohjan pinta-ala vastaa pallon pintaa ja korkeus pallon sädettä.
        Siitä se kaava syntyy.


    • Rantanplan

      Yksi tapa on laskea integraali pallokoordinaatistossa. Tämä on vähän hämärän näköinen, jos pallokoordinaatisto ei ole tuttu, mutta näinkin sen saa.

      Tilavuuden integraali on tietenkin yleisessä muodossa:
      v=∫dV

      sitten voidaan muistaa tai kuvia piirtelemällä päätellä, että pallokoordinaatistossa tilavuusalkio on:
      dV=rdθrcos(θ)dφdr = r²cos(θ)dθdφ

      sitten sijoitetaan integraaliin
      ∫dV=∫r²dr∫cos(θ)dθ∫dφ
      (lasketaan nuo integraalit erikseen ja kerrotaan keskenään)

      ja asetetaan pallon integrointirajoiksi
      r=0..r, φ=0..2π ja θ=-π/2..π/2

      sieltä se sitten tulee.

    • Joker

      Integroimalla puoliympyrän pyörähdyskappaleen tilavuus.

    Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mihin Ilkka Kanerva kuoli?

      Kun näin jokin aika sitten kuvan riutuneen näköisestä Kanervasta, sanoin vaimolle että haimasyövältä vaikuttaa. Vaimon isä oli kuollut kyseiseen tauti
      Maailman menoa
      264
      16953
    2. Oho! Susanna Laine uudessa hiustyylissä - Julkkismeikkaajalta tiukka palaute: "Ihan sama..."

      Ex-Salkkarit tähti ja juontaja Susanna Laine on monessa mukana. Ex-missi tunnetaan pitkistä, vaaleista hiuksistaan . Mitäs tykkäät uudesta hiustyylist
      Kotimaiset julkkisjuorut
      23
      5458
    3. Ilkka kanerva

      Ilkka Kanerva kuollut 74v
      Turku
      115
      2581
    4. Yllätyspaljastus: Poppari Robin Packalen kiittää urastaan iskelmätähti Juha Tapiota: "Jos mä en..."

      Oi, mikä tarina. Juha Tapio ja Robin ovat kyllä symppiksiä molemmat. Kumpi heistä on suosikkisi? https://www.suomi24.fi/viihde/yllatyspaljastus-poppar
      Kotimaiset julkkisjuorut
      15
      2058
    5. Venäjän lippulaiva Moskva upotettu Mustallamerellä

      Venäjän laivaston lippulaiva Mustalalmerellä on 180 m pituinen, Neuvostoliiton aikana rakennettu Moskva-niminen risteilijä. Ukraina ilmoitti eilen saa
      Maailman menoa
      336
      1762
    6. Pikkaraiskan puhelut

      Mitä tuo jätkä hakee sillä että julkaisee kuinka kauan on puhunut puhelimessa? Tekee itsestään vieläkin idiootimman tuolla vai mikä tää juttu?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      111
      996
    7. Ilkka Kanerva on kuollut

      74-vuotiaana.
      Maailman menoa
      59
      952
    8. Hossein Najaf juotti lapset humalaan ja käytti häikäilemättä hyväkseen

      Keski-Suomen käräjäoikeus on tuominnut 60-vuotiaan Hossein Najafin neljän vuoden vankeusrangaistukseen. Ensimmäisen tytön kanssa hän oli useita kerto
      Maailman menoa
      32
      880
    9. Sofia Belorf ja Sonja Aiello

      Viihtyvät yhdessä dinnerillä. Pienet piirit. Mitä ajatuksia herättää ?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      44
      880
    Aihe