Osaako kukaan ratkaista tätä: y' sin x - y = 1 - cos x.
diffis
maths
9
509
Vastaukset
- Anonyymi
en osaa
- Anonyymi
Tuolloin vuonna 2006 ei vissiin vielä ollu Wolfram Alphaa!?!? Se osaa: vastaus on y = C*tan(x/2) x*tan(x/2).
Mutta näinhän sen voi ratkaista: https://www.mathsisfun.com/calculus/differential-equations-first-order-linear.html
Eli asetetaan y = uv ja u:lle saadaan kohdassa kolme yhtälö
u' = u/sin(x)
Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi? Noh, joka tapauksessa tämä johtaa integraatioon
int du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C).
Ja taianmaisesti (joku trig-kaava varmaan)
(1/sin(x)-1/tan(x))/tan(x/2) = 1
joten
v = x C.
Siinähän se ratkaisu sitten onkin.
Tämähän oli itsellenikin hyvää kertausta! En muista olenko tuota y=uv metodia koskaan kuullutkaan.- Anonyymi
"Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi?"
Kerroin v:n edessä on alkuperäisen (siistityn) yhtälön vasen puoli. Tarkoitus on ratkaista homogeeninen yhtälö vp. = 0. Lopullinen ratkaisu on jokin x:n funktio kertaa homogeenisen yhtälön
y ' p (x) y = 0
ratkaisu h(x). Tämä johtuu täysin h:n ominaisuuksista ja siitä, että u h ' p u h = 0, kun h on aina eksponentti ja integraali -muotoinen ja sen derivaatta on h' = p h.
Ratkaisumenetelmän voi johtaa kahdessa eri järjestyksessä, joko tällä tavalla oudosti toteamalla kaksi edellistä identitettiä, kun oli arvannut ratkaista homogeenisen yhtälön. Tai alkuperäisemmin alkamalla etsiä h:hon liittyvää funktiota, jolla olisi ominaisuutena tehdä
y' p(x) y lauseesta yksi derivaattatermi d (y * ? ) / dx (siksi h:n nimi on integraatiotekijä tms.).
Vertaa näitä kahta johtoa yleiselle yhtälölle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor#Solving_first_order_linear_ordinary_differential_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_variation_of_parameters#First-order_equation - Anonyymi
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)Tuli 1. riville kirjoitusvirhe. p.o.:...= sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) :...
- Anonyymi
Ei ole taikuutta eikä ihmettä tuossa integraalissakaan.Mitähän sinä matematiikasta opit jos lasketat W-A:lla valmiita vastauksia?
dx /sin(x) = dx/(2 sin(x/2) cos(x/2)) =( dx/cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) / cos(x/2)) =( d tan(x/2)) / tan(x/2) = d (log(tan(x/2))) joten Int(dx/sin(x)) = log(tan(x/2)).
- Anonyymi
"du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C)."
Miksi tässäkin on jätetty käsittelemättä itseisarvoista tuleva toinen ratkaisu :
u=-tan(x/2) C ?
Siitä tuleva ratkaisu y: lle ei tosin toteuta alkuperäistä dif. yhtälöä, mutta ei sitä tässä vaiheessa voi vielä tietää..- Anonyymi
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
Tuossa ensimmäisessä vaiheessa ei tule vakiota C ollenkaan, vaan se tulee vasta sitten kun v ratkaistaan, eli v=x C, ja y= uv, eli y=tan(x/2)(x C)
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1101907
Mika Muranen juttu tänään
Jäi puuttumaan tarkennus syystä teolle. Useat naapurit olivat tehneet rikosilmoituksia tästä kaverista. Kaikki oli Muras91539Oho! Farmi-tippuja Wallu Valpio ei säästele sanojaan Farmi-oloista "Se oli niin luotaantyöntävää..."
Wallu oikein listaa epämiellyttävät asiat… Monessa realityssä ollut Wallu Valpio ei todellakaan säästele sanojaan tippum131499Välillä käy mielessä
olisiko sittenkin ollut parempi, että emme koskaan olisi edes tavanneet. Olisi säästynyt monilta kyyneleiltä.811477- 1501415
- 1071350
- 231307
Uskoontulo julistetun evankeliumin kautta
Ja kun oli paljon väitelty, nousi Pietari ja sanoi heille: "Miehet, veljet, te tiedätte, että Jumala jo kauan aikaa sitt6481239Helvetin hyvä, että "hullut" tappavat toisensa
On tämä merkillistä, että yritetään pitää hengissä noita paskaperseitä, joilla ei ole muuta tarkoitusta, kuin olla riida161147Hanna Kinnunen sai mieheltään tiukkaa noottia Tähdet, tähdet -kotikatsomosta: "Hän ei kestä, jos..."
Hanna Kinnunen on mukana Tähdet, tähdet -kisassa. Ja upeasti Salkkarit-tähti ja radiojuontaja onkin vetänyt. Popedan Lih81108