Iterointi

En tiedä, mita tarkoitat iteroidulla muodolla. Yleensähän matikassa iterointi tarkoittaa toistamista ja muoto tarkoittaa homogeenistä polynomia. Wolfram Alphan mukaan yhtälön x^3 - 5x^2 - 3x - 1 = 0 reaalijuuren likiarvo on noin 5,571 kun taas tulo (-0.753) (0.241) (5.511) on -1,000097703.

Periaatteessa iteraatio tarkoittaa sitä, että yhtälö kirjoitetaan muotoon

x = g(x). Sitten x:lle annetaa jokin alkuarvaus x = x0. Sen jälkeen

x1 = g(x0),
x2 = g(x1) jne.

Jos x-arvot lähenevät toisiaan, niin lopetetaan x-arvoon, joka poikkeaa edellisestä riittävän vähän.

Menetelmässä on se haitta, että se suppenee mikäli suppenee, joten sitä ei voi yksinkertaisuudestaan huolimattaa suositella.

Annetussa tehtävässä eräs iteraatioon sopiva muoto olisi

x = (x^3 - 5x^2 - 1) / 3, jonka toimimista en ole kokeillut.

Jos on käytännössä ratkaistava mainitunkaltainen yhtälö, niin ensin tehdään fuktion arvoista taulukko. Siitä haetaan välit, joissa toinen funktion arvo on positiivinen ja toinen negatiivinen. Tällä välillä on ainakin yksi juuri.

Sitten juuri lasketaan tarkemmin Newtonin menetelmällä.

Voidaan käyttää myös puolitushakua, jolloin katsotaan kummalla välin puoliskolla juuri sijaitsee. Kun väli saadaan riittävän pieneksi, lopetetaan. Tässä menelmässä on se etu, että ei tarvitse määrätä funktion derivaattaa.

KIITOS!

Lässytetään tähän vähän lisää sen verran, että käsitin eilen, että tuohon yhtälöön ei muokkaamalla löydy sellaista muotoa, josta tuon 5,511 saisi nollakohdaksi iteroitua, ja kokeilin sitten heti hetken mielijohteesta tuota tangentti sijoitusta.
Nyt kun katselee paremmin, niin kyllä sen saa iteroitua muodosta:
x^3=5x^2 3x-1 helpommin, eikä tarvitse tangenttien kanssa pelleillä.
Olisiko tässä niin, että on iteroitu väärää yhtälöä, eli x^3-5x^2-3x-1=0 ?
Sen juureksi ei kyllä sitä 5,511:stä tulekaan.
Se yhtälö, jonka juuri 5,511 on, ei ole siis x^3-5x^2-3x-1=0, vaan
x^3-5x^2-3x 1=0