Linearisointiongelma

Lauseke saadaan muotoon

K/y_t - 1 = e^(-bt).
Otetaan logaritmi kummastaki puolesta

log(K/y_t - 1) = -bt.
Jos K on tunnettu, niin havaintopareista (log(K/y_t - 1) ja t voidaan saada arvio b:lle.

Millä ihmeen laskuopilla saat lausekkeen tuohon muotoon? Minne lisäksi hävisi a?

Siis jos tarkoitus on havainnoista löytää arvot vakioille a ja b, niin tuon yhtälön voi kirjoittaa muotoon

e^(-bt) = (K/y - 1)/a otetaan puolittain luon.log

-bt = ln(K/y -1) - ln(a) --> merkitään y* = ln(K/y -1) ja c = ln(a)

y* = -bt c (eli suoran yhtälö)

sitten vaan lineaarisella regressiolla etsit havaintopareista (y ja K) arvot vakioille b ja c ja vakio a = e^c

meniskö noin, vai ymmärsinkö jotain väärin?

Ilmaisohjelmista ainakin Sagessa on komento find_fit, jolla voi sovittaa malleja dataan. Katso http://www.sagemath.org/ ja http://doc.sagemath.org/html/en/reference/numerical/sage/numerical/optimize.html

Aloin penkomaan kirjahyllyä ennen laskemista ja löysin samansisältöisen sanoman kolmesta eri lähteestä. Luovutan toistaiseksi laskemisen muille.

* Mäenpää, Ilmo: Tulevaisuuden tutkimus, osa II : "Kyllästyvän kasvun käyriä ei voida linearisoida estimointia varten ..."
* Pitkänen, Seppo: Business Forecasting (luentomoniste, LTY): "These models of saturating growth cannot be linearized ..."
* Lotus-FORMAN Handbook: : "...parameters defining the curve cannot be achieved using least squares or regression methods, and a variety of approximation methods have been proposed".

Kahdessa viimemainitussa on esitetty Bryant- Lewisin estimointimenetelmä modifioidulle eksponenttikäyrälle, Gompertzin käyrälle ja logistiselle käyrälle. Menetelmässä myös saturaatiotaso on estimoitava parametri, eikä ennalta fiksattu. Jos logistinen kurvi oikenee muunnoksilla, niin uutta on siis keksitty.