Osaako kukaan ratkaista tätä: y' sin x - y = 1 - cos x.
diffis
maths
9
547
Vastaukset
- Anonyymi
en osaa
- Anonyymi
Tuolloin vuonna 2006 ei vissiin vielä ollu Wolfram Alphaa!?!? Se osaa: vastaus on y = C*tan(x/2) x*tan(x/2).
Mutta näinhän sen voi ratkaista: https://www.mathsisfun.com/calculus/differential-equations-first-order-linear.html
Eli asetetaan y = uv ja u:lle saadaan kohdassa kolme yhtälö
u' = u/sin(x)
Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi? Noh, joka tapauksessa tämä johtaa integraatioon
int du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C).
Ja taianmaisesti (joku trig-kaava varmaan)
(1/sin(x)-1/tan(x))/tan(x/2) = 1
joten
v = x C.
Siinähän se ratkaisu sitten onkin.
Tämähän oli itsellenikin hyvää kertausta! En muista olenko tuota y=uv metodia koskaan kuullutkaan.- Anonyymi
"Mistä se muuten tulee, että tuo "v-termi" asetetaan nollaksi?"
Kerroin v:n edessä on alkuperäisen (siistityn) yhtälön vasen puoli. Tarkoitus on ratkaista homogeeninen yhtälö vp. = 0. Lopullinen ratkaisu on jokin x:n funktio kertaa homogeenisen yhtälön
y ' p (x) y = 0
ratkaisu h(x). Tämä johtuu täysin h:n ominaisuuksista ja siitä, että u h ' p u h = 0, kun h on aina eksponentti ja integraali -muotoinen ja sen derivaatta on h' = p h.
Ratkaisumenetelmän voi johtaa kahdessa eri järjestyksessä, joko tällä tavalla oudosti toteamalla kaksi edellistä identitettiä, kun oli arvannut ratkaista homogeenisen yhtälön. Tai alkuperäisemmin alkamalla etsiä h:hon liittyvää funktiota, jolla olisi ominaisuutena tehdä
y' p(x) y lauseesta yksi derivaattatermi d (y * ? ) / dx (siksi h:n nimi on integraatiotekijä tms.).
Vertaa näitä kahta johtoa yleiselle yhtälölle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor#Solving_first_order_linear_ordinary_differential_equations
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_variation_of_parameters#First-order_equation - Anonyymi
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2) - Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Ei taikaa.
sin(x) = sin(x/2 x/2) = sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
cos(x) = cos(x/2 x/2) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 1 - 2 sin^2(x/2)
1/sin(x) - 1/tan(x) = 1/sin(x) - cos(x)/sin(x) = 1/sin(x) (1 - cos(x)) = 1/(2 sin(x/2) cos(x/2)) *
2 sin^2(x/2) = sin(x/2) / cos(x/2) = tan(x/2)Tuli 1. riville kirjoitusvirhe. p.o.:...= sin(x/2) cos(x/2) cos(x/2) sin(x/2) :...
- Anonyymi
Ei ole taikuutta eikä ihmettä tuossa integraalissakaan.Mitähän sinä matematiikasta opit jos lasketat W-A:lla valmiita vastauksia?
dx /sin(x) = dx/(2 sin(x/2) cos(x/2)) =( dx/cos^2(x/2)) / (2 sin(x/2) / cos(x/2)) =( d tan(x/2)) / tan(x/2) = d (log(tan(x/2))) joten Int(dx/sin(x)) = log(tan(x/2)).
- Anonyymi
"du/u = int dx/sin(x)
Mikä ihme on 1/sinin integraali. En muista, noh WA muistaa ja se on log(tan(x/2)) eli juuri sopivasti toiselle puolelle tuleva eksponenttifunktio kumoaa logaritmin ja u=tan(x/2) ( C)."
Miksi tässäkin on jätetty käsittelemättä itseisarvoista tuleva toinen ratkaisu :
u=-tan(x/2) C ?
Siitä tuleva ratkaisu y: lle ei tosin toteuta alkuperäistä dif. yhtälöä, mutta ei sitä tässä vaiheessa voi vielä tietää..- Anonyymi
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
Mulle tuli tuossa semmonen virhe, että se vakio C:hän tulee kertoimeksi, koska otetaan exp(). Sen takia ei siis tulekaan vakiota lopulliseen ratkaisuun, vaan siinä vain toinen vakio sulautuu kertoimena jo olemassaolevaan.
Tuossa ensimmäisessä vaiheessa ei tule vakiota C ollenkaan, vaan se tulee vasta sitten kun v ratkaistaan, eli v=x C, ja y= uv, eli y=tan(x/2)(x C)
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mies, mitä minun pitäisi tehdä
Niin, mitä naisen siis pitäisi tehdä, että lähestyisit ja tekisit aloitteen? Mikä on riittävä kiinnostuksen osoitus juur1802260- 1751861
Toivottavasti et mussukka elättele toiveita meikäläisen suhteen
Tiedän mitä olet touhunnut joten aivan turha haaveilla mistään enää 👍1701732Sofia Virralla ja Minja Koskelalla ei mitään käsitystä terveyskeskusmaksuista!
Vasemmistopimut Sofia ja Minja täysin ulkona sote asioista, ei minkäänlaista käsitystä edes mittaluokasta, missä terveys1131561Summit-tippuja Nicola sai Carolalta yllättävän viestin - Some älähtää rajusti: "Älä viitsi..."
The Summit Suomi -kisa käy kuumana kylmässä Norjan vuoristossa. Nicola tiputettiin kisasta juuri ennen finaalia. Likaise261504- 1091270
Juusolle sataa vihaisia viestejä hoitajilta ja loput nauravat hänelle
Ei löydy montaakaan, joka kehuisi Juuson toimintaa ministerinä: "Selvä enemmistö Juuson päivitykseen reagoineista on su1681119Persuehdokas uhkasi tappaa "jätkän" ja ravintolayrittäjän
Kuuntele tästä kuinka meuhkaa. https://www.iltalehti.fi/politiikka/a/4eb3034d-48c5-4f31-b53c-42be3dc9607c771083Varattais lähihotellista
🥰 huone viikoksi. Oltais vaan ja tilattais huonepalvelusta herkkuja! Viikonloppukin käy jos et viikoksi ehdi ❤ Hyvää149987Kompostointitarkastaja tuli tarkastukselle!
En ole ikinä kompostoinnut ja eilen kävi kompostointitarkastaja kylässä. Tosi hianoa byrokratiaa taas: "Laki edellyttää,58985