Osaako kukaan ratkaista tätä: y' sin x - y = 1 - cos x.
diffis
maths
9
591
Vastaukset
- Anonyymi
en osaa
- Anonyymi
Tuolloin vuonna 2006 ei vissiin vielä ollu Wolfram Alphaa!?!? Se osaa: vastaus on y = C*tan(x/2) x*tan(x/2).
Mutta näinhän sen voi ratkaista: https://www.mathsisfun.com/calculus/differential-equations-first-order-linear.html
Eli asetetaan y = uv ja u:lle saadaan kohdassa kolme yhtälö
u' = u/sin(x)
Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi? Noh, joka tapauksessa tämä johtaa integraatioon
int du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C).
Ja taianmaisesti (joku trig-kaava varmaan)
(1/sin(x)-1/tan(x))/tan(x/2) = 1
joten
v = x C.
Siinähän se ratkaisu sitten onkin.
Tämähän oli itsellenikin hyvää kertausta! En muista olenko tuota y=uv metodia koskaan kuullutkaan.- Anonyymi
"Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi?"
Kerroin v:n edessä on alkuperäisen (siistityn) yhtälön vasen puoli. Tarkoitus on ratkaista homogeeninen yhtälö vp. = 0. Lopullinen ratkaisu on jokin x:n funktio kertaa homogeenisen yhtälön
y ' p (x) y = 0
ratkaisu h(x). Tämä johtuu täysin h:n ominaisuuksista ja siitä, että u h ' p u h = 0, kun h on aina eksponentti ja integraali -muotoinen ja sen derivaatta on h' = p h.
Ratkaisumenetelmän voi johtaa kahdessa eri järjestyksessä, joko tällä tavalla oudosti toteamalla kaksi edellistä identitettiä, kun oli arvannut ratkaista homogeenisen yhtälön. Tai alkuperäisemmin alkamalla etsiä h:hon liittyvää funktiota, jolla olisi ominaisuutena tehdä
y' p(x) y lauseesta yksi derivaattatermi d (y * ? ) / dx (siksi h:n nimi on integraatiotekijä tms.).
Vertaa näitä kahta johtoa yleiselle yhtälölle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor#Solving_first_order_linear_ordinary_differential_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_variation_of_parameters#First-order_equation - Anonyymi
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)Tuli 1. riville kirjoitusvirhe. p.o.:...= sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) :...
- Anonyymi
Ei ole taikuutta eikä ihmettä tuossa integraalissakaan.Mitähän sinä matematiikasta opit jos lasketat W-A:lla valmiita vastauksia?
dx /sin(x) = dx/(2 sin(x/2) cos(x/2)) =( dx/cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) / cos(x/2)) =( d tan(x/2)) / tan(x/2) = d (log(tan(x/2))) joten Int(dx/sin(x)) = log(tan(x/2)).
- Anonyymi
"du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C)."
Miksi tässäkin on jätetty käsittelemättä itseisarvoista tuleva toinen ratkaisu :
u=-tan(x/2) C ?
Siitä tuleva ratkaisu y: lle ei tosin toteuta alkuperäistä dif. yhtälöä, mutta ei sitä tässä vaiheessa voi vielä tietää..- Anonyymi
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
Tuossa ensimmäisessä vaiheessa ei tule vakiota C ollenkaan, vaan se tulee vasta sitten kun v ratkaistaan, eli v=x C, ja y= uv, eli y=tan(x/2)(x C)
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
SDP on vastuunkantaja, ja siksi suosituin kansan keskuudessa
Kiusaamiseenkin SDP puuttuu heti sellaisen tultua ilmi. Esimerkiksi persut lakaisevat nämä maton alle ja pahentavat site1376279Punavihreät puolueet haluavat Suomeen satoja tuhansia kehitysmaalaisia
SDP, vihreät ja vassarit haluavat nostaa esim. pakolaiskiintiötä todella paljon. Orpon hallituksen aikana maahanmuutto665192Miksei Korhonen (pers) vastaa Kokon (sd) esittämiin kysymyksiin?
Hyviin käytöstapoihin kuuluu kysymyksiin vastaaminen, eikä alkaa syyttelemään kysymyksen esittäjää. Mikä vaivaa Korhost143665Häirintäkohun keskellä olevalta kansanedustajalta Jani Kokolta (sd) rajua tekstiä somessa.
https://www.is.fi/politiikka/art-2000011772322.html Ajaakohan tämä SDP:n kansanedustaja Jani Kokko oikein täysillä valoi1213250Nyt tuli Suomen somaleista todella ikävää faktaa
sillä osa somalivanhemmista lähettää lapsiaan kotimaahansa kurinpitolaitoksiin, joissa heitä pahoinpidellään. Illan MOT1042340Kähmijä puolueen kannatus romahtamassa
Erityisesti naiset ovat suuttuneet SDP:lle kertoo asiantuntijat712276Kommentti: oikeuslaitos korvattava SDP:n johdolla
Näkisin että Suomessa tuomiovalta pitäisi olla demareiden johtoportaalla. Koska porvarimedia säestettynä persujen kirku01990Persut pettävät ja valehtelevat aina
Petoksistahan jää kiinni kuten olemme persujen kannatusromahduksesta nähneet, mutta siitä huolimatta persut jatkavat val271608- 761098
Sinä et halunnut sitoutua
Samalla tavalla kyin minä ja koen vihdoinkin että se on ihan ok. Sitoutuminen merkitsi meille erilaisia asioita, eikä ne121008