suojakaiteen säde

hiuskatoinen

terve!
Pikkuinen geometrinen pähkinä purtavaksi:
(Pelkkä vastaus ei riitä, tietokone laskee saman murto-osasekunnissa)

Sinulla on narua 1m. Maassa on taipuisa muoviputki, jonka vapaa pituus on 4m.

Taivutat putken ympyrän kaaren muotoiseksi ja sidot naurulla putken päät kiinni, niin että niiden etäisyydeksi jää 1m (putken venymää / solmuihin tarvittavaa osuutta ei huomioida)

Tuloksena on siis D-kirjainta muistuttava "puolikuu", jonka säde R=?

8

608

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Svedupelle

      jos 4 metrin mittaisen taipuisan muoviputken päät sidotaan yhteen 1 metrin mittaisella narulla, saatu kötöstys ei ole lähelläkään puolikuun muotoinen.

      • aloittaja

        otetaan siis uusiksi:

        sinulla on naru, jonka pituus L=a
        sinulla on muoviputki, jonka pituus on b

        taivutat putken ympyrän kaarelle ja päiden väliin pingotat narun. Tiedetään että putken kaaren muodostama kulma Pi< theta < 2Pi.
        R(a,b)=?
        theta(a,b)=?


      • antti
        aloittaja kirjoitti:

        otetaan siis uusiksi:

        sinulla on naru, jonka pituus L=a
        sinulla on muoviputki, jonka pituus on b

        taivutat putken ympyrän kaarelle ja päiden väliin pingotat narun. Tiedetään että putken kaaren muodostama kulma Pi< theta < 2Pi.
        R(a,b)=?
        theta(a,b)=?

        Tilanteesta saadaan kaksi yhtälöä. Olen merkinnyt thetaa t:llä.

        yhtälö A: kosinilauseesta:
        a^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(t)
        = 2R^2 * (1-cos(t))
        yhtälö B: (2Pi-t)R = b
        R=b/(2Pi-t)

        yhdistetään A ja B:
        a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-cos(t))

        pienillä t hyvä arvio on cos(t)=1-t^2/2
        =>
        a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-(1-t^2/2))

        (a^2-b^2)t^2-4a^2Pi*t 4a^2*Pi^2 = 0

        tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuksi tulee:
        t=2Pi*a/(a b)

        => R=b/(2Pi-t)=b/(2Pi(1-a/(a b)))

        tämä siis vain pienillä t:n arvoilla. vaikkapa t


      • aloittaja
        antti kirjoitti:

        Tilanteesta saadaan kaksi yhtälöä. Olen merkinnyt thetaa t:llä.

        yhtälö A: kosinilauseesta:
        a^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(t)
        = 2R^2 * (1-cos(t))
        yhtälö B: (2Pi-t)R = b
        R=b/(2Pi-t)

        yhdistetään A ja B:
        a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-cos(t))

        pienillä t hyvä arvio on cos(t)=1-t^2/2
        =>
        a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-(1-t^2/2))

        (a^2-b^2)t^2-4a^2Pi*t 4a^2*Pi^2 = 0

        tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuksi tulee:
        t=2Pi*a/(a b)

        => R=b/(2Pi-t)=b/(2Pi(1-a/(a b)))

        tämä siis vain pienillä t:n arvoilla. vaikkapa t

        kiitoksia, pitää vilkaista asiaa. Ymmärsinkö äkkikatsomalta oikein että vastauksesi ei ole eksakti, vaan likimääräinen?

        Tosielämässä t:n arvo on pitkästi yli Pi (ts. b>Pi*a), sillä kyseessä on tikapuiden ympärillä oleva "turvavanne", jonka haalarimies valmistaa tunnetun pituisesta peltisoirosta. Minua alkoi riipomaan tuo R=? ja äkkiä päädyin tilanteeseen, jossa yhtälön molemmin puolin keikkui sinifunktio. Hiustenlähtöä aiheutti se, että asiaan on selvästi tasan yksi ratkaisu, enkä saanut sitä selville.


      • antti
        aloittaja kirjoitti:

        kiitoksia, pitää vilkaista asiaa. Ymmärsinkö äkkikatsomalta oikein että vastauksesi ei ole eksakti, vaan likimääräinen?

        Tosielämässä t:n arvo on pitkästi yli Pi (ts. b>Pi*a), sillä kyseessä on tikapuiden ympärillä oleva "turvavanne", jonka haalarimies valmistaa tunnetun pituisesta peltisoirosta. Minua alkoi riipomaan tuo R=? ja äkkiä päädyin tilanteeseen, jossa yhtälön molemmin puolin keikkui sinifunktio. Hiustenlähtöä aiheutti se, että asiaan on selvästi tasan yksi ratkaisu, enkä saanut sitä selville.

        olin lukenut tehtävänannon huolimattomasti eli se mitä minä olen merkinnyt thetalla olisikin pitänyt olla 2Pi-theta, joten siksi tuo R=? saattaakin näyttää oudolta.


    • Miten niin tietokone laskee vastauksen murto-osa sekunnissa, jos ratkaisuyhtälöitä ei ole käytössä? Minulla ei ainakaan ole sellaista tietokonetta tai ohjelmaa, joka ratkaisisi pelkästään sanallisesti määritettyjä matemaattisia ongelmia.

      Mutta itse asiaan: Yhtälöiden johtaminen tuohon ongelmaan ei ole mitenkään vaikeaa. Ainoa vaikeus tulee yhtälöiden ratkaisussa, koska kysessä ovat transkendentaaliset yhtälöt, joilla ei ole analyyttistä ratkaisua, vaan ne täytyy ratkaista aina numeerisesti. Tosin tuokaan ei ole tässä tapauksessa kovin ongelmallista.

      En nyt ehdi paneutua asiaan tarkemmin, mutta tarvittaessa palaan asiaan myöhemmin ja voin kertoa, miten yhtälöt muodostetaan ja ratkaistaan, sillä se ei ole suurikaan ongelma.

      • aloittanut

        - Tarkoitin nimenomaan että en halua/tarvitse numeerista vastausta; CAD-ohjelmat ilmoittavat ko. tiedot 'heti' tolkuttoman desimaalimäärän tarkkuudella.

        Sain itsekin kyhättyä yhtälöt = -merkin molemmin puolin. Sitten aletaan kasvattamaan R:n arvoa (R,min=b/2), kunnes yhtälön puolikkaat ~yhtäsuuret tai paremminkin niiden suhde < vaadittu toleranssi?

        Mikäli ylläolevaan ratkaisutapaan on joku 'hienompi' menetelmä, otetaan vihjeitä mieluusti vastaan. Suurin pettymys tosin on jo kärsitty, kun toivo eksaktista (symbolisesta) ratkaisusta mureni numeeriseksi iteroinniksi.


      • aloittanut kirjoitti:

        - Tarkoitin nimenomaan että en halua/tarvitse numeerista vastausta; CAD-ohjelmat ilmoittavat ko. tiedot 'heti' tolkuttoman desimaalimäärän tarkkuudella.

        Sain itsekin kyhättyä yhtälöt = -merkin molemmin puolin. Sitten aletaan kasvattamaan R:n arvoa (R,min=b/2), kunnes yhtälön puolikkaat ~yhtäsuuret tai paremminkin niiden suhde < vaadittu toleranssi?

        Mikäli ylläolevaan ratkaisutapaan on joku 'hienompi' menetelmä, otetaan vihjeitä mieluusti vastaan. Suurin pettymys tosin on jo kärsitty, kun toivo eksaktista (symbolisesta) ratkaisusta mureni numeeriseksi iteroinniksi.

        Geometrioiden yhteydelle on helppo johtaa yhtälöpari

        (2*Pi-theta)*R=b
        2*R*sin(theta/2)=a.

        Näistä edelleen saadaan yhtälö esimerkiksi thetan ratkaisemiseksi

        -theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a=0.

        Edellinen yhtälö voidaan linearisoida eli korvataan sin(theta/2) likiarvollaan theta/2. Nyt thetan ja R:n likiarvot voidaan ratkaista suoraan saaduista lineaarisista yhtälöistä, ja ne ovat

        theta≈2*a*Pi/(a b)
        R≈(a b)/(2*Pi).

        Numeerisesti thetan arvo voidaan ratkaista esimerkiksi Newton-Raphson-iteraatiolla. Tämä onnistuu seuraavasti: Merkitään ensin f(theta) = -theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a. Nyt voidaan käyttää iteraatiota (hakasulut tarkoittavat alaindeksiä)

        theta[n 1]=theta[n]-f(theta[n])/f’(theta[n])),

        mihin voidaan ottaa alkuarvaus theta[0] yhtä suureksi kuin linearisoinnilla laskettu thetan likiarvo. Kokeilujeni mukaan jo kaksi iteraatiokierrosta näyttää tuottavan ainakin viisi oikeaa numeroa.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Putin hoiti Suomen natoon ja myös Ruotsin

      Iso kiitos Vladimir Putinille. Hänen ansiosta pääsemme nyt Natoon. Putin halusi Naton lähelle ja nyt sai. Voimme tästä kiittää vain Putinia.
      Maailman menoa
      641
      7847
    2. Niinistö teki hetkessä Suomesta Venäjän ydinaseiden maalitaulun

      Kaiken lisäksi mies vielä lällätteli Putinille eilisessä tiedotustilaisuudessa ja käski katsomaan itseään peiliin. Kyllä vähän asiallisempaa käytöstä
      Maailman menoa
      436
      2127
    3. Voi Stefu ja sun kiivas luonteesi

      Sielä lentelee ullakkohuoneiston ikkunasta daamin vaatteet ja matkalaukut pitkin pihaa. Toisaalta,en ihmettele yhtään että tämä suhde päättyi näin,kyl
      Kotimaiset julkkisjuorut
      222
      2020
    4. Poliisi otti Stefun kiinni!

      Seiska tietää kertoa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      143
      1611
    5. Veikkaus: Miten The Rasmus pärjää Euroviisuissa?

      Euroviisuhuuma on ylimmillään, kun Suomi ja The Rasmus taistelee biisillään Jezebel. Bändi on tikissä, kunhan Lauri Ylösen ääni kantaa. Mitä veikka
      Viihde ja kulttuuri
      51
      1219
    6. Ohhoh! Martina Aitolehti ja seurapiirihurmuri-Jesper ekassa yhteiskuvassa - Sutinaa Mallorcalla!

      Martina Aitolehti ja seurapiirijulkkis-Jesper nauttivat toisistaan varsin vauhdikkaissa merkeissä Mallorcalla. Aitolehti ei ole esitellyt rakastaan vi
      Kotimaiset julkkisjuorut
      25
      1174
    7. Stefanilta tuli taas karu totuus Sofiasta

      Marokkolainen h*o*ra! Voi tsiisus kun mulla on hauskaa! Lumput lentää ikkunasta kun Stefu raivoaa h*uralleen🤣🤣🤣 Nyt ne popparit tulille, tästä tule
      Kotimaiset julkkisjuorut
      95
      1039
    8. Ootko onnellinen kun ei tarvitse

      nähdä tätä tyhmää naamaa enää koskaan? Multa se särkee sydämen, mutta minkäs teen. Vaikka olisi kuinka sinnikäs eikä hellittäisi, se ei aina auta.
      Ikävä
      65
      823
    9. Oletko nähnyt eroottiset kohuleffat? Fifty Shades Of Grey -trilogia tv:stä

      Fifty Shades -trilogia starttaa, kun nuori opiskelijanainen Anastasia tapaa rikkaan liikemiehen. Seksisuhdehan siitä starttaa, höystettynä sadistisill
      Suhteet
      6
      701
    10. Sofia matkii Martinaa

      Sofia etsii omaa lippisjonnea mäkkäreistä ja itiksestä. Tuskin löytää yhtä komeaa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      133
      672
    Aihe