ääriarvokohdat

Derivoi. Osamäärän derivoimissääntö.

f(x) = (4 - 2x) / (x² - 3)
f'(x) = ( -2*(x² - 3) - (4 - 2x)*2x ) / (x² - 3)² = (2x² - 8x 6) / (x² - 3)²
Derivaatan nollakohdat:
2x² - 8x 6 = 0 <=> 2(x - 1)(x - 3) = 0 <=> x = 1 tai x = 3
Kulkukaavion perusteella x = 1 on maksimikohta ja x = 3 on minimikohta.
Maksimiarvo on f(1) = -1 ja minimiarvo on f(3) = - 1/3

Tuossa oli vain paikalliset maksimit ja minimit. Pitää vielä osoittaa että x=sqrt3 antaa suurimmat ja pienimmät arvot eri puolilta lähestyttäessä. Ja että funktio -> 0 kun x menee äärettömyyksiin.

Eihän tuo funktio ole edes määritelty kun x = sqrt(3) tai x = - sqrt(3) vaan kasvaa rajatta kun x -> sqrt(3) tai x -> - sqrt(3).

Näin ilman derivaattaa:

Y=f(x)
yx^2-3y=4-2x
yx^2-3y 2x-4=0

a=y
b=2
c=-3y-4

Tutkitaan, mitä arvoja y voi saada eli millä funktion arvoilla y yllä olevalla yhtälöllä on ratkaisu.

Yhtälöllä on ratkaisu, kun D>=0 eli kun 4-4y(-3y-4)>=0 eli
12y^2 16y 4>=0
eli
3y^2 4y 1>=0

Oikea puoli on nolla, kun y=-1 tai y=-1/3. Koska kyseessä on ylöspäin aukeava paraabeli, on epäyhtälön ratkaisu ja samalla arvojoukko -1<=y<=-1/3.

Siis pienin arvo on -1 ja suurin arvo -1/3.
Nyt pitäisi tosin vielä jaksaa selvittää ääriarvokohdat eli milloin f(x)=-1 ja milloin f(x)=-1/3.