En saa yhtään kiinni ajatuksesta differentiaaliyhtälöt.
Ensinnäkin, mitä tarkoittaa alkuarvotehtävä?
"Ratkaise alkuarvotehtävä y'=y yx, y(0)=1." Mitä ihmettä tässä pitää tehdä? Mitä tuo alkuehto oikeastaan sanoo?
Differentiaaliyhtälö
t44v3tt1
6
1309
Vastaukset
- kiireessä
on täynnä tavaraa diff. yhtälöistä ja tuossakin on yksi sivu
http://users.jyu.fi/~peanju/dyluennot.pdf
Kyse on separoituvasta differentiaaliyhtälöstä , jossa on annettu alkuarvo integraalivakion C ratkaisemiseksi
Fysiikassahan nämä alkuarvot ovat usein alkunopeuksia tai yms..
Tuo ratkaistaan siis erottamalla muuttujat, eli merkitään ensin y pilkkua dy/dx:llä, joten
yhtälö on dy/dx=y(1 x), ja sitten separoimalla: dy/y=(1 x)dx, ja sitten integroimalla puolittain:
ln(y)=x (x^2/2) lnC, eli y =e^(x (x^2/2) lnC), joten y=(e^x)*(e^x^2/2)*(e^lnC)= Ce^(x (x^2/2))
ja nyt käytetään sitä alkuarvoa y(0)=1, eli 1=Ce^0, joten C=1 ja ratkaisu: y(x)=e^(x (x^2/2))
(Tässä tuo integroimisvakio on annettava nimenomaan muodossa lnC, eikä C)- kiireessä
tämä nyt, kun se vaivaa, ja nuo itseisarvomerkit löytyivät
Yhtälöllähän on eräs ratkaisu y=0
dy/y=(x 1)dx, ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y,C≠0
ln│y│=½ x^2 x ln│C│, josta │y│=e^(½ x^2 x ln│C│) joten
│y│=│C│e^(½ x^2 x) , ja nyt vasta y=Ce^(½ x^2 x), koska C on tietenkin myös ±C
Voi tämän tehdä toisinkin:
dy/y=(x 1)dx ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y≠0
ln│y│=½ x^2 x C1, josta │y│=e^(½ x^2 x C1) joten
│y│=e^C1*e^(½ x^2 x) , eli y=±e^C1*e^(½ x^2 x)
Nyt voidaan vakio-osa ±e^C1 korvata normaalilla integrointivakio C:llä, joten
y=Ce^(½ x^2 x)
alkuarvoa käyttäen sitten ratkaistaan C, ja saadaan lopullinen ratkaisu - jahvettipappa
kiireessä kirjoitti:
tämä nyt, kun se vaivaa, ja nuo itseisarvomerkit löytyivät
Yhtälöllähän on eräs ratkaisu y=0
dy/y=(x 1)dx, ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y,C≠0
ln│y│=½ x^2 x ln│C│, josta │y│=e^(½ x^2 x ln│C│) joten
│y│=│C│e^(½ x^2 x) , ja nyt vasta y=Ce^(½ x^2 x), koska C on tietenkin myös ±C
Voi tämän tehdä toisinkin:
dy/y=(x 1)dx ja integroimalla molemmat puolet tulee: ja nyt y≠0
ln│y│=½ x^2 x C1, josta │y│=e^(½ x^2 x C1) joten
│y│=e^C1*e^(½ x^2 x) , eli y=±e^C1*e^(½ x^2 x)
Nyt voidaan vakio-osa ±e^C1 korvata normaalilla integrointivakio C:llä, joten
y=Ce^(½ x^2 x)
alkuarvoa käyttäen sitten ratkaistaan C, ja saadaan lopullinen ratkaisuVoi helkutti kun matikanopettajatkin osais selittää asian yhtä hyvin! :) (tää kommentti on ihan ilman sarvia ja hampaita)
- kiireessä
jahvettipappa kirjoitti:
Voi helkutti kun matikanopettajatkin osais selittää asian yhtä hyvin! :) (tää kommentti on ihan ilman sarvia ja hampaita)
Kiitos kehuista. Yleensä täällä kun jonkun asian selittää omastakin mielestä hyvin, niin koko ketju loppuu siihen kuin seinään.
Onhan sekin tietysti merkki siitä, että oli ymmärrettävä selitys.
Joku toinen vanha diff.yhtälö selitykseni sai kanssa tänä vuonna lisäkommentin, se olisi täyttänyt seuraavana päivänä viisi vuotta, tämä sai vanheta nelisen vuotta.
- Alkoarvot
Esimerkki alkuarvotehtävästä. Työnnät kuulaa. Kuulan lentorata riippuu kuulan nopeudesta, kun se lähtee kädestä, lähtökulmasta sekä lähtökorkeudesta. Kuulan lentorataa voidaan mallintaa differentiaaliyhtälöllä. Kuulantyöntäjä pyrkii määräämään alkuarvot (fyysisten rajoitteidensa puitteissa) siten, että kuula lentää mahdollisimman pitkälle. Tietenkään ei tavallinen kuulantyöntäjä määrää alkuarvoja todellisuudessa, vaan löytää ahkeralla harjoittelulla likimäärin sopivimmat. Liikuntatieteilijät voivat ehkä auttaa häntä optimiarvojen löytämisessä.
- Mane
Alkuarvo sisältää a priori tiedon - sinne se tökätään alkuun arvoina, alkuarvoina!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa
Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k71262Mielessäni vieläkin T
Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän191255- 51176
Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?
Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.21174Sinäkö se olit...
Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis11153Persut petti kannattajansa, totaalisesti !
Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,11151Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p421137Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat
Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin21134Hyvää yötä ja kauniita unia!
Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä31119Lepakot ja lepakkopönttö
Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta21110