Rakettiprobleema

m36-intj

Järjestelmässä, jossa massa muuttuu ajan mukana, voidaan johtaa seuraava liikeyhtälö:

ma = vrel*dm/dt Fext
Fext oletetaan tässä olevan gravitaatiovoima, eli F = -GMm/x^2. Ja vrel on negatiivinen liikesuuntaan nähden raketissa, miinusmerkki eteen.

dm/dt = -k, eli massa per aikayksikkö, joka häviää järjestelmästä, jolloin integroimalla saadaan m = m0 -kt.

Saadaan siis ma = vrel*k - GMm/x^2, eli siis differentiaaliyhtälönä:
x''(t) = vrel*k/(m0-kt) - GM/x^2.

Tätä ei voida ratkaista suljetussa muodossa vaan täytyy ratkaista numeerisesti.

Tämä siis ottaa huomioon raketin muuttuvan massan ja gravitaation, joka vähenee korkeuden mukaan. Vaikka ilmanvastuksen ja maapallon pyörivän liikkeen (päiväntasaajalla noin 465 m/s) jättää huomiotta, pitäisi kaavan melko tarkkaan päteä oikealle raketille.

Koetin laskea saanko laukaistua tällä raketteja, jotka pystyvät irtaantumaan maapallon vetovoimasta, mutta ei ole onnistunut, tulevat aina takaisin räjähtäen maanpinnalle. Ei ole väliä onko yksivaiheinen vai monivaiheinen raketti. Pääsevät ehkä realistisilla parametrien arvoilla muutaman tuhannen kilometrien korkeuteen. Parametrin k arvo on noin 0.5-15 tonnia/s, ja vrel noin = 2 -5 km/s raketeille.

Esim. Saturn V-raketille on annettu työntövoima noin 34000 kN, 3000 tonnin massa, ja ensimmäisen vaiheen moottori päällä 160 sekuntia, bensaa paloi noin 2100 tonnin edestä, ja vrel noin 2,6 km/s, eli palamiskaasujen nopeus suhteessa rakettiin, ja k siis noin 13 tonnia/s. Laskelmani antoivat raketin nopeudeksi vain noin puolet siitä mitä sen pitäisi olla wikipedian artikkelin mukaan 1 vaiheen lopussa, saavutettu korkeus oli enemmän oikein.

7

109

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Von braunin veli

      Itse törmännyt vastaavaan.

      Netistä löytyy näppäriä excell taulukoita joiden avulla probleemaa voi tutkia. Tossa sun kaavassa painon väheneminen menee väärin.

      • m36-intj

        Itse laskin wolframin alphalla, tässä esimerkki, Saturn-V raketin ensimmäisen vaiheen parametrit, yksiköt ovat muodossa kilometri - tonni - sekunti.

        http://m.wolframalpha.com/input/?i=Runge-Kutta method, x''(t) = 13*2.6/(3000 - 13*t) - 0.0098* (6400/(6400 x))^2, {x'(0) = 0, x(0) = 0}, from 0 to 160, h = 0.1&x=0&y=1

        Nopeus pitää arvioida taulukon avulla, eli siinä saa vain välivaiheina kuljetun matkan ja ajan, mikä jää kylläkin loppupään keskiarvoksi, mutta pitäisi olla tarpeeksi oikein.

        Painon vähentyminen on laskettu oikein, dm/dt = -k, antaa integroituna m = m0 - kt, ja tuossa siis m0 on alkupaino, se vähenee lineaarisesti ajan mukana, mutta ei saa tietenkään mennä kokonaan nollaksi tai alle.

        Ottamalla yhtälöstä pois ensimmäinen termi, voidaan katsoa että pakonopeus menee oikein, laukaisee jotakin nopeudella 11 km/s maanpinnasta, ja katsoo ettei tule alas, eli x'(0)=11, ja x(0) =0.

    • ei fyysikko

      Kun tunnetaan vakiovoima, muuttuva massa ja muuttuva 'vastus' ja näillä tiedoilla yritetään laskea loppunopeutta ja matkaa tietyn ajan kuluttua, ei lähtöyhtälössä voi olla valmiina loppunopeutta, se määräytyy alkuehdoista.
      Laskuun on näköjään taas sekoitettu valmiiksi laskettu vakiovoimalla ja muuttuvalla massalla, vastuksettoman liikkeen loppunopeuden ja ajan keskinäinen riippuvuus. (F=vm' ma)
      Tässäkään tapauksessa ei voida soveltaa em. yhtälöä, koska se on johdettu suoraan alkuperäisestä F=ma, kun taas tässä tapauksessa lähtöyhtälö on F-mg = ma

      Kiihtyvyyden kaava pitänee olla :

      x''(t) = F / m(t) -g(x)

      • 17+10

        Mikä "loppunopeus"? vrel on palamiskaasujen nopeus, aloittajan viestin mukaan.

      • m36-intj

        En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
        http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

        Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.

      • ei fyysikko
        m36-intj kirjoitti:

        En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
        http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

        Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.

        Linkkisi ensimmäisessä kaavassa on kiteytetty koko asia.

        Kaavassa Fext on pystysuoraan nousevalle raketille m*g, ja
        Vrel*dm/dt on raketin työntövoima ja näiden summa on m*dv/dt.

        Laskussasi tunnetaan raketin työntövoima ja polttoaineen kulutus, joten suihkun virtausnopeus on tarpeeton tieto ja kaava on

        Frak -mg = ma

        Koska raketin työntövoima oletetaan vakioksi, se tarkoittaa että massa pienenee lineaarisesti ajan suhteen ja lisäksi vetovoiman kiihtyvyys muuttuu etäisyyden neliöön, niin niillä täydennettynä paketti on valmis ratkaistavaksi.

      • 3+17

        Kyllähän tuo yhtälö F=vm' ma pitää yleisesti paikkansa, ei tarvitse olla edes vakiovoima. Tuo termi vm' pitää vain tulkita oikein. Kun systeemistä poistuu tai siihen tulee massaa nopeudella m', v on nopeusero ja mv' on liikemäärä aikayksikössä joka systeemistä poistuu tai siihen tuodaan. Jos vaikkapa systeemistä irtoaa osamassa joka jatkaa liikettä senhetkisellä nopeudellaan, ei sillä ole vaikutusta systeemin liikemäärään jäljellä olevaan ja tuon termin arvo on 0.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Sanna Marin vetänyt leukoja 11 kertaa

      Tästähän oli joskus polemiikkia, kun muistaakseni lupasi kymmenen tai jotain vedellä. No nyt niin on, ainakin omien san
      Maailman menoa
      74
      5335

    2. Kirjoita

      … jotakin minkä vain kaivattusi tietää
      Ikävä
      117
      1715

    3. Farmi Suomi: Kokeeko Frederik, 81, saman kohtalon kuin ikämies Danny?

      Danny, musiikkineuvos Ilkka Lipsanen, nähtiin mukana Farmi Suomi -realityssä v. 2024. Danny teki yllätysratkaisun ja tuo
      Tv-sarjat
      23
      1640

    4. Tyhmä persuväite = köyhä argumentti

      Väite, että vasemmistopuolueita äänestäisivät vain “köyhät, tapatyöttömät tai heikoilla lahjoilla varustetut”, kertoo en
      Maailman menoa
      30
      1608

    5. Sosialismia Tampereella: Virallinen ilmiantolinja avautuu kaupungissa

      Nyt siis mennään mansessa ihan justiinsa samaan malliin kuin entisessä Neuvostoliitossa, jossa saattoi ilmiantaa naapuri
      Maailman menoa
      51
      1565

    6. Tiesitkö? Andy McCoy ja Pelle Miljoona saavat taiteilijaeläkettä - Tämän suuruinen eläke on

      Ylimääräiset taiteilijaeläkkeet on jaettu ja 59 taiteilijaa sai sen. Taiteilijoiden keskimääräinen eläketulo jää hyvin a
      Maailman menoa
      52
      999

    7. Oliko se peppu

      Vai älykkyys mikä enemmän viehätti?
      Ikävä
      73
      936

    8. Haluan sut

      Voitaisiinko tutustua paremmin toisiimme? Ovi on aina auki sinulle. Lähelle.
      Ikävä
      39
      745

    9. Kunnanvaltuusto koolle heti

      Tämä on erittäin vakava tilanne 17 hakkiita oli hyrylle mutta Kas kummaa kaksi hakkiota loppusuora oli Kainuusta ja Brys
      Hyrynsalmi
      29
      739

    10. Sähköautoa vaikea hankkia koska latauspisteet puuttuu

      Suurimmassa osassa taloyhtiöitä joiden talot rakennettu 2018 tai aiemmin ei latauspisteet ole sellaisia että sähköautoa
      Maailman menoa
      59
      735
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt