Yksi fysiikan probleema

Hyvä yritys, vastaus on funktion muodon suhteen oikein, mutta vakiot väärin. Kiihtyvyys ei ole vakio tässä ongelmassa, vaikka niin voisi luulla. Sen vuoksi painotin, ettei todennäköisesti lukion fysiikalla ihan pärjää.

Jos kirjoitat P = dW/dt, ja W = 1/2 mv^2, niin ottamalla derivaatta ajan suhteen:
P = mv * dv/dt, josta huomaa että liikkeen kiihtyvyys ei ole vakio, vaan riippuu käänteisesti nopeudesta. Siis dW = mvdv, ja tästä vielä dW/dt.

"kun teho pysyy vakiona kiihtyvyys pysyy vakiona"

Ei taida pitää paikkaansa !

Pitäisi kai mennä näin:

Pt = ½mv^2 --> sqrt(2Pt/m) =ds/dt ---> jne...

m36-intj kirjoitti:

Hyvä yritys, vastaus on funktion muodon suhteen oikein, mutta vakiot väärin. Kiihtyvyys ei ole vakio tässä ongelmassa, vaikka niin voisi luulla. Sen vuoksi painotin, ettei todennäköisesti lukion fysiikalla ihan pärjää.

Jos kirjoitat P = dW/dt, ja W = 1/2 mv^2, niin ottamalla derivaatta ajan suhteen:
P = mv * dv/dt, josta huomaa että liikkeen kiihtyvyys ei ole vakio, vaan riippuu käänteisesti nopeudesta. Siis dW = mvdv, ja tästä vielä dW/dt.

Lue lisää

No näin on prkl sieltähän se odottelemani aivopieru tulikin.. Aluksi huomasin itsekin sen mutta kun aloin paperille vääntämään niin unohdin koko jutun..

Liike-energian muutos on vakio ei nopeuden muutos

Niin, itse asiassa sen voi laskea käsinkin:
Eli dW = P dt = mvdv, josta Pt = mv^2/2, v = dx/dt, jolloin
2Pt/m = (dx/dt)^2, ja sqrt(2Pt/m) = dx/dt,
tästä sitten integroidaan kerran sqrt(2P/m)t^1/2 dt = dx,
ja x = 2/3 * sqrt(2P/m)*t^3/2.

Josta lopulta tulee x = sqrt(8Pt^3/9m), eli vastaus.

a)
Vastusvoima dW = Fdx = vdx
P dt = mvdv - vdx = mdv*dx/dt - dx*dx / dt = dx *( mdv/dt - dx/dt)
Tämä voidaan kirjoittaa y' = dx/dt, eli P = y' * (m*y'' - y')

Wolfram antaa jonkinlaisen ratkaisun:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=a = y' * (m*y''- y') &x=0&y=0

b) vastaavanlaisesti.

m36-intj kirjoitti:

a)
Vastusvoima dW = Fdx = vdx
P dt = mvdv - vdx = mdv*dx/dt - dx*dx / dt = dx *( mdv/dt - dx/dt)
Tämä voidaan kirjoittaa y' = dx/dt, eli P = y' * (m*y'' - y')

Wolfram antaa jonkinlaisen ratkaisun:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=a = y' * (m*y''- y') &x=0&y=0

b) vastaavanlaisesti.

Lue lisää

tommoselta kai:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=m*x``(t) = P/x`(t)-k*x`(t)&x=0&y=0

7+13 kirjoitti:

tommoselta kai:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=m*x``(t) = P/x`(t)-k*x`(t)&x=0&y=0

Lue lisää

Hehheh, wolfram tulkitsi syötteeni väärin, luuli että yhtälö oli m:n funktio. Muuten sinulla taitaa olla merkkivirhe yhdellä termillä, itse en ainakaan tunnusta. Sain viime termiksi arctanin. En käyttänyt myöskään k:ta nopeuden edellä.

Menisiköhän tämä nyt oikein:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = y'(x) * (m*y''(x)- y'(x)) &x=0&y=0

m36-intj kirjoitti:

a)
Vastusvoima dW = Fdx = vdx
P dt = mvdv - vdx = mdv*dx/dt - dx*dx / dt = dx *( mdv/dt - dx/dt)
Tämä voidaan kirjoittaa y' = dx/dt, eli P = y' * (m*y'' - y')

Wolfram antaa jonkinlaisen ratkaisun:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=a = y' * (m*y''- y') &x=0&y=0

b) vastaavanlaisesti.

Lue lisää

Näin alkuarvoyhtälöt pitää WolframAlphalla ratkaista:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=dsolve {m*x``(t) = P/x`(t)-k*x`(t)^2, x(0)=0, x'(0)=0}

Jos kuitenkin kirjoitti:

Näin alkuarvoyhtälöt pitää WolframAlphalla ratkaista:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=dsolve {m*x``(t) = P/x`(t)-k*x`(t)^2, x(0)=0, x'(0)=0}

Lue lisää

Niin, tietty alkuarvot vielä mukaan, jos niitäkin saa wolframiin. Sehän oli x(0)=0, eli kappaleen paikka origossa hetkellä t=0, ja nopeus samaten nolla hetkellä t=0. Itse en vain viitsi niin hirveästi räpeltää, kun kirjoitan älypuhelimellani.

m36-intj kirjoitti:

Niin, tietty alkuarvot vielä mukaan, jos niitäkin saa wolframiin. Sehän oli x(0)=0, eli kappaleen paikka origossa hetkellä t=0, ja nopeus samaten nolla hetkellä t=0. Itse en vain viitsi niin hirveästi räpeltää, kun kirjoitan älypuhelimellani.

Lue lisää

Muuten veikkaisin, että on varsin harvassa lukiolaisia, jotka käsin vääntäisivät tuon ratkaisun. Tosin ei se välttämättä onnistuisi kaikilta matematiikkaa opiskelleilta yliopistolaisiltakaan, ainakaan aivan suoralta kädeltä.

m36-intj kirjoitti:

Niin, tietty alkuarvot vielä mukaan, jos niitäkin saa wolframiin. Sehän oli x(0)=0, eli kappaleen paikka origossa hetkellä t=0, ja nopeus samaten nolla hetkellä t=0. Itse en vain viitsi niin hirveästi räpeltää, kun kirjoitan älypuhelimellani.

Lue lisää

Vakioiden laskemiseksi kannattaa ottaa ensin nopeus v(t) http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P k*v(t)^2. Siitä saadaan ehdosta v= on kun t=0 arvo c1= lnp/2*k.

2+10 kirjoitti:

Vakioiden laskemiseksi kannattaa ottaa ensin nopeus v(t) http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P k*v(t)^2. Siitä saadaan ehdosta v= on kun t=0 arvo c1= lnp/2*k.

Lue lisää

Siis piti olla -merkki tuon vastustermin edessä.http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2 Mutta jotain häikkää tuossa on koska v:lle ei saada nolla-arvoa silloin kun teho P on positiivinen.

2+10 kirjoitti:

Siis piti olla -merkki tuon vastustermin edessä.http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2 Mutta jotain häikkää tuossa on koska v:lle ei saada nolla-arvoa silloin kun teho P on positiivinen.

Lue lisää

Linkki uudelleen http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2

2+10 kirjoitti:

Linkki uudelleen http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2

Kun Wolfram tuottaa skeidaa, jospa yrittää ilman sitä. Diffisyhtälö on siis:

m*v*v' = P - k*v^2

Ja v=0 kun t =0. Ennen pitkää teho ja vastusvoima kumoavat toisensa jolloin v'=0 ja saadaan rajanopeudeksi sqrt(P/k). Voidaan yrittää muotoa joka toteuttaa alkunopeuden sekä rajanopeuden eli:

v = sqrt(P/k)*sqrt(1-exp(-a*t))

Mikä toteuttaakin yhtälön kun a=2*k/m.

Tuota kun integroidaan Wolframilla, saadaan seuraavaa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ds(t)/dt = sqrt(P/k)*sqrt(1-exp(-2*k*t/m))

2+10 kirjoitti:

Linkki uudelleen http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2

Se ei mene ihan noin suoraviivaisesti. En minäkään tätä osaa laskea, mutta laitan tähän nyt niin pitkälle kuin pääsin:
http://aijaa.com/iF1Ybb

9+17 kirjoitti:

Se ei mene ihan noin suoraviivaisesti. En minäkään tätä osaa laskea, mutta laitan tähän nyt niin pitkälle kuin pääsin:
http://aijaa.com/iF1Ybb

Lue lisää

kommenttikentässä on pikku korjaus

2+10 kirjoitti:

Linkki uudelleen http://www.wolframalpha.com/input/?i=m*v(t)*v'(t)=P-k*v(t)^2

Minne olit kadottanut toisen asteen termin? Kyllä siinä ensimmäisessäkin yksinkertaisessa ongelmassa oli toisen asteen termi, eli P = my'*y''.

m36-intj kirjoitti:

Minne olit kadottanut toisen asteen termin? Kyllä siinä ensimmäisessäkin yksinkertaisessa ongelmassa oli toisen asteen termi, eli P = my'*y''.

Niin kuka? Mä laskin ekaksi nopeutta v ja sitten kun se on kunnossa yritän integroida matkaa.

10+2 kirjoitti:

Niin kuka? Mä laskin ekaksi nopeutta v ja sitten kun se on kunnossa yritän integroida matkaa.

Vielä tuosta nopeusyhtälöstä: m*v*v' = P - k*v^2

Näkee jo otsalla että järkevä sijoitus on v(t) = sqrt(f(t)) mikä antaa

m*f'/2 = P - k*f

Mikä on lineaarinen diffisyhtälö ja sille saadaan ratkaisuksi tuo

v = sqrt(P/k)*sqrt(1-exp(-2*k*t/m))

Siitä matkan integrointi onkin pahempi juttu, täytyy huomenna yrittää.

10+2 kirjoitti:

Niin kuka? Mä laskin ekaksi nopeutta v ja sitten kun se on kunnossa yritän integroida matkaa.

Niin, joo ja tässä siis b)-kohtaa ollaan jo ratkaisemassa. Itse ajattelin vielä tuota a)-kohtaa, eli tuo arctan-ratkaisu on mielestäni oikea:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = x'(t) * (m*x''(t)- x'(t)), x(0)=0, x'(0)=0&x=0&y=0

Siinä on 4 ratkaisua, mutta 2 niistä on samoja, ja kahdesta jäljelle jääneistä vain yksi on oikein. Siinä tulee ilmeisesti sen verran neliöjuurilausekkeita eteen, että ratkaisuja on monta.

Tässä vielä tämä ratkaisu ilman vastusvoimaa:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = x'(t) *m*x''(t), x(0)=0, x'(0)=0&x=0&y=0

m36-intj kirjoitti:

Niin, joo ja tässä siis b)-kohtaa ollaan jo ratkaisemassa. Itse ajattelin vielä tuota a)-kohtaa, eli tuo arctan-ratkaisu on mielestäni oikea:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = x'(t) * (m*x''(t)- x'(t)), x(0)=0, x'(0)=0&x=0&y=0

Siinä on 4 ratkaisua, mutta 2 niistä on samoja, ja kahdesta jäljelle jääneistä vain yksi on oikein. Siinä tulee ilmeisesti sen verran neliöjuurilausekkeita eteen, että ratkaisuja on monta.

Tässä vielä tämä ratkaisu ilman vastusvoimaa:
http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = x'(t) *m*x''(t), x(0)=0, x'(0)=0&x=0&y=0

Lue lisää

Ei kyllä mä laskin tuota a)-kohtaa, lineaarista vastusvoimaa. Wolfram antaa ainoastaan "approximate forms", myös nopeudelle, joka ratkeaa perusfunktioilla yksikäsitteisesti. Ja tuo Wolframin likimääräiskaava on ihan skeidaa ainakin kun v->0. Voit tarkistaa derivoimalla ja sijoittamalla: ei tuo arctan-kaava toteuta.

10+2 kirjoitti:

Vielä tuosta nopeusyhtälöstä: m*v*v' = P - k*v^2

Näkee jo otsalla että järkevä sijoitus on v(t) = sqrt(f(t)) mikä antaa

m*f'/2 = P - k*f

Mikä on lineaarinen diffisyhtälö ja sille saadaan ratkaisuksi tuo

v = sqrt(P/k)*sqrt(1-exp(-2*k*t/m))

Siitä matkan integrointi onkin pahempi juttu, täytyy huomenna yrittää.

Lue lisää

Sijoita tuo v(t) tähän http://aijaa.com/iF1Ybb, missä on x(v), niin lopputuloksena pitäisi olla x(t) ?

10+2 kirjoitti:

Ei kyllä mä laskin tuota a)-kohtaa, lineaarista vastusvoimaa. Wolfram antaa ainoastaan "approximate forms", myös nopeudelle, joka ratkeaa perusfunktioilla yksikäsitteisesti. Ja tuo Wolframin likimääräiskaava on ihan skeidaa ainakin kun v->0. Voit tarkistaa derivoimalla ja sijoittamalla: ei tuo arctan-kaava toteuta.

Lue lisää

Niin, huomasin eilen jo, että merkkivirhe tuossa olikin minun, tehty työ vastusvoimassa on toki negatiivinen (liikettä vastaan), mutta termit tuli siirettyä jo heti alussa toiselle puolelle tuossa johdossa. Pitäisi lähteä siitä että dW = Pdt - Fdx - mvdv = 0.

Tuloksesta tulee entistä monimutkaisempi, mutta päästiin eroon tuosta arctan-termistä, joka oli kyllä vähän epäilyttävä muutenkin. Tilalle tuli sitten logaritmia.

http://m.wolframalpha.com/input/?i=P = x'(t) * (m*x''(t) x'(t)), x(0)=0, x'(0)=0&x=0&y=0

yhteistyölläkö kirjoitti:

Sijoita tuo v(t) tähän http://aijaa.com/iF1Ybb, missä on x(v), niin lopputuloksena pitäisi olla x(t) ?

Lue lisää

No minä sen sijoitin: http://aijaa.com/XzdSuS. Sama tuli kuin Wolframillakin.

Siis ensin tästä http://aijaa.com/iF1Ybb x(v), johon sijoitetaan v(t)

yhteistyöllä kirjoitti:

No minä sen sijoitin: http://aijaa.com/XzdSuS. Sama tuli kuin Wolframillakin.

Siis ensin tästä http://aijaa.com/iF1Ybb x(v), johon sijoitetaan v(t)

Lue lisää

Kun tuo arctanh kirjoitetaan logaritmimuotoon, tulee luultavasti sama kuin mun ratkaisussa:

s = sqrt(P/k)*t - (m/k)*sqrt(P/k)*(f - ln(f 1))

missä f = sqrt(1-exp(-2*k*t/m)

10+2 kirjoitti:

Kun tuo arctanh kirjoitetaan logaritmimuotoon, tulee luultavasti sama kuin mun ratkaisussa:

s = sqrt(P/k)*t - (m/k)*sqrt(P/k)*(f - ln(f 1))

missä f = sqrt(1-exp(-2*k*t/m)

Lue lisää

Pieleen.

Jos ei ihan kuitenkaan - vaikka ratkaisu näytti yksinkertaiselta, niin tuossa probleemassa oli ratkaistava toisen asteen epälineaarinen differentiaaliyhtälö.

m36-intj kirjoitti:

Jos ei ihan kuitenkaan - vaikka ratkaisu näytti yksinkertaiselta, niin tuossa probleemassa oli ratkaistava toisen asteen epälineaarinen differentiaaliyhtälö.

Meinasin alkuperäistä probleemaa. DY:t saattavat olla lukiolaisille paljolti hepreaa.

hallawei kirjoitti:

Meinasin alkuperäistä probleemaa. DY:t saattavat olla lukiolaisille paljolti hepreaa.

Alkuperäinen ongelma soveltuu kyllä lukiotehtäväksi joskin vaativaksi sellaiseksi. Voidaan ratkaista lähtemällä siitä että teho = liike-energian derivaatta:

P = d(mv^2/2)/dt

eli d(v^2)/dt = 2*P/m

josta saadaan: v = sqrt(2*P*t/m)

Josta edelleen matka helposti integroimalla.

Tuo lineaarisen vastusvoiman tapaus taas menee lukiotason ulkopuolelle.

Lukiossa ei kyllä opeteta differentiaalien käyttämistä ja derivointia tai integrointia fysiikassa. Korkeintaan numeerinen integrointi ruutupaperista. Tietysti nyt on käytössä parempia laskimia, ja graafinen integrointi on helppoa. Se taso lukiossa on sama kuin mitä teknillisissä oppilaitoksissa opetetaan, itselläni on 60-luvulta teknikon oppikirjoja, ja näistä on otettu suoraan lukion oppikirjoihin myös tavaraa. Tilanne on tuskin muuttunut 90-luvulta.

m36-intj kirjoitti:

Lukiossa ei kyllä opeteta differentiaalien käyttämistä ja derivointia tai integrointia fysiikassa. Korkeintaan numeerinen integrointi ruutupaperista. Tietysti nyt on käytössä parempia laskimia, ja graafinen integrointi on helppoa. Se taso lukiossa on sama kuin mitä teknillisissä oppilaitoksissa opetetaan, itselläni on 60-luvulta teknikon oppikirjoja, ja näistä on otettu suoraan lukion oppikirjoihin myös tavaraa. Tilanne on tuskin muuttunut 90-luvulta.

Lue lisää

No kyllä opetetaan. Olen itse opettanut lukiolaisia ja tiedän mistä puhun.

tractor kirjoitti:

No kyllä opetetaan. Olen itse opettanut lukiolaisia ja tiedän mistä puhun.

Onkohan opetuksen taso sitten muuttunut viime aikoina? Kun itse opiskelin 90-luvulla, ei differentiaali- ja integraalilaskentaa vaadittu lukion pitkässä fysiikassa. Ne tulivat eteen ensimmäistä kertaa vasta yliopiston kursseilla.

Kappas, tukeehan se! Hyvä homma.