MEKANIIKKA

Pitäisi saada elementtimenetelmällä voimasuureet rakenteesta ulos. Nyt kyse elementtikohtaisesta jäykkyys/voima matriisista. Jos kaikki nurkat jäykkiä käytetään palkkielementin perusmatriisia. Kun niveliä tuodaan rakenteeseen suljetaanko perusmatriisista vain joitakin tekijöitä pois vai luodaanko matriisit samoin kuin siirtymämenetelmässä? Kuormitushan huomioidaan vasta lukkovoimissa. Yhtälöt ratkaisen kootusta pistematriisista. Jäykkärakenne on ok mutta nämä nivelet aiheuttaa ongelmaa.

MEKANIX kirjoitti:

Pitäisi saada elementtimenetelmällä voimasuureet rakenteesta ulos. Nyt kyse elementtikohtaisesta jäykkyys/voima matriisista. Jos kaikki nurkat jäykkiä käytetään palkkielementin perusmatriisia. Kun niveliä tuodaan rakenteeseen suljetaanko perusmatriisista vain joitakin tekijöitä pois vai luodaanko matriisit samoin kuin siirtymämenetelmässä? Kuormitushan huomioidaan vasta lukkovoimissa. Yhtälöt ratkaisen kootusta pistematriisista. Jäykkärakenne on ok mutta nämä nivelet aiheuttaa ongelmaa.

Elementtitasolla laskettaessa käytetään aina täysiä matriiseita. Kun elementin täysi jäykkyysmatriisi kerrotaan ratkaistuilla siirtymillä, saadaan tuloksena voimasuureet jotka sisältävät evivalenttiset voimasuureet ja todelliset voimasuureet. Todelliset voimasuureet saadaan siis vähentämällä jäykkyysmatriisin ja siirtymävektorin tulosta ekvivalenttiset solmuvoimat. Jos ja kun globaali jäykkyysmatriisi on oikein muodostettu tulee vähennyslakun jälkeen nivelen kohdalle todelliseksi taivutusmomentiksi nolla, kuten pitääkin.

Nivelet eivät vaikuta siis elementtitasolla mitään. Ne vaikuttavat vain globaalin jäykkyysmatriisin muodostamisessa, jolloin esimerkiksi kahden vierekkäisen, nivelellä erotetun palkkielementin kiertymävapausasteet eivät yhdy vaan kummallakin on oma kiertymävapausasteensa.

perce kirjoitti:

Elementtitasolla laskettaessa käytetään aina täysiä matriiseita. Kun elementin täysi jäykkyysmatriisi kerrotaan ratkaistuilla siirtymillä, saadaan tuloksena voimasuureet jotka sisältävät evivalenttiset voimasuureet ja todelliset voimasuureet. Todelliset voimasuureet saadaan siis vähentämällä jäykkyysmatriisin ja siirtymävektorin tulosta ekvivalenttiset solmuvoimat. Jos ja kun globaali jäykkyysmatriisi on oikein muodostettu tulee vähennyslakun jälkeen nivelen kohdalle todelliseksi taivutusmomentiksi nolla, kuten pitääkin.

Nivelet eivät vaikuta siis elementtitasolla mitään. Ne vaikuttavat vain globaalin jäykkyysmatriisin muodostamisessa, jolloin esimerkiksi kahden vierekkäisen, nivelellä erotetun palkkielementin kiertymävapausasteet eivät yhdy vaan kummallakin on oma kiertymävapausasteensa.

Ymmärtääkseni ongelmani on juuri siinä, miten globaali jäykkyysmatriisi luodaan niin, että nivelellä erotetut kiertymävapausasteet eivät yhdy. Elementtitasollahan kiertymien paikkalla on kiertymän huomioivat tekijät. Onko rautalankamallisia vinkkejä? Itse pähkäilin sitäkin, että katoaako kehärakenteen kulmassa olevan nivelen vuoksi voiman ja muodonmuutoksen välinen lineaarinen yhteys. Tällöinhän laskenta ei ymmärtääkseni toimisi?

MEKANIX kirjoitti:

Ymmärtääkseni ongelmani on juuri siinä, miten globaali jäykkyysmatriisi luodaan niin, että nivelellä erotetut kiertymävapausasteet eivät yhdy. Elementtitasollahan kiertymien paikkalla on kiertymän huomioivat tekijät. Onko rautalankamallisia vinkkejä? Itse pähkäilin sitäkin, että katoaako kehärakenteen kulmassa olevan nivelen vuoksi voiman ja muodonmuutoksen välinen lineaarinen yhteys. Tällöinhän laskenta ei ymmärtääkseni toimisi?

Periaatteessa ihan samalla tavalla se globaali jäykkyysmatriisi muodostetaan kuin ilman niveltäkin. Jokaista vapausastetta vastaa globaalin jäykkyysmatriisin yksi diagonaalialkio ja sitä vastaava rivi ja sarake. Kun kahden palkkielementin välissä on nivel, niin palkkien kiertymävapausasteet eivät yhdy, jolloin kummaltakin palkilta tulee globaaliin jäykkyysmatriisiin omaa kiertymävapausastetta vastaavat rivi ja sarake. En minä tiedä miten sen voisi sanallisesti selostaa. Pitää vain poimia kummankin elementin kyseistä kiertymävapausastetta vastaavat rivi ja sarake ja muuntaa ne globaaliin koordinaatistoon. Eli pitää vain käyttää globaalien ja lokaalien koordinaattien välistä yhteyttä, joka on helppo taulukoida. Sitten muodostaa globaali jäykkyysmatriisi ajattelematta asiaa sen enempää. Tai tietysti saa ajatella, mutta ei tarvitse.

Ei nivel vaikuta rakenteen lineaarisuuteen, sillä lineaarinen teoria on aina lineaarinen teoria. Tietysti on rakenteita jotka ovat geometrialtaan niin epälineaarisia, että lineaarinen teoria ei anna käyttökelpoista tulosta (vaan antaa lineaarisen tuloksen joka joskus siis on huono). Esimerkiksi lähellä "läpilyöntiä" olevat rakenteet.

perce kirjoitti:

Periaatteessa ihan samalla tavalla se globaali jäykkyysmatriisi muodostetaan kuin ilman niveltäkin. Jokaista vapausastetta vastaa globaalin jäykkyysmatriisin yksi diagonaalialkio ja sitä vastaava rivi ja sarake. Kun kahden palkkielementin välissä on nivel, niin palkkien kiertymävapausasteet eivät yhdy, jolloin kummaltakin palkilta tulee globaaliin jäykkyysmatriisiin omaa kiertymävapausastetta vastaavat rivi ja sarake. En minä tiedä miten sen voisi sanallisesti selostaa. Pitää vain poimia kummankin elementin kyseistä kiertymävapausastetta vastaavat rivi ja sarake ja muuntaa ne globaaliin koordinaatistoon. Eli pitää vain käyttää globaalien ja lokaalien koordinaattien välistä yhteyttä, joka on helppo taulukoida. Sitten muodostaa globaali jäykkyysmatriisi ajattelematta asiaa sen enempää. Tai tietysti saa ajatella, mutta ei tarvitse.

Ei nivel vaikuta rakenteen lineaarisuuteen, sillä lineaarinen teoria on aina lineaarinen teoria. Tietysti on rakenteita jotka ovat geometrialtaan niin epälineaarisia, että lineaarinen teoria ei anna käyttökelpoista tulosta (vaan antaa lineaarisen tuloksen joka joskus siis on huono). Esimerkiksi lähellä "läpilyöntiä" olevat rakenteet.

Laskennassa on aksiaalivoimat mukana, mutta tästä ne on jätetty pois. Käytetäänkö siis aina tätä elementtikohtaista lähtokohtaa riippumatta kiinnityksestä [12EI/L3,6EI/L2,-12EI/L3,6EI/L2;6EI/L2,4EI/L,-6EI/L2,2EI/L;-12EI/L3,-6EI/L2,12EI/L3,-6EI/L2;6EI/L2,2EI/L,-6EI/L2,4EI/L]?
Poistetaanko tästä vain 6 rivi ja sarake vai mitä tälle tehdään jos oikeassa päässä nivel?
Vaiko jotenkin näin: [3EI/L3,3EI/L2,-3EI/L3,0;3EI/L2,3EI/L,-3EI/L2,0;-3EI/L3,-3EI/L2,3EI/L3,0;0,0,0,0]?
Meneehän se elämä näinkin......

MEKANIX kirjoitti:

Laskennassa on aksiaalivoimat mukana, mutta tästä ne on jätetty pois. Käytetäänkö siis aina tätä elementtikohtaista lähtokohtaa riippumatta kiinnityksestä [12EI/L3,6EI/L2,-12EI/L3,6EI/L2;6EI/L2,4EI/L,-6EI/L2,2EI/L;-12EI/L3,-6EI/L2,12EI/L3,-6EI/L2;6EI/L2,2EI/L,-6EI/L2,4EI/L]?
Poistetaanko tästä vain 6 rivi ja sarake vai mitä tälle tehdään jos oikeassa päässä nivel?
Vaiko jotenkin näin: [3EI/L3,3EI/L2,-3EI/L3,0;3EI/L2,3EI/L,-3EI/L2,0;-3EI/L3,-3EI/L2,3EI/L3,0;0,0,0,0]?
Meneehän se elämä näinkin......

Ei sitä nivelen kiertymävapausastetta missään nimessä poisteta (eli aseteta nollaksi). Nivelhän juuri ei estä sitä kiertymää. Taipuma sen sijaan voi olla estetty nivelen kohdalla jos kyseessä on niveltuki. Aina käytetään samaa elementtikohtaista lähtökohtaa, sillä tuloksia ole johdettu millään tuennalla. Ehkä se hämää, että ekvivalenttiset solmuvoimat ovat yhtäsuuria kuin jäykästi molemmista päistään tuetun palkin tukireaktioiden vastasuureet. Se ei tarkoita että elementti olisi jotenkin johdettu tilanteelle jossa reunat ovat jäykästi tuettuja.

Kertauksena vielä: elementin jäykkyysmatriisi on aina sama (täysi), riippumatta mahdollisista nivelistä päissä. Elementin jäykkyysmatriisin avulla saadaan todelliset voimat ja momentit ratkaistua, kun ensin on globaalin jäykkyysmatriisin avulla ratkaistu siirtymät ja kiertymät.

Globaalia jäykkyysmatriisia muodostettaessa nivelellä erotettuja palkkielementtejä vastaavat kiertymävapausasteet eivät yhdy, vaan nivelen kohtaan liittyy kaksi kiertymävapausastetta (tai niin montakuin palkkeja siihen niveleen liittyy).

Tilanteessa ei tosiaan ole mitään erikoista. On vain osattava muodostaa globaali jäykkyysmatriisi. Eli on valittava globaalit vapausasteet ja niistä kiinni pitäen muodostaa globaali jäykkyysmatriisi. Nivelen kohdalla on kaksi globaalia kiertymävapausastetta, jos siinä kaksi palkkia yhtyy.

perce kirjoitti:

Ei sitä nivelen kiertymävapausastetta missään nimessä poisteta (eli aseteta nollaksi). Nivelhän juuri ei estä sitä kiertymää. Taipuma sen sijaan voi olla estetty nivelen kohdalla jos kyseessä on niveltuki. Aina käytetään samaa elementtikohtaista lähtökohtaa, sillä tuloksia ole johdettu millään tuennalla. Ehkä se hämää, että ekvivalenttiset solmuvoimat ovat yhtäsuuria kuin jäykästi molemmista päistään tuetun palkin tukireaktioiden vastasuureet. Se ei tarkoita että elementti olisi jotenkin johdettu tilanteelle jossa reunat ovat jäykästi tuettuja.

Kertauksena vielä: elementin jäykkyysmatriisi on aina sama (täysi), riippumatta mahdollisista nivelistä päissä. Elementin jäykkyysmatriisin avulla saadaan todelliset voimat ja momentit ratkaistua, kun ensin on globaalin jäykkyysmatriisin avulla ratkaistu siirtymät ja kiertymät.

Globaalia jäykkyysmatriisia muodostettaessa nivelellä erotettuja palkkielementtejä vastaavat kiertymävapausasteet eivät yhdy, vaan nivelen kohtaan liittyy kaksi kiertymävapausastetta (tai niin montakuin palkkeja siihen niveleen liittyy).

Tilanteessa ei tosiaan ole mitään erikoista. On vain osattava muodostaa globaali jäykkyysmatriisi. Eli on valittava globaalit vapausasteet ja niistä kiinni pitäen muodostaa globaali jäykkyysmatriisi. Nivelen kohdalla on kaksi globaalia kiertymävapausastetta, jos siinä kaksi palkkia yhtyy.

"Globaalia jäykkyysmatriisia muodostettaessa nivelellä erotettuja palkkielementtejä vastaavat kiertymävapausasteet eivät yhdy, vaan nivelen kohtaan liittyy kaksi kiertymävapausastetta (tai niin montakuin palkkeja siihen niveleen liittyy)."

Tarkoittaako ylläoleva että jäykän kehän ja niveliä sisältävän kehän globaalit jäykkyysmatriisit ovat identtiset?
Ja, että nivelen vaikutus laskennassa huomioidaan ainoastaan erilaisilla lukkovoimilla?
Tarkoittanee jotain muuta.....

MEKANIX kirjoitti:

"Globaalia jäykkyysmatriisia muodostettaessa nivelellä erotettuja palkkielementtejä vastaavat kiertymävapausasteet eivät yhdy, vaan nivelen kohtaan liittyy kaksi kiertymävapausastetta (tai niin montakuin palkkeja siihen niveleen liittyy)."

Tarkoittaako ylläoleva että jäykän kehän ja niveliä sisältävän kehän globaalit jäykkyysmatriisit ovat identtiset?
Ja, että nivelen vaikutus laskennassa huomioidaan ainoastaan erilaisilla lukkovoimilla?
Tarkoittanee jotain muuta.....

"Tarkoittaako ylläoleva että jäykän kehän ja niveliä sisältävän kehän globaalit jäykkyysmatriisit ovat identtiset?
Ja, että nivelen vaikutus laskennassa huomioidaan ainoastaan erilaisilla lukkovoimilla?
Tarkoittanee jotain muuta..... "

Juuri päinvastoin, kuten olen koko ajan yrittänyt sanoa. Jäykässä kehässä on vain yksi kiertymävapausaste per globaali solmu. Nivelellisessä kehässä on kaksi kiertymävapausastetta per globaali solmu, jossa nivel. Voi olla enemmänkin kuin kaksi, riippuen montako palkkia niveleen liittyy, tai monessako suunnassa nivel kääntyy (jos kyseessä 3d-kehä). Globaalit jäykkyysmatriisit eivät tietenkään ole samat. Nivelellisessä kehässä on enemmän vapausasteita.

Ja sitten toisin päin, nivel ei vaikuta mitenkään "lukkovoimiin". Tarkoittanet lukkovoimilla juuri niitä mistä minä puhuin ekvivalenttisina solmuvoimina? Ne eivät riipu tuennasta. Ne kuvaavat vain mitkä on palkin pituussuunnassa jatkuvien voimajakaumien kanssa ekvivalenttiset voimat palkin päissä, jotka aiheuttavat samanlaisen taipumaviivan kuin jakautunut kuorma. Tai yleisemmin voimajakauma on vain interpoloitu elementtityypin interpolaatiofunktioiden avulla solmuille, siten että ODY:N (tai tässä DY) FEM-diskretoinnista aiheutuva virhe minimoituu. Kuitenkin kun nyt käytetään interpolaatiofunktioita, joilla voidaan kuvata myös tarkka palkkiteorian mukainen taipumaviiva, niin saadaan elementtimenetelmällä tarkat, palkkiteroian mukaiset tulokset. Siksi siis ekvivalentit solmuvoimat vastaavat jäykästi päistään tuetun palkin tukireaktioiden vastasuureita. Todellisia voimia laskettaessahan ekvivalentit solmuvoimat pitää lopuksi vähentää elementtikohtaisista solmuvoimista jolloin vasta saadaan todelliset voimat. Vasta kyseisen vähennyslaskun jälkeen tulee nivelen kohdalle todelliseksi momentiksi nolla.

perce kirjoitti:

"Tarkoittaako ylläoleva että jäykän kehän ja niveliä sisältävän kehän globaalit jäykkyysmatriisit ovat identtiset?
Ja, että nivelen vaikutus laskennassa huomioidaan ainoastaan erilaisilla lukkovoimilla?
Tarkoittanee jotain muuta..... "

Juuri päinvastoin, kuten olen koko ajan yrittänyt sanoa. Jäykässä kehässä on vain yksi kiertymävapausaste per globaali solmu. Nivelellisessä kehässä on kaksi kiertymävapausastetta per globaali solmu, jossa nivel. Voi olla enemmänkin kuin kaksi, riippuen montako palkkia niveleen liittyy, tai monessako suunnassa nivel kääntyy (jos kyseessä 3d-kehä). Globaalit jäykkyysmatriisit eivät tietenkään ole samat. Nivelellisessä kehässä on enemmän vapausasteita.

Ja sitten toisin päin, nivel ei vaikuta mitenkään "lukkovoimiin". Tarkoittanet lukkovoimilla juuri niitä mistä minä puhuin ekvivalenttisina solmuvoimina? Ne eivät riipu tuennasta. Ne kuvaavat vain mitkä on palkin pituussuunnassa jatkuvien voimajakaumien kanssa ekvivalenttiset voimat palkin päissä, jotka aiheuttavat samanlaisen taipumaviivan kuin jakautunut kuorma. Tai yleisemmin voimajakauma on vain interpoloitu elementtityypin interpolaatiofunktioiden avulla solmuille, siten että ODY:N (tai tässä DY) FEM-diskretoinnista aiheutuva virhe minimoituu. Kuitenkin kun nyt käytetään interpolaatiofunktioita, joilla voidaan kuvata myös tarkka palkkiteorian mukainen taipumaviiva, niin saadaan elementtimenetelmällä tarkat, palkkiteroian mukaiset tulokset. Siksi siis ekvivalentit solmuvoimat vastaavat jäykästi päistään tuetun palkin tukireaktioiden vastasuureita. Todellisia voimia laskettaessahan ekvivalentit solmuvoimat pitää lopuksi vähentää elementtikohtaisista solmuvoimista jolloin vasta saadaan todelliset voimat. Vasta kyseisen vähennyslaskun jälkeen tulee nivelen kohdalle todelliseksi momentiksi nolla.

Kun kiertymävapausasteita tuodaan lisää globaaleihin solmuihin, niin kasvaako globaalin jäykkyysmatriisin koko?
Tuleeko, siis lisärivi siirtymälle, tukivoimalle ja "lukkovoimalle"?

MEKANIX kirjoitti:

Kun kiertymävapausasteita tuodaan lisää globaaleihin solmuihin, niin kasvaako globaalin jäykkyysmatriisin koko?
Tuleeko, siis lisärivi siirtymälle, tukivoimalle ja "lukkovoimalle"?

GLOBAALIN jäykkyysmatriisin koko kasvaa, ja siis myös GLOBAALI voimavektorikin.

Eikä siinä varsinaisesti tuoda mitään lisää, vaan jätetään vain vähemmän pois. Eli nivelen kohdan virekkäisten elementtien kiertymävapausasteet eivät mene päällekkäin.

perce kirjoitti:

GLOBAALIN jäykkyysmatriisin koko kasvaa, ja siis myös GLOBAALI voimavektorikin.

Eikä siinä varsinaisesti tuoda mitään lisää, vaan jätetään vain vähemmän pois. Eli nivelen kohdan virekkäisten elementtien kiertymävapausasteet eivät mene päällekkäin.

Jos alunperin matriisit muodostettu niin, että kaikki vapausasteet ovat mukana (täysi matriisi) niin miksi sieltä on poistettu osia?

MEKANIX kirjoitti:

Jos alunperin matriisit muodostettu niin, että kaikki vapausasteet ovat mukana (täysi matriisi) niin miksi sieltä on poistettu osia?

Sanoin vähän huonosti. Ei siitä täydestä globaalista jäykkyysmatriisista jäykässä tapauksessa mitään pois jätetä, mutta nivel muuttaa globaalien vapausasteiden välistä kytkentää siten että nivelen kohdalla yhtyvien palkkien globaalit vapausasteet eivät mene päällekkäin, ja vapausasteita tulee yksi enemmän (ja siis jäykkyysmatriisin koko kasvaa).

perce kirjoitti:

Sanoin vähän huonosti. Ei siitä täydestä globaalista jäykkyysmatriisista jäykässä tapauksessa mitään pois jätetä, mutta nivel muuttaa globaalien vapausasteiden välistä kytkentää siten että nivelen kohdalla yhtyvien palkkien globaalit vapausasteet eivät mene päällekkäin, ja vapausasteita tulee yksi enemmän (ja siis jäykkyysmatriisin koko kasvaa).

Jos nämä elementtikohtaiset matriisit laittaa pistematriisiksi ja sijoittaa ne globaaliin pistematriisiin niin hyvältä näyttää. Otetaanko elementtikohtaisesta matriisista vain ne ruudut summattavaksi jotka ovat päällekkäin vai laitetaanko esim koko kakkosrivi ja sarake( tällöi tulee kyllä hieman hankala tapaus...)
Ekan vaihtoehdon mukaisesti toimittuna osa elementtikohtaisten matriisien sisällöstä jää siirtämättä glopaaliin matriisiin.

MEKANIX kirjoitti:

Jos nämä elementtikohtaiset matriisit laittaa pistematriisiksi ja sijoittaa ne globaaliin pistematriisiin niin hyvältä näyttää. Otetaanko elementtikohtaisesta matriisista vain ne ruudut summattavaksi jotka ovat päällekkäin vai laitetaanko esim koko kakkosrivi ja sarake( tällöi tulee kyllä hieman hankala tapaus...)
Ekan vaihtoehdon mukaisesti toimittuna osa elementtikohtaisten matriisien sisällöstä jää siirtämättä glopaaliin matriisiin.

Siis; Kun kiinnitys on jäykkä ja elementtikohtaiset matriisit on koottu globaaliin matriisiin niin kaikki elementtikohtaisten matriisien solut ovat mukana.
Kun koostin g-matriisin nivelrakenteesta, matriisin loppuosat 1 ja 2 riveiltä/sarakkeista jäi joillakin kohdin pois. Vai tuliko g-matriisi koostettua väärin?
Jos ei, niin osa näistä elementtikohtaisten matriisien soluista jää pois.... vai jos esim. kakkos solu pitää laittaa g:hen niin laitetaanko siihen koko rivi ja sarake...eli rivin/sarakkeen hännät menevät soluihin joissa ei topologian mukaan ole mitään. Mikä mättää vai kaikki?
Saako tästä kukaan mitään tolkkua????

MEKANIX kirjoitti:

Siis; Kun kiinnitys on jäykkä ja elementtikohtaiset matriisit on koottu globaaliin matriisiin niin kaikki elementtikohtaisten matriisien solut ovat mukana.
Kun koostin g-matriisin nivelrakenteesta, matriisin loppuosat 1 ja 2 riveiltä/sarakkeista jäi joillakin kohdin pois. Vai tuliko g-matriisi koostettua väärin?
Jos ei, niin osa näistä elementtikohtaisten matriisien soluista jää pois.... vai jos esim. kakkos solu pitää laittaa g:hen niin laitetaanko siihen koko rivi ja sarake...eli rivin/sarakkeen hännät menevät soluihin joissa ei topologian mukaan ole mitään. Mikä mättää vai kaikki?
Saako tästä kukaan mitään tolkkua????

Minä putosin nyt jo kyydistä. En vain käsitä mitä ajat takaa.

3 minuutissa tehty kuva kertoo enemmän kuin 1000 sanaa. Tälläinen tehtävä:
http://aycu40.webshots.com/image/42839/2006006181723235372_rs.jpg
Globaali vapausaste 2 on elementin 1 vapausaste 4 ja globaali vapausaste 3 on elementin 2 vapausaste 2

Ja seuraavaksi ratkaisu käyttäen Matlab tai Octave. (Muotoilut ovat huonot tällä foorumilla, mutta sille ei mahda mitään). Laitan tulostuksen seuraavaan viestiin. Jos et ymmärrä miten globaalit jäykkyysmatriisit on muodostettu (kongruenssimuunnoksella) niin älä takerru siihen, katso vain seuraavan viestin tulostuksesta miltä ne näyttää niin huomaat miten ne rivit ja sarakkeet vaihdetaan.

function nivelpalkki()
format short e

E = 200e3;
I = 4e6;
L1 = 2000;
L2 = 1000;
q = -1000;

disp('Elementin 1 jäykkyysmatriisi')
k1 = be2(E,I,L1)
disp('Elementin 1 ekvivalentit solmukuormat')
f1 = bl_dist(q,L1)
T1 = [0 0 0;
0 0 0;
1 0 0;
0 1 0];
disp('Elementin 1 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K1 = T1' * k1 * T1
disp('Elementin 1 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F1 = T1' * f1

disp('Elementin 2 jäykkyysmatriisi')
k2 = be2(E,I,L2)
disp('Elementin 2 ekvivalentit solmukuormat')
f2 = bl_dist(q,L2)
T2 = [1 0 0;
0 0 1;
0 0 0;
0 0 0];
disp('Elementin 2 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K2 = T2' * k2 * T2
disp('Elementin 2 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F2 = T2' * f2

disp('GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K = K1 + K2
disp('GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F = F1 + F2

disp('GLOBAALIEN vapausasteiden ratkaisu')
Q = K\F

disp('Elementin 1 vapausasteiden ratkaisu')
q1 = T1 * Q
disp('Elementin 2 vapausasteiden ratkaisu')
q2 = T2 * Q
disp('Elementin 1 todelliset solmukuormat')
r1 = k1*q1 - f1
disp('Elementin 2 todelliset solmukuormat')
r2 = k2*q2 - f2

% Jäykkyysmatriisi
function k = be2(E,I,L)
k = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 ;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2 ];

% Ekvivalenttiset solmukuormat
function f = bl_dist(q,L)
f = [ 1/2*q*L ;
1/12*q*L^2 ;
1/2*q*L ;
-1/12*q*L^2 ];

perce kirjoitti:

Minä putosin nyt jo kyydistä. En vain käsitä mitä ajat takaa.

3 minuutissa tehty kuva kertoo enemmän kuin 1000 sanaa. Tälläinen tehtävä:
http://aycu40.webshots.com/image/42839/2006006181723235372_rs.jpg
Globaali vapausaste 2 on elementin 1 vapausaste 4 ja globaali vapausaste 3 on elementin 2 vapausaste 2

Ja seuraavaksi ratkaisu käyttäen Matlab tai Octave. (Muotoilut ovat huonot tällä foorumilla, mutta sille ei mahda mitään). Laitan tulostuksen seuraavaan viestiin. Jos et ymmärrä miten globaalit jäykkyysmatriisit on muodostettu (kongruenssimuunnoksella) niin älä takerru siihen, katso vain seuraavan viestin tulostuksesta miltä ne näyttää niin huomaat miten ne rivit ja sarakkeet vaihdetaan.

function nivelpalkki()
format short e

E = 200e3;
I = 4e6;
L1 = 2000;
L2 = 1000;
q = -1000;

disp('Elementin 1 jäykkyysmatriisi')
k1 = be2(E,I,L1)
disp('Elementin 1 ekvivalentit solmukuormat')
f1 = bl_dist(q,L1)
T1 = [0 0 0;
0 0 0;
1 0 0;
0 1 0];
disp('Elementin 1 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K1 = T1' * k1 * T1
disp('Elementin 1 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F1 = T1' * f1

disp('Elementin 2 jäykkyysmatriisi')
k2 = be2(E,I,L2)
disp('Elementin 2 ekvivalentit solmukuormat')
f2 = bl_dist(q,L2)
T2 = [1 0 0;
0 0 1;
0 0 0;
0 0 0];
disp('Elementin 2 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K2 = T2' * k2 * T2
disp('Elementin 2 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F2 = T2' * f2

disp('GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K = K1 + K2
disp('GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F = F1 + F2

disp('GLOBAALIEN vapausasteiden ratkaisu')
Q = K\F

disp('Elementin 1 vapausasteiden ratkaisu')
q1 = T1 * Q
disp('Elementin 2 vapausasteiden ratkaisu')
q2 = T2 * Q
disp('Elementin 1 todelliset solmukuormat')
r1 = k1*q1 - f1
disp('Elementin 2 todelliset solmukuormat')
r2 = k2*q2 - f2

% Jäykkyysmatriisi
function k = be2(E,I,L)
k = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 ;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2 ];

% Ekvivalenttiset solmukuormat
function f = bl_dist(q,L)
f = [ 1/2*q*L ;
1/12*q*L^2 ;
1/2*q*L ;
-1/12*q*L^2 ];

(Ei tästä paljon tolkkua saa, sillä muotoilu ei toimi tällä foorumilla)
Toivottavasti meni oikoin. Lopusta näkee, että nivelen kohdalla todellinen taivutusmomentti on nolla (eli erittäin pieni). Numeerisesta virheestä johtuen se ei ole tasan nolla.

Elementin 1 jäykkyysmatriisi

k1 =

1.2000e 003 1.2000e 006 -1.2000e 003 1.2000e 006
1.2000e 006 1.6000e 009 -1.2000e 006 8.0000e 008
-1.2000e 003 -1.2000e 006 1.2000e 003 -1.2000e 006
1.2000e 006 8.0000e 008 -1.2000e 006 1.6000e 009

Elementin 1 ekvivalentit solmukuormat

f1 =

-1.0000e 006
-3.3333e 008
-1.0000e 006
3.3333e 008

Elementin 1 GLOBAALI jäykkyysmatriisi

K1 =

1.2000e 003 -1.2000e 006 0
-1.2000e 006 1.6000e 009 0
0 0 0

Elementin 1 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat

F1 =

-1.0000e 006
3.3333e 008
0

Elementin 2 jäykkyysmatriisi

k2 =

9.6000e 003 4.8000e 006 -9.6000e 003 4.8000e 006
4.8000e 006 3.2000e 009 -4.8000e 006 1.6000e 009
-9.6000e 003 -4.8000e 006 9.6000e 003 -4.8000e 006
4.8000e 006 1.6000e 009 -4.8000e 006 3.2000e 009

Elementin 2 ekvivalentit solmukuormat

f2 =

-5.0000e 005
-8.3333e 007
-5.0000e 005
8.3333e 007

Elementin 2 GLOBAALI jäykkyysmatriisi

K2 =

9.6000e 003 0 4.8000e 006
0 0 0
4.8000e 006 0 3.2000e 009

Elementin 2 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat

F2 =

-5.0000e 005
0
-8.3333e 007

GLOBAALI jäykkyysmatriisi

K =

1.0800e 004 -1.2000e 006 4.8000e 006
-1.2000e 006 1.6000e 009 0
4.8000e 006 0 3.2000e 009

GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat

F =

-1.5000e 006
3.3333e 008
-8.3333e 007

GLOBAALIEN vapausasteiden ratkaisu

Q =

-4.1667e 002
-1.0417e-001
5.9896e-001

Elementin 1 vapausasteiden ratkaisu

q1 =

0
0
-4.1667e 002
-1.0417e-001

Elementin 2 vapausasteiden ratkaisu

q2 =

-4.1667e 002
5.9896e-001
0
0

Elementin 1 todelliset solmukuormat

r1 =

1.3750e 006
7.5000e 008
6.2500e 005
-1.1921e-007

Elementin 2 todelliset solmukuormat

r2 =

-6.2500e 005
2.0862e-007
1.6250e 006
-1.1250e 009

perce kirjoitti:

Minä putosin nyt jo kyydistä. En vain käsitä mitä ajat takaa.

3 minuutissa tehty kuva kertoo enemmän kuin 1000 sanaa. Tälläinen tehtävä:
http://aycu40.webshots.com/image/42839/2006006181723235372_rs.jpg
Globaali vapausaste 2 on elementin 1 vapausaste 4 ja globaali vapausaste 3 on elementin 2 vapausaste 2

Ja seuraavaksi ratkaisu käyttäen Matlab tai Octave. (Muotoilut ovat huonot tällä foorumilla, mutta sille ei mahda mitään). Laitan tulostuksen seuraavaan viestiin. Jos et ymmärrä miten globaalit jäykkyysmatriisit on muodostettu (kongruenssimuunnoksella) niin älä takerru siihen, katso vain seuraavan viestin tulostuksesta miltä ne näyttää niin huomaat miten ne rivit ja sarakkeet vaihdetaan.

function nivelpalkki()
format short e

E = 200e3;
I = 4e6;
L1 = 2000;
L2 = 1000;
q = -1000;

disp('Elementin 1 jäykkyysmatriisi')
k1 = be2(E,I,L1)
disp('Elementin 1 ekvivalentit solmukuormat')
f1 = bl_dist(q,L1)
T1 = [0 0 0;
0 0 0;
1 0 0;
0 1 0];
disp('Elementin 1 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K1 = T1' * k1 * T1
disp('Elementin 1 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F1 = T1' * f1

disp('Elementin 2 jäykkyysmatriisi')
k2 = be2(E,I,L2)
disp('Elementin 2 ekvivalentit solmukuormat')
f2 = bl_dist(q,L2)
T2 = [1 0 0;
0 0 1;
0 0 0;
0 0 0];
disp('Elementin 2 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K2 = T2' * k2 * T2
disp('Elementin 2 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F2 = T2' * f2

disp('GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K = K1 + K2
disp('GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F = F1 + F2

disp('GLOBAALIEN vapausasteiden ratkaisu')
Q = K\F

disp('Elementin 1 vapausasteiden ratkaisu')
q1 = T1 * Q
disp('Elementin 2 vapausasteiden ratkaisu')
q2 = T2 * Q
disp('Elementin 1 todelliset solmukuormat')
r1 = k1*q1 - f1
disp('Elementin 2 todelliset solmukuormat')
r2 = k2*q2 - f2

% Jäykkyysmatriisi
function k = be2(E,I,L)
k = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 ;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2 ];

% Ekvivalenttiset solmukuormat
function f = bl_dist(q,L)
f = [ 1/2*q*L ;
1/12*q*L^2 ;
1/2*q*L ;
-1/12*q*L^2 ];

esimerkki meni vituiksi noin niinkuin todellisuuden kannalta

ajattelin varmaan 1000 N/m mutta laitoin 1000 N/mm, mikä onkin jo ihan älytön kuorma ja sen huomaa tuloksestakin.

Periaate kuitenkin käynee selväksi.

perce kirjoitti:

esimerkki meni vituiksi noin niinkuin todellisuuden kannalta

ajattelin varmaan 1000 N/m mutta laitoin 1000 N/mm, mikä onkin jo ihan älytön kuorma ja sen huomaa tuloksestakin.

Periaate kuitenkin käynee selväksi.

Eli häviääkö toi T1 matriisin neljäs pystyrivi siksi, että kiinnitys ei ole momenttijäykkä?

perce kirjoitti:

esimerkki meni vituiksi noin niinkuin todellisuuden kannalta

ajattelin varmaan 1000 N/m mutta laitoin 1000 N/mm, mikä onkin jo ihan älytön kuorma ja sen huomaa tuloksestakin.

Periaate kuitenkin käynee selväksi.

Oletko kääntänyt koordinaatiston niin, että palkit ovat päällekkäin? Eikös noi T1 ja T2 voi pitää lähes samana ja antaa glob. koord. kasvaa alaoikealle? Siis T1 ja T2:
1,00   0,00   0,00   0,00
0,00   1,00   0,00   0,00
0,00   0,00   1,00   0,00
0,00   0,00   0,00   1,00
Eka ele k44=0 ja toka ele k22=0

perce kirjoitti:

esimerkki meni vituiksi noin niinkuin todellisuuden kannalta

ajattelin varmaan 1000 N/m mutta laitoin 1000 N/mm, mikä onkin jo ihan älytön kuorma ja sen huomaa tuloksestakin.

Periaate kuitenkin käynee selväksi.

Olenko ymmärtänyt nyt oikein, että rakenteen ulkoinen nivel on esimerkissä mainittu elementin päässä oleva nivel(vaikka liittääkin kaksi elementtiä)?
Ja, että rakenteen sisäinen nivel on elementin päässä oleva nivel joka liittyy toiseen palkkielementtiin sen kiinteään osaan (siinä ei siis niveltä, siis kahden elementin risteys ei kolmen)?
Tätä sillä kysyn, että (lujuusopin elementtimenetelmä, Matti K. Hakala), mukaan rakenteen sisäisen nivelen kyseessä ollen nivelet vaativat muutoksia jo elementtitasolla. Jäykkyyskertoimet muutetaan esim. tietyllä kaavalla vastaamaan tilannetta. Ja lopuksi niveltä vastaava pysty- ja vaakarivi nollaksi. Eli päädytään keskustelun kohdassa, (NII 2.2.2008 klo 21.48), olevaan jälkimmäiseen jäykkyysmatriisiin.
Oisko jollain kommenttia?

perce kirjoitti:

Minä putosin nyt jo kyydistä. En vain käsitä mitä ajat takaa.

3 minuutissa tehty kuva kertoo enemmän kuin 1000 sanaa. Tälläinen tehtävä:
http://aycu40.webshots.com/image/42839/2006006181723235372_rs.jpg
Globaali vapausaste 2 on elementin 1 vapausaste 4 ja globaali vapausaste 3 on elementin 2 vapausaste 2

Ja seuraavaksi ratkaisu käyttäen Matlab tai Octave. (Muotoilut ovat huonot tällä foorumilla, mutta sille ei mahda mitään). Laitan tulostuksen seuraavaan viestiin. Jos et ymmärrä miten globaalit jäykkyysmatriisit on muodostettu (kongruenssimuunnoksella) niin älä takerru siihen, katso vain seuraavan viestin tulostuksesta miltä ne näyttää niin huomaat miten ne rivit ja sarakkeet vaihdetaan.

function nivelpalkki()
format short e

E = 200e3;
I = 4e6;
L1 = 2000;
L2 = 1000;
q = -1000;

disp('Elementin 1 jäykkyysmatriisi')
k1 = be2(E,I,L1)
disp('Elementin 1 ekvivalentit solmukuormat')
f1 = bl_dist(q,L1)
T1 = [0 0 0;
0 0 0;
1 0 0;
0 1 0];
disp('Elementin 1 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K1 = T1' * k1 * T1
disp('Elementin 1 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F1 = T1' * f1

disp('Elementin 2 jäykkyysmatriisi')
k2 = be2(E,I,L2)
disp('Elementin 2 ekvivalentit solmukuormat')
f2 = bl_dist(q,L2)
T2 = [1 0 0;
0 0 1;
0 0 0;
0 0 0];
disp('Elementin 2 GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K2 = T2' * k2 * T2
disp('Elementin 2 GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F2 = T2' * f2

disp('GLOBAALI jäykkyysmatriisi')
K = K1 + K2
disp('GLOBAALIT ekvivalentit solmukuormat')
F = F1 + F2

disp('GLOBAALIEN vapausasteiden ratkaisu')
Q = K\F

disp('Elementin 1 vapausasteiden ratkaisu')
q1 = T1 * Q
disp('Elementin 2 vapausasteiden ratkaisu')
q2 = T2 * Q
disp('Elementin 1 todelliset solmukuormat')
r1 = k1*q1 - f1
disp('Elementin 2 todelliset solmukuormat')
r2 = k2*q2 - f2

% Jäykkyysmatriisi
function k = be2(E,I,L)
k = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L ;
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2 ;
-12 -6*L 12 -6*L ;
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2 ];

% Ekvivalenttiset solmukuormat
function f = bl_dist(q,L)
f = [ 1/2*q*L ;
1/12*q*L^2 ;
1/2*q*L ;
-1/12*q*L^2 ];

Näinhän se homma etenee, kun ottaa silmän käteen ja katsoo....
Kiitokset perce!