Millaisen funktion derivaatta on epäjatkuva?
epäjatkuva derivaatta
sdfsdfsvc
24
788
Vastaukset
- 13+14
Esim. f(x) = |x|, derivaatalla on epäjatkuvuuskohta kohdassa f(0).
Myös sellaisten funktioiden derivaatta on epäjatkuva, joita ei ole määritelty jossain pisteessä, esim. f(x) = x/x, derivaatta on 0, kaikkialla muualla, paitsi kohdassa f(0), jossa derivaattaa (kuten funktiotakaan) ei ole määritelty.- määritellyjoukko jva
- määrittelyjoukko jva
Mitenkäs tuosta viestistä tuollainen tuli...?
Siis tarkoitus oli kirjoittaa, että eihän tuon funkition f(x) = |x| derivaattaa ole olemassa 0:ssa.
Ja minulle on opetettu, että funktion jatkuvuutta voi tarkastella vain sen määrittelyjoukossa =).
Eli tuo f ' (x) olisi ihan jatkuva (määrittelyjoukossaan).
Ei nyt tule heti mieleen esimerkkiä funktiosta, jonka derivaatta olisi epäjatkuva ja määritelty jossain pisteessä.
Vai meneekö se määrittely sitten jotenkin toispuoleisten derivaattojen kautta? - wqeqweqweqw
määrittelyjoukko jva kirjoitti:
Mitenkäs tuosta viestistä tuollainen tuli...?
Siis tarkoitus oli kirjoittaa, että eihän tuon funkition f(x) = |x| derivaattaa ole olemassa 0:ssa.
Ja minulle on opetettu, että funktion jatkuvuutta voi tarkastella vain sen määrittelyjoukossa =).
Eli tuo f ' (x) olisi ihan jatkuva (määrittelyjoukossaan).
Ei nyt tule heti mieleen esimerkkiä funktiosta, jonka derivaatta olisi epäjatkuva ja määritelty jossain pisteessä.
Vai meneekö se määrittely sitten jotenkin toispuoleisten derivaattojen kautta?"Siis tarkoitus oli kirjoittaa, että eihän tuon funkition f(x) = |x| derivaattaa ole olemassa 0:ssa.
Ja minulle on opetettu, että funktion jatkuvuutta voi tarkastella vain sen määrittelyjoukossa =)."
Kyllä sen derivaatta on periaatteessa funktio
f'(x) = -1, jos x < 0 ja 1 jos x > 0
joka on epäjatkuva origossa. Ei se tosiaan ole määriteltykään siinä epäjatkuvuuskohdassa, mutta ei se minun mielestäni ole oleellista. Toinen derivaatta on sitten vielä oudompi eli diracin delta-funktio:
f''(x) = oo, jos x=0, 0 muutoin
s.e. int_R f''(x) dx = 2. - väärin menee
wqeqweqweqw kirjoitti:
"Siis tarkoitus oli kirjoittaa, että eihän tuon funkition f(x) = |x| derivaattaa ole olemassa 0:ssa.
Ja minulle on opetettu, että funktion jatkuvuutta voi tarkastella vain sen määrittelyjoukossa =)."
Kyllä sen derivaatta on periaatteessa funktio
f'(x) = -1, jos x < 0 ja 1 jos x > 0
joka on epäjatkuva origossa. Ei se tosiaan ole määriteltykään siinä epäjatkuvuuskohdassa, mutta ei se minun mielestäni ole oleellista. Toinen derivaatta on sitten vielä oudompi eli diracin delta-funktio:
f''(x) = oo, jos x=0, 0 muutoin
s.e. int_R f''(x) dx = 2.Ei ole mielekästä puhua jatkuvuudesta jossain pisteessä jos sitä ei ole määritelty ko. pisteessä.
Sen sijaan voidaan kyllä puhua raja-arvoista. Summa summarum, kyllä se haittaa, ettei annettu funktiota |x| ole määritelty nollassa. - wqeqweqweqw
väärin menee kirjoitti:
Ei ole mielekästä puhua jatkuvuudesta jossain pisteessä jos sitä ei ole määritelty ko. pisteessä.
Sen sijaan voidaan kyllä puhua raja-arvoista. Summa summarum, kyllä se haittaa, ettei annettu funktiota |x| ole määritelty nollassa.Tuolla periaatteella ei olisi olleenkaan olemassa funktioita joiden derivaatta on epäjatkuva. Kuitenkin |x| on perusoppikirjaesimerkki funktioista, jonka derivaatta on epäjatkuva. Kannattaa hankkia joku analyysin perusoppikirja ja tarkistaa asia sieltä.
- a-s-h
wqeqweqweqw kirjoitti:
Tuolla periaatteella ei olisi olleenkaan olemassa funktioita joiden derivaatta on epäjatkuva. Kuitenkin |x| on perusoppikirjaesimerkki funktioista, jonka derivaatta on epäjatkuva. Kannattaa hankkia joku analyysin perusoppikirja ja tarkistaa asia sieltä.
"Tuolla periaatteella ei olisi olleenkaan olemassa funktioita joiden derivaatta on epäjatkuva."
Ei sentään. Ks. viestiäni alempaa. - en usko
wqeqweqweqw kirjoitti:
Tuolla periaatteella ei olisi olleenkaan olemassa funktioita joiden derivaatta on epäjatkuva. Kuitenkin |x| on perusoppikirjaesimerkki funktioista, jonka derivaatta on epäjatkuva. Kannattaa hankkia joku analyysin perusoppikirja ja tarkistaa asia sieltä.
Jään odottamaan!
- en usko..
en usko kirjoitti:
Jään odottamaan!
että jos tutkitaan laajempaa aluetta kuin itse funktion määrittelyalue, niin tässä alueessa funktio ei tietenkään ole jatkuva. Siis tämän takia tuo |x| ei ole millään muotoa mielenkiintoinen esimerkki.
- wqeqweqweqw
en usko kirjoitti:
Jään odottamaan!
Joku perusoppikirja voisi olla vakka Rudinin principles of mathematical analysis, jossa määritellään varmaan mikä on epäjatkuva funktio. Jos funktion jokainen piste on kasautumispiste, se on jatkuva, tästä olemme varaan yhtä mieltä. Jos funktio ei ole jatkuva, se on.. (arvaa mitä?). Onko siis |x|:n derivaatta jatkuva vai epäjatkuva?
- niinpä niin
wqeqweqweqw kirjoitti:
Joku perusoppikirja voisi olla vakka Rudinin principles of mathematical analysis, jossa määritellään varmaan mikä on epäjatkuva funktio. Jos funktion jokainen piste on kasautumispiste, se on jatkuva, tästä olemme varaan yhtä mieltä. Jos funktio ei ole jatkuva, se on.. (arvaa mitä?). Onko siis |x|:n derivaatta jatkuva vai epäjatkuva?
se on aivan selvästi!!
- x^2 sin (1/x)
x^2 sin (1/x)
nollassa- a-s-h
Halutaan siis funktio, jolla on epäjatkuva derivaatta. Klassisen esimerkin antoikin jo tuossa jo edellä nimimerkki x^2 sin(1/x): paloittain määritelty funktio
f(x) = x^2 sin(1/x), kun x =! 0,
f(x) = 0, kun x = 0,
on kaikkialla derivoituva, mutta sen derivaatta ei ole jatkuva kohdassa x = 0. Derivaatta on kyllä määritelty origossa, mutta se heilahtelee origon ympäristössä niin rajusti, ettei sillä ole origossa raja-arvoa, mikä tuhoaa jatkuvuuden.
Googlaamalla löytyy varmasti lisätietoa.
- -maallikko-
koulumatikasta, niin maallikon käsitys riittänee tuohon aivan hyvin ilman ihmeanalyysejä:
Koska derivaatta havainnollisesti on tangentin kulmakerroin (kuvastaa funktion muutosta kullakin hetkellä siirryttäessä x-akselilla), niin mikä tahansa terävä tai tylsempikin 'kulmapiste' käppyrässä aiheuttaa äkkihypyn (epäjatkuvuuden) tangentin suunnassa ja siten derivaatan arvossa.
Periaatteessahan funktio on sekin, kun piirrät vapaalla kädellä viivaa (vaikka siksak'ia tai piparkakkureunusta) koordinaatistoon, sille vain ei satu löytymään välttämättä mitään matemaattista lauseketta millä sitä laskemalla käsitellä. Eli jokainen ns.terävä kohta on derivaatan epäjatkuvuuspiste.
Koulukirjassa funktio on, jos on kullekin x:lle vain yksi y:n arvo. Tässä mielessä esim. ympyrä ei ole funktio, vaikka sille löytyykin helppo lausekkeen muotoinen esitys.- a-s-h
"-- mikä tahansa terävä tai tylsempikin 'kulmapiste' käppyrässä aiheuttaa äkkihypyn (epäjatkuvuuden) tangentin suunnassa ja siten derivaatan arvossa."
Aiempien viestien nojalla tämä täyttänyt ainakaan kaikkien keskustelijoiden toiveita. Jos funktion kuvaajassa on terävä kärki, ei funktiolla ko. kohdassa ole derivaattaa ensinkään. Derivaatta ei toki ole jatkuva sellaisessa pisteessä, jossa sitä ei edes ole olemassa, mutta ei tällainen tilanne ole esimerkkinä kovin kiinnostava. Jännittävämpää on löytää funktio, jonka derivaatta on kaikkialla määritelty muttei silti jatkuva. Siis derivaatan halutaan olevan epäjatkuva jossain määrittelyjoukkonsa pisteessä. Ilmeisesti tätä haki alkuperäinen kysyjä, ja siihen on tuossa edempänä vastannut nimimerkki x^2 sin(1/x). - vai miten se oli
a-s-h kirjoitti:
"-- mikä tahansa terävä tai tylsempikin 'kulmapiste' käppyrässä aiheuttaa äkkihypyn (epäjatkuvuuden) tangentin suunnassa ja siten derivaatan arvossa."
Aiempien viestien nojalla tämä täyttänyt ainakaan kaikkien keskustelijoiden toiveita. Jos funktion kuvaajassa on terävä kärki, ei funktiolla ko. kohdassa ole derivaattaa ensinkään. Derivaatta ei toki ole jatkuva sellaisessa pisteessä, jossa sitä ei edes ole olemassa, mutta ei tällainen tilanne ole esimerkkinä kovin kiinnostava. Jännittävämpää on löytää funktio, jonka derivaatta on kaikkialla määritelty muttei silti jatkuva. Siis derivaatan halutaan olevan epäjatkuva jossain määrittelyjoukkonsa pisteessä. Ilmeisesti tätä haki alkuperäinen kysyjä, ja siihen on tuossa edempänä vastannut nimimerkki x^2 sin(1/x).Minusta derivaatta ei silloin ole jatkuva, kun funktion tietyn pisteen oikean- ja vasemmanpuoliset derivaatat eivät ole samat. Näin raja-arvona määritellylle derivaatalle saadaan eri arvot riippuen siitä kummalta puolelta pistettä lähestytään.
Käytännössä tämä tarkoittaa yksikäsitteisessä funktioissa juuri tuollaisten kärkien muodostumista. - MatikkaPää
vai miten se oli kirjoitti:
Minusta derivaatta ei silloin ole jatkuva, kun funktion tietyn pisteen oikean- ja vasemmanpuoliset derivaatat eivät ole samat. Näin raja-arvona määritellylle derivaatalle saadaan eri arvot riippuen siitä kummalta puolelta pistettä lähestytään.
Käytännössä tämä tarkoittaa yksikäsitteisessä funktioissa juuri tuollaisten kärkien muodostumista.Nimimerkki "vai miten se oli":
Funktion |x| derivaatta ei tietystikään ole jatkuva origossa, koska sitä ei ole edes origossa määritelty.
Mutta tarkalleen ottan on absurdia sanoa, että se olisi epäjatkuva. Lukion oppikirjoissa näin epätäsmällisesti tehdään. Tämän syynä on epäilemättä ajatusmalli, jossa R on jonkinlainen absoluuttinen perusjoukko, jossa kaikkia tapahtuu. Kun mennäät hieman pidemmälle matematiikassa, tällaista absoluuttista perusjoukkoa ei enää ole nähtävissä, varsinkaan kun funktio on vain abstrakti sääntö (relaatio), jolle ei ole selvää lauseketta. - -maallikko-
a-s-h kirjoitti:
"-- mikä tahansa terävä tai tylsempikin 'kulmapiste' käppyrässä aiheuttaa äkkihypyn (epäjatkuvuuden) tangentin suunnassa ja siten derivaatan arvossa."
Aiempien viestien nojalla tämä täyttänyt ainakaan kaikkien keskustelijoiden toiveita. Jos funktion kuvaajassa on terävä kärki, ei funktiolla ko. kohdassa ole derivaattaa ensinkään. Derivaatta ei toki ole jatkuva sellaisessa pisteessä, jossa sitä ei edes ole olemassa, mutta ei tällainen tilanne ole esimerkkinä kovin kiinnostava. Jännittävämpää on löytää funktio, jonka derivaatta on kaikkialla määritelty muttei silti jatkuva. Siis derivaatan halutaan olevan epäjatkuva jossain määrittelyjoukkonsa pisteessä. Ilmeisesti tätä haki alkuperäinen kysyjä, ja siihen on tuossa edempänä vastannut nimimerkki x^2 sin(1/x).tässä on nyt vastakkain koululaistaso (katutaso) vs. matikan opiskelijat/harrastajat ja tulkitsen alkuperäisen ns.katutason kysymykseksi :)
Tässä mielessä voisin kysyä a-s-h:lta askelta pidemmällä olevan vastaavan: osaatko kuvailla/erottaa toisistaan silmämääräisesti käppyrät, joissa 1.derivaatat ovat jatkuvia mutta toisessa 2.derivaatassa on 'hyppy'. Miten se käppyrässä silmälle näkyy?
Koulukirjan käppyrät ovat monesti siten ideaaleja, että esim sin x ja e^x derivoituvat vaikka millä asteella, eli ei ole katkoksia derivaatoissa.
Tuolla ylempänä käytettiin esimerkkiä |x| eka derivaatan epäjatkuvuudesta. Mutta funktiosta itsestään: ei kai siinä ole ongelmia, eikös f(0) (eli |0| ) ole "luonnostaan" nolla eli f(x)=|x| on jatkuva kaikkialla? Ettei tarvitse lisäystä f(x) =|x| muualla ja f(x) = 0 x:n arvolla 0. - a-s-h
vai miten se oli kirjoitti:
Minusta derivaatta ei silloin ole jatkuva, kun funktion tietyn pisteen oikean- ja vasemmanpuoliset derivaatat eivät ole samat. Näin raja-arvona määritellylle derivaatalle saadaan eri arvot riippuen siitä kummalta puolelta pistettä lähestytään.
Käytännössä tämä tarkoittaa yksikäsitteisessä funktioissa juuri tuollaisten kärkien muodostumista."Minusta derivaatta ei silloin ole jatkuva, kun funktion tietyn pisteen oikean- ja vasemmanpuoliset derivaatat eivät ole samat."
Tällöin derivaattaa ei kyseisessä pisteessä edes ole, joten ei se ole jatkuvakaan. Lisäksi derivaatta voi olla epäjatkuva, vaikka se olisi olemassa. - a-s-h
MatikkaPää kirjoitti:
Nimimerkki "vai miten se oli":
Funktion |x| derivaatta ei tietystikään ole jatkuva origossa, koska sitä ei ole edes origossa määritelty.
Mutta tarkalleen ottan on absurdia sanoa, että se olisi epäjatkuva. Lukion oppikirjoissa näin epätäsmällisesti tehdään. Tämän syynä on epäilemättä ajatusmalli, jossa R on jonkinlainen absoluuttinen perusjoukko, jossa kaikkia tapahtuu. Kun mennäät hieman pidemmälle matematiikassa, tällaista absoluuttista perusjoukkoa ei enää ole nähtävissä, varsinkaan kun funktio on vain abstrakti sääntö (relaatio), jolle ei ole selvää lauseketta.Jaahas, olisi pitänyt vastata kerralla molempiin viesteihin, mutta enpä tajunnut.
"Funktion |x| derivaatta ei tietystikään ole jatkuva origossa, koska sitä ei ole edes origossa määritelty.
Mutta tarkalleen ottan on absurdia sanoa, että se olisi epäjatkuva. Lukion oppikirjoissa näin epätäsmällisesti tehdään."
En oikein usko, että tämä väite lukion oppikirjoista kestää tarkempaa tarkastelua. Olen noita työkseni selannut, eikä vielä ole tällaista väitettä tullut vastaan. Kertokaa ihmeessä, jos olen väärässä ja tuollainen väite jostain lukiokirjasta kumminkin löytyy. - a-s-h
-maallikko- kirjoitti:
tässä on nyt vastakkain koululaistaso (katutaso) vs. matikan opiskelijat/harrastajat ja tulkitsen alkuperäisen ns.katutason kysymykseksi :)
Tässä mielessä voisin kysyä a-s-h:lta askelta pidemmällä olevan vastaavan: osaatko kuvailla/erottaa toisistaan silmämääräisesti käppyrät, joissa 1.derivaatat ovat jatkuvia mutta toisessa 2.derivaatassa on 'hyppy'. Miten se käppyrässä silmälle näkyy?
Koulukirjan käppyrät ovat monesti siten ideaaleja, että esim sin x ja e^x derivoituvat vaikka millä asteella, eli ei ole katkoksia derivaatoissa.
Tuolla ylempänä käytettiin esimerkkiä |x| eka derivaatan epäjatkuvuudesta. Mutta funktiosta itsestään: ei kai siinä ole ongelmia, eikös f(0) (eli |0| ) ole "luonnostaan" nolla eli f(x)=|x| on jatkuva kaikkialla? Ettei tarvitse lisäystä f(x) =|x| muualla ja f(x) = 0 x:n arvolla 0."Tässä mielessä voisin kysyä a-s-h:lta askelta pidemmällä olevan vastaavan: osaatko kuvailla/erottaa toisistaan silmämääräisesti käppyrät, joissa 1.derivaatat ovat jatkuvia mutta toisessa 2.derivaatassa on 'hyppy'. Miten se käppyrässä silmälle näkyy?"
Siis toinen derivaatta ei ole jossain pisteessä määritelty, vai mitä tarkoitat sillä, että siinä on hyppy? Jos näin, niin ensimmäisen derivaatan kuvaajassa voi olla vaikkapa terävä kärki tai sen tangentti on paikoittain pystysuora. Vaan enpä näin äkkiseltään osaa mitenkään selvästi luonnehtia, kuinka tällaiset tilanteet näkyisivät alkuperäisen funktion kuvaajasta. Kerro ihmeessä!
"Mutta funktiosta itsestään: ei kai siinä ole ongelmia, eikös f(0) (eli |0| ) ole "luonnostaan" nolla eli f(x)=|x| on jatkuva kaikkialla? "
Juu, ei ole mitään ongelmaa. Itseisarvofunktio on kaikkialla jatkuva. - -maallikko-
a-s-h kirjoitti:
"Tässä mielessä voisin kysyä a-s-h:lta askelta pidemmällä olevan vastaavan: osaatko kuvailla/erottaa toisistaan silmämääräisesti käppyrät, joissa 1.derivaatat ovat jatkuvia mutta toisessa 2.derivaatassa on 'hyppy'. Miten se käppyrässä silmälle näkyy?"
Siis toinen derivaatta ei ole jossain pisteessä määritelty, vai mitä tarkoitat sillä, että siinä on hyppy? Jos näin, niin ensimmäisen derivaatan kuvaajassa voi olla vaikkapa terävä kärki tai sen tangentti on paikoittain pystysuora. Vaan enpä näin äkkiseltään osaa mitenkään selvästi luonnehtia, kuinka tällaiset tilanteet näkyisivät alkuperäisen funktion kuvaajasta. Kerro ihmeessä!
"Mutta funktiosta itsestään: ei kai siinä ole ongelmia, eikös f(0) (eli |0| ) ole "luonnostaan" nolla eli f(x)=|x| on jatkuva kaikkialla? "
Juu, ei ole mitään ongelmaa. Itseisarvofunktio on kaikkialla jatkuva.kun näköjänsä oli kadun tasosta kysymys, ja vanhan polkupyörän omistajana lisäksi :)
Pyöräteillä korkeuserojen kohdalla brutaalein (ja Hesassa yleisin 8( tapaus on tietenkin pystysuora kynnys; huomaa viimeistään kun jysäyttää vasten ja rengas puhkee. Siinä on tienpitäjän funktio suorastaan epäjatkuva. Hätäapu on laittaa kynnykseen lankun pätkä, jolloin tie pystysuunnassa on jatkuvampi, mutta kulmapisteiden vuoksi 1.derivaatta 'hyppää', kuten edellä on havaittu. Hiotumpi tapa olisi leikata jostain (vaikka tynnyrin syrjästä) kaksi ympyrän kaaren oloista suikaletta ja laittaa ne kynnykseen mahallaan olevan loivan S:n muotoon. Silloin eka derivaatta tulee hypyttömäksi, mutta miten on toisen laita? Homma hanskassa vai ei, vai olisiko kenties koeajolla suoritettavasta perstuntuman hausta apua? Tai mennä suurellisesti Lintsin vuoristoradalle ottamaan tatsia ns. g-voimiin, koettamaan, miltä tuntuu, siellä kuuleman mukaan löytyy. (Tässä jutussa kaikki liikkeeseen yhdistyvät venkoavat voimat nimetty g-voimiksi, sanokoot fyysikot mitä hyvänsä:)
Tähän asiaa sen verran, että koulumatematiikka käsittelee enimmältään ns. alkeisfunktioita (vaikka ei ne kirjaimellisesti alkeellisia välttämättä ole), on niillä jokin määritelmä, en oo terminologiasta varma. Mutta jonkinlaisena vastakohtana on mm.paloittain määritellyt funktiot (kuten vertauskohtana korokkeen ylitys tässä :) Tässä mielessä esim |x| ei liene alkeisfunktio, vaikka sillä yksi ainokainen merkintätapa onkin. Derivaattojen eheydessä mahdolliset 'hypyt' liittyvät usein tällaisten palojen saumakohtiin (paloittaiset splinet esim.).
Elikkäs, kun tullaan tasaiselta S-profiilin alkupisteen ympyränkaareen, mulla on se tuntu, että 2.derivaatan arvo ikäänkuin yhtäkkiä jysähtää päälle tasamaan nollasta täyteen arvoonsa välittömästi ilman vaimennusta (nyt ei tarkoiteta sitä jysäystä joka syntyisi, jos profiilin kaaren halkaisija - a-s-h
-maallikko- kirjoitti:
kun näköjänsä oli kadun tasosta kysymys, ja vanhan polkupyörän omistajana lisäksi :)
Pyöräteillä korkeuserojen kohdalla brutaalein (ja Hesassa yleisin 8( tapaus on tietenkin pystysuora kynnys; huomaa viimeistään kun jysäyttää vasten ja rengas puhkee. Siinä on tienpitäjän funktio suorastaan epäjatkuva. Hätäapu on laittaa kynnykseen lankun pätkä, jolloin tie pystysuunnassa on jatkuvampi, mutta kulmapisteiden vuoksi 1.derivaatta 'hyppää', kuten edellä on havaittu. Hiotumpi tapa olisi leikata jostain (vaikka tynnyrin syrjästä) kaksi ympyrän kaaren oloista suikaletta ja laittaa ne kynnykseen mahallaan olevan loivan S:n muotoon. Silloin eka derivaatta tulee hypyttömäksi, mutta miten on toisen laita? Homma hanskassa vai ei, vai olisiko kenties koeajolla suoritettavasta perstuntuman hausta apua? Tai mennä suurellisesti Lintsin vuoristoradalle ottamaan tatsia ns. g-voimiin, koettamaan, miltä tuntuu, siellä kuuleman mukaan löytyy. (Tässä jutussa kaikki liikkeeseen yhdistyvät venkoavat voimat nimetty g-voimiksi, sanokoot fyysikot mitä hyvänsä:)
Tähän asiaa sen verran, että koulumatematiikka käsittelee enimmältään ns. alkeisfunktioita (vaikka ei ne kirjaimellisesti alkeellisia välttämättä ole), on niillä jokin määritelmä, en oo terminologiasta varma. Mutta jonkinlaisena vastakohtana on mm.paloittain määritellyt funktiot (kuten vertauskohtana korokkeen ylitys tässä :) Tässä mielessä esim |x| ei liene alkeisfunktio, vaikka sillä yksi ainokainen merkintätapa onkin. Derivaattojen eheydessä mahdolliset 'hypyt' liittyvät usein tällaisten palojen saumakohtiin (paloittaiset splinet esim.).
Elikkäs, kun tullaan tasaiselta S-profiilin alkupisteen ympyränkaareen, mulla on se tuntu, että 2.derivaatan arvo ikäänkuin yhtäkkiä jysähtää päälle tasamaan nollasta täyteen arvoonsa välittömästi ilman vaimennusta (nyt ei tarkoiteta sitä jysäystä joka syntyisi, jos profiilin kaaren halkaisija"Derivaattojen eheydessä mahdolliset 'hypyt' liittyvät usein tällaisten palojen saumakohtiin"
Kyllä näin tietenkin on. Kysyit alunperin kuitenkin
"-- osaatko kuvailla/erottaa toisistaan silmämääräisesti käppyrät, joissa 1.derivaatat ovat jatkuvia mutta toisessa 2.derivaatassa on 'hyppy'. Miten se käppyrässä silmälle näkyy?"
Sellaista saumakohtaa, jossa ensimmäinen derivaatta on olemassa mutta toinen ei, ei kovin helposti silmällä näe. Esimerkkinä voi miettiä funktiota
f(x) = x^2, kun x >= 0, ja f(x) = -x^2, kun x < 0,
sekä sitten funktiota
g(x) = x^4, kun x >= 0, ja g(x) = -x^4, kun x < 0.
Toisella näistä on origossa jatkuva toinen derivaatta, toisella ei ole. Silti en puhtaasti katsomalla näe kuvaajissa mitään merkittävää eroa. - a-s-h
-maallikko- kirjoitti:
kun näköjänsä oli kadun tasosta kysymys, ja vanhan polkupyörän omistajana lisäksi :)
Pyöräteillä korkeuserojen kohdalla brutaalein (ja Hesassa yleisin 8( tapaus on tietenkin pystysuora kynnys; huomaa viimeistään kun jysäyttää vasten ja rengas puhkee. Siinä on tienpitäjän funktio suorastaan epäjatkuva. Hätäapu on laittaa kynnykseen lankun pätkä, jolloin tie pystysuunnassa on jatkuvampi, mutta kulmapisteiden vuoksi 1.derivaatta 'hyppää', kuten edellä on havaittu. Hiotumpi tapa olisi leikata jostain (vaikka tynnyrin syrjästä) kaksi ympyrän kaaren oloista suikaletta ja laittaa ne kynnykseen mahallaan olevan loivan S:n muotoon. Silloin eka derivaatta tulee hypyttömäksi, mutta miten on toisen laita? Homma hanskassa vai ei, vai olisiko kenties koeajolla suoritettavasta perstuntuman hausta apua? Tai mennä suurellisesti Lintsin vuoristoradalle ottamaan tatsia ns. g-voimiin, koettamaan, miltä tuntuu, siellä kuuleman mukaan löytyy. (Tässä jutussa kaikki liikkeeseen yhdistyvät venkoavat voimat nimetty g-voimiksi, sanokoot fyysikot mitä hyvänsä:)
Tähän asiaa sen verran, että koulumatematiikka käsittelee enimmältään ns. alkeisfunktioita (vaikka ei ne kirjaimellisesti alkeellisia välttämättä ole), on niillä jokin määritelmä, en oo terminologiasta varma. Mutta jonkinlaisena vastakohtana on mm.paloittain määritellyt funktiot (kuten vertauskohtana korokkeen ylitys tässä :) Tässä mielessä esim |x| ei liene alkeisfunktio, vaikka sillä yksi ainokainen merkintätapa onkin. Derivaattojen eheydessä mahdolliset 'hypyt' liittyvät usein tällaisten palojen saumakohtiin (paloittaiset splinet esim.).
Elikkäs, kun tullaan tasaiselta S-profiilin alkupisteen ympyränkaareen, mulla on se tuntu, että 2.derivaatan arvo ikäänkuin yhtäkkiä jysähtää päälle tasamaan nollasta täyteen arvoonsa välittömästi ilman vaimennusta (nyt ei tarkoiteta sitä jysäystä joka syntyisi, jos profiilin kaaren halkaisija"Tuli vielä mieleen, mikä yksinkertainen funktio voisi liittyä vaakaviivan jatkoksi s.e. liitoskohdassa ympäristöineen 2.derivaatan jatkuvuus toteutuisi? "
Sopivasti asetettu vähintään kolmannen asteen polynomifunktio riittää tähän.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nasima löi Jussille luun kurkkuun
Nasima kertoi ettei Jussi sovi puhemieheksi, koska sallii rasismin. Mihin toimiin perussuomalaiset ryhtyvät? Kuka nouse4638320Razmyar on säälittävä - puhemiehellä ei ole mitään syytä ottaa kantaa tähän "silmäkohuun"
jonka toimittajat sai aikaan. Asia ei kuulu puhemiehelle millään lailla. Razmyar haluaa taas vaan huomiota. Mutta jos r1165721Pitkän linjan yritysjohtaja: Suomen tapahtumat eivät ole Aasian kärkiuutinen
Viimeaikaista kohua on käytetty sisäpoliittisena lyömäaseena, Thomas Zilliacus sanoo. – Koska asiaa kuitenkin kommentoi1174722Miten Eerolan silmäkuvat voivat levitä muutamassa tunnissa ympäri maailmaa?
Seuraako koko maailma persujen ja erityisesti Eerolan somea reaaliajassa? Edes kansanedustajan itsemurha eduskuntatalos2344649Siviilipalvelusmies Halla-aho normalisoi rasismin perussuomalaisissa
SMP:n tuhkille perustettu puolue ei ollut ihmisiä vastaan, vaan instituutiokriittinen. "Missä EU - siellä ongelma", oli384533Suomalaisilta vaaditaan valtavasti suvaitsevaisuutta - miksi sitä ei vaadita muslimeilta
Suomalaisilta vaaditaan kaikkea, pitää olla suvaitsevainen ja hyväksyä vieraiden tavat, rasisti ei saa olla jne. Miksi s594052Juuri Suomen valtamedian toimittajat teki "silmävääntelystä" sen kohun
ja ilmeisesti ottivat yhteyttä myös ulkomaisiin medioihin, että katsokaas tätä. Mutta Japanin medioissa on asiaan suhta1603900Demarit ovat oikeasti törppöjä eli heikkoälyisiä
ja todistavat sitä päivittäin täällä lapsellisilla jutuillaan. Kauheasti on hehkuttaneet kuinka demarien kannatus vaan793782Perussuomalaiset eivät harrasta maalittamista kuten vasemmisto
Huomaa tässä keinotekoisessa "rasismi"-kohussakin kuinka vasemmistolaiset maalittavat Perussuomalaisia. Me emme vastaava453725SDP:n kansanedustaja Marko Asell: Suomen myönnettävä maahanmuuton ongelmat
Hänen mielestään Suomen pitää pyrkiä rajoittamaan jyrkästi turvapaikanhakijoiden pääsyä maahan ja hän arvioi, että maaha1543655