Järjestelmässä, jossa massa muuttuu ajan mukana, voidaan johtaa seuraava liikeyhtälö:
ma = vrel*dm/dt Fext
Fext oletetaan tässä olevan gravitaatiovoima, eli F = -GMm/x^2. Ja vrel on negatiivinen liikesuuntaan nähden raketissa, miinusmerkki eteen.
dm/dt = -k, eli massa per aikayksikkö, joka häviää järjestelmästä, jolloin integroimalla saadaan m = m0 -kt.
Saadaan siis ma = vrel*k - GMm/x^2, eli siis differentiaaliyhtälönä:
x''(t) = vrel*k/(m0-kt) - GM/x^2.
Tätä ei voida ratkaista suljetussa muodossa vaan täytyy ratkaista numeerisesti.
Tämä siis ottaa huomioon raketin muuttuvan massan ja gravitaation, joka vähenee korkeuden mukaan. Vaikka ilmanvastuksen ja maapallon pyörivän liikkeen (päiväntasaajalla noin 465 m/s) jättää huomiotta, pitäisi kaavan melko tarkkaan päteä oikealle raketille.
Koetin laskea saanko laukaistua tällä raketteja, jotka pystyvät irtaantumaan maapallon vetovoimasta, mutta ei ole onnistunut, tulevat aina takaisin räjähtäen maanpinnalle. Ei ole väliä onko yksivaiheinen vai monivaiheinen raketti. Pääsevät ehkä realistisilla parametrien arvoilla muutaman tuhannen kilometrien korkeuteen. Parametrin k arvo on noin 0.5-15 tonnia/s, ja vrel noin = 2 -5 km/s raketeille.
Esim. Saturn V-raketille on annettu työntövoima noin 34000 kN, 3000 tonnin massa, ja ensimmäisen vaiheen moottori päällä 160 sekuntia, bensaa paloi noin 2100 tonnin edestä, ja vrel noin 2,6 km/s, eli palamiskaasujen nopeus suhteessa rakettiin, ja k siis noin 13 tonnia/s. Laskelmani antoivat raketin nopeudeksi vain noin puolet siitä mitä sen pitäisi olla wikipedian artikkelin mukaan 1 vaiheen lopussa, saavutettu korkeus oli enemmän oikein.
Rakettiprobleema
7
93
Vastaukset
- Von braunin veli
Itse törmännyt vastaavaan.
Netistä löytyy näppäriä excell taulukoita joiden avulla probleemaa voi tutkia. Tossa sun kaavassa painon väheneminen menee väärin.Itse laskin wolframin alphalla, tässä esimerkki, Saturn-V raketin ensimmäisen vaiheen parametrit, yksiköt ovat muodossa kilometri - tonni - sekunti.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=Runge-Kutta method, x''(t) = 13*2.6/(3000 - 13*t) - 0.0098* (6400/(6400 x))^2, {x'(0) = 0, x(0) = 0}, from 0 to 160, h = 0.1&x=0&y=1
Nopeus pitää arvioida taulukon avulla, eli siinä saa vain välivaiheina kuljetun matkan ja ajan, mikä jää kylläkin loppupään keskiarvoksi, mutta pitäisi olla tarpeeksi oikein.
Painon vähentyminen on laskettu oikein, dm/dt = -k, antaa integroituna m = m0 - kt, ja tuossa siis m0 on alkupaino, se vähenee lineaarisesti ajan mukana, mutta ei saa tietenkään mennä kokonaan nollaksi tai alle.
Ottamalla yhtälöstä pois ensimmäinen termi, voidaan katsoa että pakonopeus menee oikein, laukaisee jotakin nopeudella 11 km/s maanpinnasta, ja katsoo ettei tule alas, eli x'(0)=11, ja x(0) =0.
- ei fyysikko
Kun tunnetaan vakiovoima, muuttuva massa ja muuttuva 'vastus' ja näillä tiedoilla yritetään laskea loppunopeutta ja matkaa tietyn ajan kuluttua, ei lähtöyhtälössä voi olla valmiina loppunopeutta, se määräytyy alkuehdoista.
Laskuun on näköjään taas sekoitettu valmiiksi laskettu vakiovoimalla ja muuttuvalla massalla, vastuksettoman liikkeen loppunopeuden ja ajan keskinäinen riippuvuus. (F=vm' ma)
Tässäkään tapauksessa ei voida soveltaa em. yhtälöä, koska se on johdettu suoraan alkuperäisestä F=ma, kun taas tässä tapauksessa lähtöyhtälö on F-mg = ma
Kiihtyvyyden kaava pitänee olla :
x''(t) = F / m(t) -g(x)- 17+10
Mikä "loppunopeus"? vrel on palamiskaasujen nopeus, aloittajan viestin mukaan.
En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system
Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.- ei fyysikko
m36-intj kirjoitti:
En kyllä viisastunut selityksestäsi, ei lähtöyhtälössä ole valmiina loppunopeutta. Otin kaavan johdon tästä:
http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system
Jos vaikka Tsiolkovskyn rakettiyhtälöön v = vrel* ln(Mi/Mf), sijoittaa aikariippuuvuuden Mf = Mi - kt, ja derivoidaan ajan suhteen, saadaan kiihtyvyys, joka on a = vrel*k/(Mi-kt), mikä on sama termi joka yhtälössäni esiintyy.Linkkisi ensimmäisessä kaavassa on kiteytetty koko asia.
Kaavassa Fext on pystysuoraan nousevalle raketille m*g, ja
Vrel*dm/dt on raketin työntövoima ja näiden summa on m*dv/dt.
Laskussasi tunnetaan raketin työntövoima ja polttoaineen kulutus, joten suihkun virtausnopeus on tarpeeton tieto ja kaava on
Frak -mg = ma
Koska raketin työntövoima oletetaan vakioksi, se tarkoittaa että massa pienenee lineaarisesti ajan suhteen ja lisäksi vetovoiman kiihtyvyys muuttuu etäisyyden neliöön, niin niillä täydennettynä paketti on valmis ratkaistavaksi. - 3+17
Kyllähän tuo yhtälö F=vm' ma pitää yleisesti paikkansa, ei tarvitse olla edes vakiovoima. Tuo termi vm' pitää vain tulkita oikein. Kun systeemistä poistuu tai siihen tulee massaa nopeudella m', v on nopeusero ja mv' on liikemäärä aikayksikössä joka systeemistä poistuu tai siihen tuodaan. Jos vaikkapa systeemistä irtoaa osamassa joka jatkaa liikettä senhetkisellä nopeudellaan, ei sillä ole vaikutusta systeemin liikemäärään jäljellä olevaan ja tuon termin arvo on 0.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ensi kesänä
Näin kesän viimeisenä minuutteina ajattelen sinua. Olisiko seuraava kesä "meidän" kesä? Tänä vuonna ei onnistuttu, mutta663362Tukalaa kuumuutta
Tietäisitpä vaan kuinka kuumana olen käynyt viime päivät. Eikä johdu helteestä, vaan sinusta. Mitäköhän taikoja olet teh433157Anne Kukkohovin karmeat velat ovat Suomessa.
Lähtikö se siksi pois Suomesta ? Et on noin kar? mean suuret velat naisella olemassa1222648- 432538
- 311953
Okei, myönnetään,
Oisit sä saanut ottaa ne housutkin pois, mutta ehkä joskus jossain toisaalla. 😘271850- 481636
Mihin hävisi
Mihin hävisi asiallinen keskustelu tositapahtumista, vai pitikö jonkin Hannulle kateellisen näyttää typeryytensä851465- 391320
- 821189