suojakaiteen säde

otetaan siis uusiksi:

sinulla on naru, jonka pituus L=a
sinulla on muoviputki, jonka pituus on b

taivutat putken ympyrän kaarelle ja päiden väliin pingotat narun. Tiedetään että putken kaaren muodostama kulma Pi< theta < 2Pi.
R(a,b)=?
theta(a,b)=?

aloittaja kirjoitti:

otetaan siis uusiksi:

sinulla on naru, jonka pituus L=a
sinulla on muoviputki, jonka pituus on b

taivutat putken ympyrän kaarelle ja päiden väliin pingotat narun. Tiedetään että putken kaaren muodostama kulma Pi< theta < 2Pi.
R(a,b)=?
theta(a,b)=?

Lue lisää

Tilanteesta saadaan kaksi yhtälöä. Olen merkinnyt thetaa t:llä.

yhtälö A: kosinilauseesta:
a^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(t)
= 2R^2 * (1-cos(t))
yhtälö B: (2Pi-t)R = b
R=b/(2Pi-t)

yhdistetään A ja B:
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-cos(t))

pienillä t hyvä arvio on cos(t)=1-t^2/2
=>
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-(1-t^2/2))

(a^2-b^2)t^2-4a^2Pi*t 4a^2*Pi^2 = 0

tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuksi tulee:
t=2Pi*a/(a b)

=> R=b/(2Pi-t)=b/(2Pi(1-a/(a b)))


tämä siis vain pienillä t:n arvoilla. vaikkapa t

antti kirjoitti:

Tilanteesta saadaan kaksi yhtälöä. Olen merkinnyt thetaa t:llä.

yhtälö A: kosinilauseesta:
a^2 = 2R^2 - 2R^2*cos(t)
= 2R^2 * (1-cos(t))
yhtälö B: (2Pi-t)R = b
R=b/(2Pi-t)

yhdistetään A ja B:
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-cos(t))

pienillä t hyvä arvio on cos(t)=1-t^2/2
=>
a^2 = 2b^2/(2Pi-t)^2*(1-(1-t^2/2))

(a^2-b^2)t^2-4a^2Pi*t 4a^2*Pi^2 = 0

tämän toisen asteen yhtälön ratkaisuksi tulee:
t=2Pi*a/(a b)

=> R=b/(2Pi-t)=b/(2Pi(1-a/(a b)))


tämä siis vain pienillä t:n arvoilla. vaikkapa t

Lue lisää

kiitoksia, pitää vilkaista asiaa. Ymmärsinkö äkkikatsomalta oikein että vastauksesi ei ole eksakti, vaan likimääräinen?

Tosielämässä t:n arvo on pitkästi yli Pi (ts. b>Pi*a), sillä kyseessä on tikapuiden ympärillä oleva "turvavanne", jonka haalarimies valmistaa tunnetun pituisesta peltisoirosta. Minua alkoi riipomaan tuo R=? ja äkkiä päädyin tilanteeseen, jossa yhtälön molemmin puolin keikkui sinifunktio. Hiustenlähtöä aiheutti se, että asiaan on selvästi tasan yksi ratkaisu, enkä saanut sitä selville.

aloittaja kirjoitti:

kiitoksia, pitää vilkaista asiaa. Ymmärsinkö äkkikatsomalta oikein että vastauksesi ei ole eksakti, vaan likimääräinen?

Tosielämässä t:n arvo on pitkästi yli Pi (ts. b>Pi*a), sillä kyseessä on tikapuiden ympärillä oleva "turvavanne", jonka haalarimies valmistaa tunnetun pituisesta peltisoirosta. Minua alkoi riipomaan tuo R=? ja äkkiä päädyin tilanteeseen, jossa yhtälön molemmin puolin keikkui sinifunktio. Hiustenlähtöä aiheutti se, että asiaan on selvästi tasan yksi ratkaisu, enkä saanut sitä selville.

Lue lisää

olin lukenut tehtävänannon huolimattomasti eli se mitä minä olen merkinnyt thetalla olisikin pitänyt olla 2Pi-theta, joten siksi tuo R=? saattaakin näyttää oudolta.

- Tarkoitin nimenomaan että en halua/tarvitse numeerista vastausta; CAD-ohjelmat ilmoittavat ko. tiedot 'heti' tolkuttoman desimaalimäärän tarkkuudella.

Sain itsekin kyhättyä yhtälöt = -merkin molemmin puolin. Sitten aletaan kasvattamaan R:n arvoa (R,min=b/2), kunnes yhtälön puolikkaat ~yhtäsuuret tai paremminkin niiden suhde < vaadittu toleranssi?

Mikäli ylläolevaan ratkaisutapaan on joku 'hienompi' menetelmä, otetaan vihjeitä mieluusti vastaan. Suurin pettymys tosin on jo kärsitty, kun toivo eksaktista (symbolisesta) ratkaisusta mureni numeeriseksi iteroinniksi.

aloittanut kirjoitti:

- Tarkoitin nimenomaan että en halua/tarvitse numeerista vastausta; CAD-ohjelmat ilmoittavat ko. tiedot 'heti' tolkuttoman desimaalimäärän tarkkuudella.

Sain itsekin kyhättyä yhtälöt = -merkin molemmin puolin. Sitten aletaan kasvattamaan R:n arvoa (R,min=b/2), kunnes yhtälön puolikkaat ~yhtäsuuret tai paremminkin niiden suhde < vaadittu toleranssi?

Mikäli ylläolevaan ratkaisutapaan on joku 'hienompi' menetelmä, otetaan vihjeitä mieluusti vastaan. Suurin pettymys tosin on jo kärsitty, kun toivo eksaktista (symbolisesta) ratkaisusta mureni numeeriseksi iteroinniksi.

Lue lisää

Geometrioiden yhteydelle on helppo johtaa yhtälöpari

(2*Pi-theta)*R=b
2*R*sin(theta/2)=a.

Näistä edelleen saadaan yhtälö esimerkiksi thetan ratkaisemiseksi

-theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a=0.

Edellinen yhtälö voidaan linearisoida eli korvataan sin(theta/2) likiarvollaan theta/2. Nyt thetan ja R:n likiarvot voidaan ratkaista suoraan saaduista lineaarisista yhtälöistä, ja ne ovat

theta≈2*a*Pi/(a b)
R≈(a b)/(2*Pi).

Numeerisesti thetan arvo voidaan ratkaista esimerkiksi Newton-Raphson-iteraatiolla. Tämä onnistuu seuraavasti: Merkitään ensin f(theta) = -theta/b 2*Pi/b-2*sin(theta/2)/a. Nyt voidaan käyttää iteraatiota (hakasulut tarkoittavat alaindeksiä)

theta[n 1]=theta[n]-f(theta[n])/f’(theta[n])),

mihin voidaan ottaa alkuarvaus theta[0] yhtä suureksi kuin linearisoinnilla laskettu thetan likiarvo. Kokeilujeni mukaan jo kaksi iteraatiokierrosta näyttää tuottavan ainakin viisi oikeaa numeroa.