diffis

"Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi?"

Kerroin v:n edessä on alkuperäisen (siistityn) yhtälön vasen puoli. Tarkoitus on ratkaista homogeeninen yhtälö vp. = 0. Lopullinen ratkaisu on jokin x:n funktio kertaa homogeenisen yhtälön
y ' p (x) y = 0
ratkaisu h(x). Tämä johtuu täysin h:n ominaisuuksista ja siitä, että u h ' p u h = 0, kun h on aina eksponentti ja integraali -muotoinen ja sen derivaatta on h' = p h.

Ratkaisumenetelmän voi johtaa kahdessa eri järjestyksessä, joko tällä tavalla oudosti toteamalla kaksi edellistä identitettiä, kun oli arvannut ratkaista homogeenisen yhtälön. Tai alkuperäisemmin alkamalla etsiä h:hon liittyvää funktiota, jolla olisi ominaisuutena tehdä
y' p(x) y lauseesta yksi derivaattatermi d (y * ? ) / dx (siksi h:n nimi on integraatiotekijä tms.).

Vertaa näitä kahta johtoa yleiselle yhtälölle:

https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor#Solving_first_order_linear_ordinary_differential_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_variation_of_parameters#First-order_equation

Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)

1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)

Anonyymi kirjoitti:

Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)

1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)

Lue lisää

Tuli 1. riville kirjoitusvirhe. p.o.:...= sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) :...

Ei ole taikuutta eikä ihmettä tuossa integraalissakaan.Mitähän sinä matematiikasta opit jos lasketat W-A:lla valmiita vastauksia?
dx /sin(x) = dx/(2 sin(x/2) cos(x/2)) =( dx/cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) / cos(x/2)) =( d tan(x/2)) / tan(x/2) = d (log(tan(x/2))) joten Int(dx/sin(x)) = log(tan(x/2)).

Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.

Anonyymi kirjoitti:

Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.

Lue lisää

Tuossa ensimmäisessä vaiheessa ei tule vakiota C ollenkaan, vaan se tulee vasta sitten kun v ratkaistaan, eli v=x C, ja y= uv, eli y=tan(x/2)(x C)