Rakettiprobleema

m36-intj

Järjestelmässä, jossa massa muuttuu ajan mukana, voidaan johtaa seuraava liikeyhtälö:

ma = vrel*dm/dt Fext
Fext oletetaan tässä olevan gravitaatiovoima, eli F = -GMm/x^2. Ja vrel on negatiivinen liikesuuntaan nähden raketissa, miinusmerkki eteen.

dm/dt = -k, eli massa per aikayksikkö, joka häviää järjestelmästä, jolloin integroimalla saadaan m = m0 -kt.

Saadaan siis ma = vrel*k - GMm/x^2, eli siis differentiaaliyhtälönä:
x''(t) = vrel*k/(m0-kt) - GM/x^2.

Tätä ei voida ratkaista suljetussa muodossa vaan täytyy ratkaista numeerisesti.

Tämä siis ottaa huomioon raketin muuttuvan massan ja gravitaation, joka vähenee korkeuden mukaan. Vaikka ilmanvastuksen ja maapallon pyörivän liikkeen (päiväntasaajalla noin 465 m/s) jättää huomiotta, pitäisi kaavan melko tarkkaan päteä oikealle raketille.

Koetin laskea saanko laukaistua tällä raketteja, jotka pystyvät irtaantumaan maapallon vetovoimasta, mutta ei ole onnistunut, tulevat aina takaisin räjähtäen maanpinnalle. Ei ole väliä onko yksivaiheinen vai monivaiheinen raketti. Pääsevät ehkä realistisilla parametrien arvoilla muutaman tuhannen kilometrien korkeuteen. Parametrin k arvo on noin 0.5-15 tonnia/s, ja vrel noin = 2 -5 km/s raketeille.

Esim. Saturn V-raketille on annettu työntövoima noin 34000 kN, 3000 tonnin massa, ja ensimmäisen vaiheen moottori päällä 160 sekuntia, bensaa paloi noin 2100 tonnin edestä, ja vrel noin 2,6 km/s, eli palamiskaasujen nopeus suhteessa rakettiin, ja k siis noin 13 tonnia/s. Laskelmani antoivat raketin nopeudeksi vain noin puolet siitä mitä sen pitäisi olla wikipedian artikkelin mukaan 1 vaiheen lopussa, saavutettu korkeus oli enemmän oikein.

7

121

Äänestä

    Vastaukset 7

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Von braunin veli

      Itse törmännyt vastaavaan.

      Netistä löytyy näppäriä excell taulukoita joiden avulla probleemaa voi tutkia. Tossa sun kaavassa painon väheneminen menee väärin.

      • m36-intj

        Itse laskin wolframin alphalla, tässä esimerkki, Saturn-V raketin ensimmäisen vaiheen parametrit, yksiköt ovat muodossa kilometri - tonni - sekunti.

        http://m.wolframalpha.com/input/?i=Runge-Kutta method, x''(t) = 13*2.6/(3000 - 13*t) - 0.0098* (6400/(6400 x))^2, {x'(0) = 0, x(0) = 0}, from 0 to 160, h = 0.1&x=0&y=1

        Nopeus pitää arvioida taulukon avulla, eli siinä saa vain välivaiheina kuljetun matkan ja ajan, mikä jää kylläkin loppupään keskiarvoksi, mutta pitäisi olla tarpeeksi oikein.

        Painon vähentyminen on laskettu oikein, dm/dt = -k, antaa integroituna m = m0 - kt, ja tuossa siis m0 on alkupaino, se vähenee lineaarisesti ajan mukana, mutta ei saa tietenkään mennä kokonaan nollaksi tai alle.

        Ottamalla yhtälöstä pois ensimmäinen termi, voidaan katsoa että pakonopeus menee oikein, laukaisee jotakin nopeudella 11 km/s maanpinnasta, ja katsoo ettei tule alas, eli x'(0)=11, ja x(0) =0.

    • ei fyysikko

      Kun tunnetaan vakiovoima, muuttuva massa ja muuttuva 'vastus' ja näillä tiedoilla yritetään laskea loppunopeutta ja matkaa tietyn ajan kuluttua, ei lähtöyhtälössä voi olla valmiina loppunopeutta, se määräytyy alkuehdoista.
      Laskuun on näköjään taas sekoitettu valmiiksi laskettu vakiovoimalla ja muuttuvalla massalla, vastuksettoman liikkeen loppunopeuden ja ajan keskinäinen riippuvuus. (F=vm' ma)
      Tässäkään tapauksessa ei voida soveltaa em. yhtälöä, koska se on johdettu suoraan alkuperäisestä F=ma, kun taas tässä tapauksessa lähtöyhtälö on F-mg = ma

      Kiihtyvyyden kaava pitänee olla :

      x''(t) = F / m(t) -g(x)

      • 17+10

        Mikä "loppunopeus"? vrel on palamiskaasujen nopeus, aloittajan viestin mukaan.

      • m36-intj

        En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
        http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

        Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.

      • ei fyysikko
        m36-intj kirjoitti:

        En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
        http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

        Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.

        Linkkisi ensimmäisessä kaavassa on kiteytetty koko asia.

        Kaavassa Fext on pystysuoraan nousevalle raketille m*g, ja
        Vrel*dm/dt on raketin työntövoima ja näiden summa on m*dv/dt.

        Laskussasi tunnetaan raketin työntövoima ja polttoaineen kulutus, joten suihkun virtausnopeus on tarpeeton tieto ja kaava on

        Frak -mg = ma

        Koska raketin työntövoima oletetaan vakioksi, se tarkoittaa että massa pienenee lineaarisesti ajan suhteen ja lisäksi vetovoiman kiihtyvyys muuttuu etäisyyden neliöön, niin niillä täydennettynä paketti on valmis ratkaistavaksi.

      • 3+17

        Kyllähän tuo yhtälö F=vm' ma pitää yleisesti paikkansa, ei tarvitse olla edes vakiovoima. Tuo termi vm' pitää vain tulkita oikein. Kun systeemistä poistuu tai siihen tulee massaa nopeudella m', v on nopeusero ja mv' on liikemäärä aikayksikössä joka systeemistä poistuu tai siihen tuodaan. Jos vaikkapa systeemistä irtoaa osamassa joka jatkaa liikettä senhetkisellä nopeudellaan, ei sillä ole vaikutusta systeemin liikemäärään jäljellä olevaan ja tuon termin arvo on 0.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mikä Yllätti

      Kaivatussasi?
      Ikävä
      175
      1597

    2. Se katse...

      Täynnä rakkautta. Kunpa olisin tajunnut.
      Ikävä
      78
      841

    3. Ei enää ulkoteltta ruokaa.

      Se oli sitten viimmeinen kerta kun tuonne teltalle menen.Laatu heikkenee joka vuosi ja annokset pienenee.Ei enää kiitos,
      Kuhmo
      38
      823

    4. En ole hetkeen sinulle kirjoittanut nainen

      Vieläkin ajattelen sinua, jos voit uskoa. Tunteet minussa huutavat toivoa ja rakkautta, kun kylmä loogisuus taas pistää
      Ikävä
      56
      791

    5. Mitä toivot tulevaisuudelta?

      😊
      Ikävä
      59
      630

    6. Mitä eroavaisuuksia sinulla on

      kaivattusi kanssa? Esim. luonteessa. Haittaavatko erot vai ovatko vain rikkaus?
      Ikävä
      69
      610

    7. Olet niin tärkeä

      Et edes tiedä sitä, tai ehkä tunnet sen… Sinussa on jotakin pysyvää, tuttua, turvallista, kodikasta.
      Ikävä
      19
      541

    8. Onnettomuus

      Olivatko paikkakuntalaisia, jotka menehtyivät?
      Virrat
      18
      502

    9. Mä olen tosi

      Ylpeä sinusta 🫂 Ajatuksissani pyydän sulle paljon suojelusta ja varjelusta. Sinua rakastettaan ja susta välitetään. Mui
      Ikävä
      38
      496

    10. Jos sussa toisessa on yhtään miestä

      Ja kadut tekemisiäsi niin menet poliisin puheille, paljastat kaiken oman osuutesi ja kerrot mitä kaikkea se toinen on te
      Ikävä
      35
      476
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt