Olen siis aivan kujalla.
Pystysuorassa olevan jousen päähän ripustettu kappale venyttää jousta 2,0 cm.
Kappaletta vedetään 5,0 cm alkuperäisen tasapainoaseman alapuolelle ja päästetään
sitten irti.
a) Kuinka suurella taajuudella systeemi värähtelee?
b) Kuinka suurella nopeudella kappale ohittaa tasapainoasemansa?
Tiedän, että taajuus F=1/(2*pi)*sqrt(k/m), mutta miten toimitaan kun massaa ei ole ilmotettu missään?
Ja b-kohdasta ei ole hajuakaan.
Pystysuorassa olevan jousen päähän ripustettu kappale venyttää jousta 2,0 cm.
Kappaletta vedetään 5,0 cm alkuperäisen tasapainoaseman alapuolelle ja päästetään
sitten irti.
a) Kuinka suurella taajuudella systeemi värähtelee?
b) Kuinka suurella nopeudella kappale ohittaa tasapainoasemansa?
Tiedän, että taajuus F=1/(2*pi)*sqrt(k/m), mutta miten toimitaan kun massaa ei ole ilmotettu missään?
Ja b-kohdasta ei ole hajuakaan.
Vastaukset 28
Vanhimmat
F = k s = mg
k/m = g/s
b) Nyt siirtymän lauseke on x = A cos(ωt) ja nopeuden v = ẋ = Aω sin(ωt). Mikähän mahtaa olla jälkimmäisen lausekkeen arvo ajanhetkellä, jolloin x:n lauseke on 0 ja t > 0?
''Mikähän mahtaa olla jälkimmäisen lausekkeen arvo ajanhetkellä, jolloin x:n lauseke on 0 ja t > 0?''
0?
Mikä on sitten sellainen reaalinen kulman arvo, jolloin sekä sini että kosini ovat nollia?
Sitähän tuo ehdotuksesi tarkoittaa.
Nopeus v on suurimmillaan, kun kappale ohittaa tasapainoaseman. Silloin sini on ykkönen.
''Nopeus v on suurimmillaan, kun kappale ohittaa tasapainoaseman. Silloin sini on ykkönen.''
Eli v=Aω(ωt)?
Mistä tuo sulkulauseke oikein ilmestyi?
Öhh, jos sin on siinä ohittaessaan tasapainopisteen 1, niin eihän se sulkulauseke häviä lausekkeesta v = Aω sin(ωt)?
v = Aω
sin(ωt) vaihtelee -1 ja 1 välillä. Nopeus on suurimmillaan, kun se saa arvon 1 eli "sini on ykkönen".
Noinko yksinkertainen se sitten kaikenkaikkiaan olikin
Ei ole kyllä mikään yksinkertainen noin pähkäiltynä, mutta tuo b-kohta onkin tarkoitettu laskettavaksi energiaperiaatteella: ½*k*0,05^2=½*m*v^2.
Laitan tähän nyt vähän piirrostakin , ja kuvassa 0-taso asetetaan tasapainoasemaan:
http://aijaa.com/VEXZvv
ihan se viimeinen termi paperissa pitää olla T, eikä T/4
aeija onkin pitkään ollut "piilossa"
Siinähän on sotkettu yksiköitä oikein tuelta, senttejä ja metrejä sekaisin.
Korjataan nyt ainakin se: http://aijaa.com/erkVbV
Siitä taitaa tulla nopeudeksi v=1,1 m/s
Ei tuossa mitään energioita tarvita. Riittä ihan se, että tietää kappaleen paikan ajan funktiona. Siitä sitten derivoimalla nopeus.
Tehdääskin niin, kun jäikin vähän vaivaamaankin, tämähän lähtee liikkeelle sieltä ala-asennosta, ja laitetaan heti alkuun se käyrän yhtälön johtaminen:
http://aijaa.com/7U0t0S
Sitten jatketaan: http://aijaa.com/W3vB36. Tuli vielä hankalampi.
Lopussa korjattuna yksiköt: http://aijaa.com/Zw3CFy
Työkaluja käyttäen:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=dsolve {m*y"(t) m*9.81/0.05*y(t)=0, y'(0)=0, y(0)=-0.05}
jos olisi näin, niin täsmäisi noitten minun viimeisten sepustuksien kanssa
http://www.wolframalpha.com/input/?i=dsolve {m*y"(t) m*9.81/0.02*y(t)=0, y'(0)=0, y(0)=-0.05}
Olet oikeassa.
ei ole oikein
Tulos on oikein, mutta diffyhtälöä on jo sievennetty g- ja jousivoiman osalta.
Luuletko, että aloittanut lumiukko olisi yleisestä symbolisesta ratkaisusta saanut mitään vihjettä?
Koordinaatiston valinnassa on kakai luontevaa vaihtoehtoa. Molemmat johtavat lopulta samaan lopputulokseen, kuten pitääkin.
Selvennetään asiaa.
Periaate on että voima on k*s , jossa s on poikkeama tasapainoasemasta ja se on yhtä kuin m*s''(t) (m*a)
Lisäksi tiedetään että m *g = k*2cm ja päädytään yhtälöön
-g/2cm*s = s''(t) ja loppu on laskentaa.
--> -50g s^2 c = v^2 , s=5cm, v =0, c = 0.125*g -> v= 1.107m/s
s'(t) = sqrt(0.125*g - 50*g*(s(t))^2) jne, josta t = 2pii *sqrt(0.02/g) =0.28 s ja taajuus 1/t = 3.52.
Ps
Toive aeija : lle, hieman selvempää tekstiä, ymmärtäminen olisi huomattavasti helpompaa.
En malta olla jatkamatta.
Näissä yksinkertaisissa tapauksissa integrointi on kohtuuttoman hankalaa (tai ohjelmia vaativaa), vaikka pienellä päättelyllä pääsee paljon vähemmällä.
Edellä oli jo maininta että energiaperiaatteella saadaan nopeus värähtelyn puolivälissä (=max).
Tähän tapaukseen voidaan kuvitella virtuaalinen värähtely kohtisuorassa suunnassa ja 90 asteen vaihesiirrolla, joka ei vaikuta alkuperäisen suuntaiseen liikkeeseen, mutta kappaleen liike olisi ympyräliikettä, johon pätee keskipakovoiman ja jousivoiman tasapaino eli m*v^2/s = k*s, josta v on sama kuin energiaperiaatteellakin eli v=s*sqrt(k/m), ja kun m on k*0.02/g
v= s*sqrt(g/0.02)
Kun virtuaalivärähtelijä on kiertänyt täyden kierroksen, matka on 2*pii*s, josta aika saadaan jakamalla matka nopeudella, siis
t= 2*pii*sqrt(0.02/g)
Ei integrointia , ei vaikeita lausekkeita , ei tietokoneavusteisia ohjelmia, vain pari perus laskutoimitusta, siinä kaikki.
Tässä ratkaisu "perinteisellä tyylillä".
Otetaan selkeyden vuoksi ensin koordinaatistoksi venyttämättömän jousen nollakohta. Voimatasapainosta saadaan yhtälö:
my'' ky mg = 0
y'' (k/m) y g = 0
Tasapainotilassa y' ja y'' = 0, joten y = -g (m/k). Tämän verran jousi siis venyy alaspäin. Venymä on -0.02 m, joten siitä saadaan k/m = g/0.02. Yhtälö voidaan nyt panna myös muotoon:
y'' (g/0.02) y g = 0
Valitaan uusi muuttuja z = y 0.02. Alkutilanteen tasapainossa y = -0.02, joten z = 0. Lisäksi z' = y' ja z'' = y''. Yhtälö saadaan muotoon:
z'' (g/0.02) (z-0.02) g = 0
z'' (g/0.02)z - g g = 0
z'' (g/0.02) z = 0
Kyseessä on perinteinen värähtely-yhtälö. Merkitään vielä
g/0.02 = w**2
z'' w**2 z = 0
Yhtälön ratkaisuksi kelpaa sekä sini(wt) että cos(wt). Haetaan ratkaisua muodossa:
z(t) = Asin(wt) Bcos(wt)
Tällöin
z'(t) = wAcos(wt) - wBsin(wt) = v(t)
Alkuehdoista määritetään kertoimet A ja B.
z(0) = -0.05 --> B = -0.05/w
z'(0) = 0 = wA --> A = 0
Ratkaisu on
z(t) = - 0.05 cos(wt)
ja nopeus
v(t) = 0.05 w sin(wt)
w = sqrt( 9.81/0.02) = 2 pi f, josta saadan f = 3.52 Hz. Maksiminopeus v_max = 0.05 w = 1.107 m/s.