diffis

maths

Osaako kukaan ratkaista tätä: y' sin x - y = 1 - cos x.

9

541

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      en osaa

    • Anonyymi

      Tuolloin vuonna 2006 ei vissiin vielä ollu Wolfram Alphaa!?!? Se osaa: vastaus on y = C*tan(x/2) x*tan(x/2).

      Mutta näinhän sen voi ratkaista: https://www.mathsisfun.com/calculus/differential-equations-first-order-linear.html

      Eli asetetaan y = uv ja u:lle saadaan kohdassa kolme yhtälö

      u' = u/sin(x)

      Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi? Noh, joka tapauksessa tämä johtaa integraatioon

      int du/u = int dx/sin(x)

      Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C).
      Ja taianmaisesti (joku trig-kaava varmaan)
      (1/sin(x)-1/tan(x))/tan(x/2) = 1
      joten
      v = x C.
      Siinähän se ratkaisu sitten onkin.

      Tämähän oli itsellenikin hyvää kertausta! En muista olenko tuota y=uv metodia koskaan kuullutkaan.

      • Anonyymi

        "Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi?"

        Kerroin v:n edessä on alkuperäisen (siistityn) yhtälön vasen puoli. Tarkoitus on ratkaista homogeeninen yhtälö vp. = 0. Lopullinen ratkaisu on jokin x:n funktio kertaa homogeenisen yhtälön
        y ' p (x) y = 0
        ratkaisu h(x). Tämä johtuu täysin h:n ominaisuuksista ja siitä, että u h ' p u h = 0, kun h on aina eksponentti ja integraali -muotoinen ja sen derivaatta on h' = p h.

        Ratkaisumenetelmän voi johtaa kahdessa eri järjestyksessä, joko tällä tavalla oudosti toteamalla kaksi edellistä identitettiä, kun oli arvannut ratkaista homogeenisen yhtälön. Tai alkuperäisemmin alkamalla etsiä h:hon liittyvää funktiota, jolla olisi ominaisuutena tehdä
        y' p(x) y lauseesta yksi derivaattatermi d (y * ? ) / dx (siksi h:n nimi on integraatiotekijä tms.).

        Vertaa näitä kahta johtoa yleiselle yhtälölle:

        https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor#Solving_first_order_linear_ordinary_differential_equations
        https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_variation_of_parameters#First-order_equation


      • Anonyymi

        Ei taikaa.
        sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
        cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)

        1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
        2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Ei taikaa.
        sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
        cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)

        1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
        2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)

        Tuli 1. riville kirjoitusvirhe. p.o.:...= sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) :...


      • Anonyymi

        Ei ole taikuutta eikä ihmettä tuossa integraalissakaan.Mitähän sinä matematiikasta opit jos lasketat W-A:lla valmiita vastauksia?
        dx /sin(x) = dx/(2 sin(x/2) cos(x/2)) =( dx/cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) / cos(x/2)) =( d tan(x/2)) / tan(x/2) = d (log(tan(x/2))) joten Int(dx/sin(x)) = log(tan(x/2)).


    • Anonyymi

      "du/u = int dx/sin(x)

      Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C)."

      Miksi tässäkin on jätetty käsittelemättä itseisarvoista tuleva toinen ratkaisu :
      u=-tan(x/2) C ?
      Siitä tuleva ratkaisu y: lle ei tosin toteuta alkuperäistä dif. yhtälöä, mutta ei sitä tässä vaiheessa voi vielä tietää..

      • Anonyymi

        Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.

        Tuossa ensimmäisessä vaiheessa ei tule vakiota C ollenkaan, vaan se tulee vasta sitten kun v ratkaistaan, eli v=x C, ja y= uv, eli y=tan(x/2)(x C)


    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Janne Ahonen E R O A A

      Taas 2 lasta jää vaille ehjää perhettä!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      172
      3570
    2. Tekisi niin mieli laittaa sulle viestiä

      En vaan ole varma ollaanko siihen vielä valmiita, vaikka halua löytyykin täältä suunnalta, ja ikävää, ja kaikkea muuta m
      Ikävä
      85
      1598
    3. Miksi ihmeessä?

      Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek
      Ateismi
      26
      1307
    4. Ootko huomannut miten

      pursuat joka puolelta. Sille joka luulee itsestään liikoja 🫵🙋🏻‍♂️
      Ikävä
      158
      1242
    5. Pitääkö penkeillä hypätä Martina?

      Eivätkö puistonpenkit ole istumista varten.Ei niitä kannata liata hyppäämällä koskaa likaantuvat eikä siellä kukaan niit
      Kotimaiset julkkisjuorut
      194
      1013
    6. Erika Vikman diskattiin, tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek

      Erika Vikman diskattiin, ei osallistu Euroviisuihin – tilalle Gettomasa ja paluun tekevä Cheek https://www.rumba.fi/uut
      Maailman menoa
      16
      983
    7. Kerropa ESA miten kävi tuomioiden

      Osaako ESA kertoa miten haukkumasi kunnanhallituksen kävi.
      Puolanka
      35
      981
    8. Kuinka kauan

      Olet ollut kaivattuusi ihastunut/rakastunut? Tajusitko tunteesi heti, vai syventyivätkö ne hitaasti?
      Ikävä
      63
      879
    9. Maikkarin tentti: Orpo jälleen rauhallinen ja erittäin hyvä, myös Purra oli hyvä

      Lindtman ja Kaikkonen oli kohtalaisia, sen sijaan punavihreät Koskela ja Virta olivat taas heikkoja. Ja vastustavat jalk
      Maailman menoa
      95
      829
    10. Se olisi ihan

      Napinpainalluksen päässä. Ei vaatisi paljon
      Ikävä
      62
      765
    Aihe