Euklidisessa avaruudessa kahden avaruuden pisteen välinen lyhin reitti on jana näiden pisteiden välillä.
Tämä on tietenkin teoreema, ja se osoitetaan usein variaatiolaskennassa perusesimerkkinä, mutta variaatiolaskennassa funktion pitää olla derivoituva sileä funktio.
Miten tämä todistetaan yleisen jatkuvan reitin (funktion) osalta? Eli jos oletetaan vain jatkuvuus, mutta ei derivoituvuutta.
Lyhin reitti kahden pisteen välillä on jana?
Anonyymi
11
256
Vastaukset
Koska reitin pituus määritellään infimumina kaikista murtoviivan pituuksista kaikkien mahdollisten jaotuksien yli, niin väite täytyy ensin osoittaa murtoviivalle. Sille se tulee kolmioepäyhtälöstä.
Nyt mikään reitti ei voi omata pienempää pituutta kuin suora jana: pitäisi löytyä jono murtoviivoja, joiden pituudet konvergoi tähän reitin pituuden arvoon, mutta jokainen murtoviiva on aina vähintään janan pituinen edellisen huomion nojalla.Reitin pituuden määritelmässä on muistaakseni vielä lisävaatimus, että osituksen kaikki välien pituudet pitää mennä nollaan (niinkuin Riemannin integraalissakin). Pakkohan siinä on joku lisävaatimus olla, eihän ilman sitä millekään reitille tule muuta kuin se lyhyin mahdollinen pituus.
Mitenkä minä en nyt mistään löydä tuota määritelmää, wikipediakin antaa vaan tällaisen sivun: https://en.wikipedia.org/wiki/Path_length . Kertokaa joku miten se määritelmä nyt kuuluikaan.
Mutta toimisiko tuo yo. idea?Ei kun joo, täältä löytyikin: https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#General_approach
Eli supremumina. No niinhän minä vähän aluksi muistelinkin. Mutta tuollakin vaaditaan sileä kaari, eikös se sitten toimi yleisille (jatkuville) poluille. Suoristumattomuuskaan ei pitäisi olla ongelma, silloin vain pituus on ääretön.
- Anonyymi
Mitenkäs sinä määrittelet janan? Määritelmä pitäisi olla ennenkuin asiasta voi puhua.
Minun mielestäni jana A:stä B:hen on kuvaus
(1-t)A tB, t∈[0, 1]
Se ongelmahan siinä saattaa olla, että puhutaanko kuvauksesta vai sen kuvajoukosta. Ja sitten erilaiset parametrisoinnit, mutta ainakin nyt voidaan rajoittua injektiivisiin polkuihin, sillä eihän ikinä kannata palata pisteeseen, jossa on jo käyty, kun lyhintä mahdollista reittiä metsästetään. Eikös tällöin kaikki parametrisoinnit anna saman pituuden?
(Ks. esim: https://math.stackexchange.com/questions/2757904/arc-length-parametrization-of-a-continuous-curve , nythän voidaan myös rajoittua suoristuviin (rectifiable) käyriin. ) Joo, linkistä https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rectifiable_curve löytyy tieto: "The number L(γ) is the length of the curve and it is independent of the parametrization".minkkilaukku kirjoitti:
Minun mielestäni jana A:stä B:hen on kuvaus
(1-t)A tB, t∈[0, 1]
Se ongelmahan siinä saattaa olla, että puhutaanko kuvauksesta vai sen kuvajoukosta. Ja sitten erilaiset parametrisoinnit, mutta ainakin nyt voidaan rajoittua injektiivisiin polkuihin, sillä eihän ikinä kannata palata pisteeseen, jossa on jo käyty, kun lyhintä mahdollista reittiä metsästetään. Eikös tällöin kaikki parametrisoinnit anna saman pituuden?
(Ks. esim: https://math.stackexchange.com/questions/2757904/arc-length-parametrization-of-a-continuous-curve , nythän voidaan myös rajoittua suoristuviin (rectifiable) käyriin. ) Joo, linkistä https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rectifiable_curve löytyy tieto: "The number L(γ) is the length of the curve and it is independent of the parametrization".Tai siis eihän sillä injektiivisyydellä ole sen parametrisoinnista riippumattomuuden kanssa vissiin mitään tekemistä, mutta ehkä relevantimpi kysymys olisi että ovatko kaikki saman kuvajoukon tuottavat injektiiviset polut toistensa uudelleen parametrisointeja.
- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Minun mielestäni jana A:stä B:hen on kuvaus
(1-t)A tB, t∈[0, 1]
Se ongelmahan siinä saattaa olla, että puhutaanko kuvauksesta vai sen kuvajoukosta. Ja sitten erilaiset parametrisoinnit, mutta ainakin nyt voidaan rajoittua injektiivisiin polkuihin, sillä eihän ikinä kannata palata pisteeseen, jossa on jo käyty, kun lyhintä mahdollista reittiä metsästetään. Eikös tällöin kaikki parametrisoinnit anna saman pituuden?
(Ks. esim: https://math.stackexchange.com/questions/2757904/arc-length-parametrization-of-a-continuous-curve , nythän voidaan myös rajoittua suoristuviin (rectifiable) käyriin. ) Joo, linkistä https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Rectifiable_curve löytyy tieto: "The number L(γ) is the length of the curve and it is independent of the parametrization".Kysyin oikeastaan aloittajalta. Mutta kuten vastasit, jana on osa suoraa (eräs käyrä sekin) ja käyrän kaaren pituus määritellään differentiaaligeometriassa käyrän nopeusvektorin (tangentin) avulla joka edellyttää differentioituvuutta. Ja onhan tuo suoran esitys differentioituva. Voidaan myäs sanoa, että suora on suora koska sen geodeettinen kaarevuus = 0. Mutta tämäkin edellyttää derivaatan olemassaoloa.
Joten enpä tiedä miten aloittaja määrittäisi tuon "lyhimmän tien" ilman differentiaaligeometriaa ja tarvitsematta derivaattaa.
- Anonyymi
Janan määritelmä on vektori'jatkuuseuraavalleruville
- Anonyymi
Jokasiiseimuutupituudedssseli sille ei tehdämuitaoperaatioitajasenputuusonlaskettupythagoraanlauseebmukaisedti
- Anonyymi
Hohohoho, setan mukaan se olisi vihkivala, hohohoho
Yritän vähän tarkentaa edellistä vastaustani.
Reitin f (jatkuva kuvaus joukolta [0, 1]) pituus L(f) määritellään näin:
L(f) = sup {murtoviivan f(t0), f(t1),..., f(tm) pituus},
missä supremum on yli kaikkien välin [0, 1] jaotusten 0=t0<t1<...<tm=1.
Tämähän löytyy wikipediasta ( https://en.wikipedia.org/wiki/Arc_length#General_approach ) ja siellä tosiaan sanotaan: "This definition is also valid if f is merely continuous, not differentiable."
Kuten edellä, väite on murtoviivalle helposti nähtävissä (kolmioepäyhtälö tapauksessa m=2 ja yleinen tapaus induktiolla(?)) ja sitäpaitsi murtoviivahan on paloittain sileä käyrä, joten periaatteessa tämä tapaus on jo tehty.
Olkoon sitten f mikä tahansa jatkuva polku haluttujen pisteiden välillä (olkoot ne A ja B). Koska polun pituus määritellään eo. supremumina, löydetään jono murtoviivoja siten, että L(f) on näiden pituuksien raja-arvo. Koska jokaisen murtoviivan pituus on korkeintaan |AB|, niin myös L(f) on korkeintaan |AB|.
Loppupohdinta:
Oikeastaan tässä määritelmässä kyllä on jo implisiittisesti pohjalla oletus, että jana on lyhin reitti, sillä siinä käytetään murtoviivoja, jotka ovat janojen yhdisteitä. ja ajatellaan, että nämä antavat kunkin välipiste-parin [f(t_j), f(t_{j 1})] välille alarajan/approksimaation. Tai siis sehän on oikeastaan se euklidinen etäisyys mitä käytetään ja se määritelmällisesti on juuri janan pituus. Mutta mitä muuta määritelmää reitin pituudelle voitaisiin sitten käyttää? Joku metriikkahan meillä täytyy olla olemassa, jotta etäisyyksistä voidaan puhua. Tämähän tuntuu hieman kehäpäätelmältä, kun meillä on euklidinen metriikka joka tulee janan pituudesta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Sanna Marin vetänyt leukoja 11 kertaa
Tästähän oli joskus polemiikkia, kun muistaakseni lupasi kymmenen tai jotain vedellä. No nyt niin on, ainakin omien san775555- 1181926
Farmi Suomi: Kokeeko Frederik, 81, saman kohtalon kuin ikämies Danny?
Danny, musiikkineuvos Ilkka Lipsanen, nähtiin mukana Farmi Suomi -realityssä v. 2024. Danny teki yllätysratkaisun ja tuo231830Tyhmä persuväite = köyhä argumentti
Väite, että vasemmistopuolueita äänestäisivät vain “köyhät, tapatyöttömät tai heikoilla lahjoilla varustetut”, kertoo en301798Sosialismia Tampereella: Virallinen ilmiantolinja avautuu kaupungissa
Nyt siis mennään mansessa ihan justiinsa samaan malliin kuin entisessä Neuvostoliitossa, jossa saattoi ilmiantaa naapuri571767Tiesitkö? Andy McCoy ja Pelle Miljoona saavat taiteilijaeläkettä - Tämän suuruinen eläke on
Ylimääräiset taiteilijaeläkkeet on jaettu ja 59 taiteilijaa sai sen. Taiteilijoiden keskimääräinen eläketulo jää hyvin a551195- 731136
- 39945
Kunnanvaltuusto koolle heti
Tämä on erittäin vakava tilanne 17 hakkiita oli hyrylle mutta Kas kummaa kaksi hakkiota loppusuora oli Kainuusta ja Brys29919Sähköautoa vaikea hankkia koska latauspisteet puuttuu
Suurimmassa osassa taloyhtiöitä joiden talot rakennettu 2018 tai aiemmin ei latauspisteet ole sellaisia että sähköautoa60918