Avaruusmatka: nopeus, aika, massa, pituus

Einsteinin suppean suhteellisuusteorian mukaan nopeuden v kasvaessa kappaleen massa kasvaa seuraavalla kaavalla:

m = m0 / SQRT (1 - v^2/c^2)

m = kappaleen massa
m0 = kappaleen lepomassa
SQRT = neliöjuuri
v = nopeus
c = valon nopeus

Kun tuohon kaavaan sijoittaa nopeudeksi v puolet valon nopeudesta ja lepomassaksi m0 100 kg, saadaan nopeudella v liikkuvan kappaleen massaksi m 116 kg.

Edelleen teorian mukaan kappaleet kutistuvat liikkeensä suunnassa nopeuden v kasvaessa seuraavalla kaavalla:

L = L0 * SQRT (1 - v^2/c^2)

L = kappaleen pituus
L0 = kappaleen lepopituus
SQRT = neliöjuuri
v = nopeus
c = valon nopeus

Kun tuohon kaavaan sijoittaa nopeudeksi v puolet valon nopeudesta ja lepopituudeksi L0 200 cm, saadaan nopeudella v liikkuvan kappaleen pituudeksi 172 cm.

Suppean suhteellisuusteorian aikamuunnoksen kaavoista saadaan tulokseksi, että raketissa 50 vuotta nopeudella 150000 km/s matkustanut henkilö huomaa palatessaan Maahan, että Maassa on kulunut 58 vuotta.

Menikö esimerkissäni jotakin pieleen ja miksi?

Massa ja pituus menosuunnassa muuttuu ulkopuolisen havaitsijan perspektiivistä. Itse et sitä havaitse. Sinä sen sijaan havaitset matkan lyhenemisen. Sen takia voit matkustaa valovuoden päähän alle vuodessa. Ulkopuolinen taas näkee, että aikasi on hidastunut.

Siis pituuden muutos ei mitenkään ole sidottu ihmisen pituuteen. Riippuu ihan siitä, missä asennossa olisit aluksessa.

Eli jos olisin raketissa pitkälläni menosuuntaan, niin ulkopuoliselle tarkkailijalle pituuteni olisi 172 cm ja massani 116 kg. Myös rakettini pituus arvatenkin kutistuisi ulkopuoliselle tarkkailijalle samassa suhteessa kuin pituuteni.

Rupesi vielä askarruttamaan tuo matkan kesto raketissani vaikkapa Sirius-tähdelle. Maan ja Siriuksen välinen etäisyys on Maan koordinaatistosta katsoen 8 valovuotta. Liikkeellä olevasta raketistani katsoen tuo etäisyys 8 vv arvatenkin lyhenee kerrottuna muunnostekijällä

SQRT (1 - v^2/c^2)
= SQRT (3/4) = 0,86

Raketistani katsoen matka Siriukselle on muunnostekijällä kerrottuna 8*0,86 vv eli 6,88 vv. Nopeudella 0,5*c tuo matka kestää 6,88 / 0,5 eli 13,76 vuotta.

Nojatuoliastronomi kirjoitti:

Einsteinin suppean suhteellisuusteorian mukaan nopeuden v kasvaessa kappaleen massa kasvaa seuraavalla kaavalla:

m = m0 / SQRT (1 - v^2/c^2)

m = kappaleen massa
m0 = kappaleen lepomassa
SQRT = neliöjuuri
v = nopeus
c = valon nopeus

Kun tuohon kaavaan sijoittaa nopeudeksi v puolet valon nopeudesta ja lepomassaksi m0 100 kg, saadaan nopeudella v liikkuvan kappaleen massaksi m 116 kg.

Edelleen teorian mukaan kappaleet kutistuvat liikkeensä suunnassa nopeuden v kasvaessa seuraavalla kaavalla:

L = L0 * SQRT (1 - v^2/c^2)

L = kappaleen pituus
L0 = kappaleen lepopituus
SQRT = neliöjuuri
v = nopeus
c = valon nopeus

Kun tuohon kaavaan sijoittaa nopeudeksi v puolet valon nopeudesta ja lepopituudeksi L0 200 cm, saadaan nopeudella v liikkuvan kappaleen pituudeksi 172 cm.

Suppean suhteellisuusteorian aikamuunnoksen kaavoista saadaan tulokseksi, että raketissa 50 vuotta nopeudella 150000 km/s matkustanut henkilö huomaa palatessaan Maahan, että Maassa on kulunut 58 vuotta.

Menikö esimerkissäni jotakin pieleen ja miksi?

Lue lisää

Meni pieleen.
ES:n peruskaavoja on E^2 - p^2c^2 = m^2 c^4. Tämä on ES:n metriikassa energia-impulssivektorin pituuden neliö. Vektorien pituudet eivät muutu koordinaattitransformaatioissa, ainoastaan vektorien komponentit muuttuvat. Koska tuon yhtälön vasen puoli on siis vakio ja koska c on vakio niin on myös massa m vakio.Massa ei muutu mihinkään.

Tuo kirjoittamasi kaava jossa käytetään tuota "lepomassaa" m0 ja "liikemassaa" m on valitettava ES:aan putkahtanut merkintätapa. Tuolla "liikemassalla" ei ole mitään selkeää fysikaalista sisältöä, se on vain nimi lausekkeelle m/sqrt(1 - v^2/c^2) ja sitten siihen vielä on m:n paikalle laitettu "lepomassa" m0 ja "liikemassaa" siis merkitään symbolilla "m".

Tämä asia on näillä palstoilla seliytetty moneen kertaan.

Ohman

Tieteenvihaaja tosiaan on itse rakentamansa henkisen kuplan vankina.

Ajattelun vankeus tuntuu olevan niin mukavan leppoisaa, että sitä pitää mainostaa muillekin.

Mikäs siinä, eipähän tarvitse ajatella itse.

Kyllä asia on niinkuin sanoin. Monasti esitetään tuota massan kasvua ja merkitään m = m0/sqrt(1-v^2/c^2) jolloin suuretta m kutsutaan relativistiseksi massaksi tai liikemassaksi ja m0 on sitten lepomassa.Tuo liikemassa, siis tuon lausekkeen arvo, tietenkin on nopeuden funktio.

Mutta m on vain tuon lausekkeen nimi. ES:ssa on kuten Newtonin mekaniikassakin vain yksi massa, se kunnon newtonilainen.

Kerroinhan jo, että tuo massa m esiintyy sellaisen yhtälön oikealla puolella jonka yhtälön vasen puoli on vakio. Ja koska c on vakio on myös m vakio. Vektorien pituudet ovat samat koordinaatistosta riippumatta vaikka niiden vektorien komponenttien arvot muuttuvat.

ds^2 = c^2 dt^t - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 (dt')^2 -(dx')^2 - (dy')^2 - (dz')^2 eli ds on sama pilkuttomissa ja pilkullisissa koordinaateissa.

Einstein itse kirjoitti kirjeessään Lincoln Barnettille 19.6. 1948 vapaasti suomennettuna näin:

"Ei ole hyvä ottaa käyttöön liikkuvan kappaleen massan käsitettä M = m/sqrt(1 - v^2/c^2) jolle massalle ei voida antaa mitään selkeää määritelmää. On parempi olla käytttämättä mitään muuta massan käsitettä tuo "lepomassa" ( se newtonilainen, Ohm. huom.)m. Massan M käyttämisen asemesta on parempi käyttää liikkuvan kappaleen liikemäärän ja energian lausekkeita."

Uudemmissa kunnollisissa ES:n oppikirjoissa ei "lepomassaa" ja "liikemassaa" käytetä vaan puhutaan vain massasta joka siis on invariantti, koordinaatistosta riippumaton, suure.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Kyllä asia on niinkuin sanoin. Monasti esitetään tuota massan kasvua ja merkitään m = m0/sqrt(1-v^2/c^2) jolloin suuretta m kutsutaan relativistiseksi massaksi tai liikemassaksi ja m0 on sitten lepomassa.Tuo liikemassa, siis tuon lausekkeen arvo, tietenkin on nopeuden funktio.

Mutta m on vain tuon lausekkeen nimi. ES:ssa on kuten Newtonin mekaniikassakin vain yksi massa, se kunnon newtonilainen.

Kerroinhan jo, että tuo massa m esiintyy sellaisen yhtälön oikealla puolella jonka yhtälön vasen puoli on vakio. Ja koska c on vakio on myös m vakio. Vektorien pituudet ovat samat koordinaatistosta riippumatta vaikka niiden vektorien komponenttien arvot muuttuvat.

ds^2 = c^2 dt^t - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2 (dt')^2 -(dx')^2 - (dy')^2 - (dz')^2 eli ds on sama pilkuttomissa ja pilkullisissa koordinaateissa.

Einstein itse kirjoitti kirjeessään Lincoln Barnettille 19.6. 1948 vapaasti suomennettuna näin:

"Ei ole hyvä ottaa käyttöön liikkuvan kappaleen massan käsitettä M = m/sqrt(1 - v^2/c^2) jolle massalle ei voida antaa mitään selkeää määritelmää. On parempi olla käytttämättä mitään muuta massan käsitettä tuo "lepomassa" ( se newtonilainen, Ohm. huom.)m. Massan M käyttämisen asemesta on parempi käyttää liikkuvan kappaleen liikemäärän ja energian lausekkeita."

Uudemmissa kunnollisissa ES:n oppikirjoissa ei "lepomassaa" ja "liikemassaa" käytetä vaan puhutaan vain massasta joka siis on invariantti, koordinaatistosta riippumaton, suure.

Ohman

Lue lisää

Lisään vielä mahdolliseksi selvennykseksi tämän: Monasti sanotaan virheellisesti, että massakappaletta on sitä vaikeampi kiihdyttää suurempaan nopeuteen mitä nopeammin se jo liikkuu ja että tämä johtuu siitä, että massa kasvaa ja massakappale ei voi saavuttaa valon nopeutta koska massa kasvaisi tällöin äärettömäksi. Tämän on siis väärin. Massa on koko ajan tuo newtonilainen massa m, mutta ES:ssa ei päde kaava F = m a vaan toisenlainen kaava, jossa voiman F vaikutus on sitä vähäisempi mitä nopeammin kappale jo liikkuu. En sen syvemmälti käy nyt ES:n dynamiikkaa tässä selvittämään, tulisi mammuttijuttu.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Lisään vielä mahdolliseksi selvennykseksi tämän: Monasti sanotaan virheellisesti, että massakappaletta on sitä vaikeampi kiihdyttää suurempaan nopeuteen mitä nopeammin se jo liikkuu ja että tämä johtuu siitä, että massa kasvaa ja massakappale ei voi saavuttaa valon nopeutta koska massa kasvaisi tällöin äärettömäksi. Tämän on siis väärin. Massa on koko ajan tuo newtonilainen massa m, mutta ES:ssa ei päde kaava F = m a vaan toisenlainen kaava, jossa voiman F vaikutus on sitä vähäisempi mitä nopeammin kappale jo liikkuu. En sen syvemmälti käy nyt ES:n dynamiikkaa tässä selvittämään, tulisi mammuttijuttu.

Ohman

Lue lisää

Kiitos asiantuntevista kommenteistasi.

Minuakin on kiinnostanut sama asia kuin nimimerkkiä "rennosti.m". Hän kysyi jossain valon punasiirtymästä. Pitkäaaltoisemman valon kvantin energia on pienempi kuin lyhytaaltoisen. Energian "peruspakettina" pidetään kuitenkin yksittäisiä fotoneja. Miten tai oikeastaan millä mekanismilla niiden energia muuttuu valon punasiirtymässä?

agnoskepo kirjoitti:

Kiitos asiantuntevista kommenteistasi.

Minuakin on kiinnostanut sama asia kuin nimimerkkiä "rennosti.m". Hän kysyi jossain valon punasiirtymästä. Pitkäaaltoisemman valon kvantin energia on pienempi kuin lyhytaaltoisen. Energian "peruspakettina" pidetään kuitenkin yksittäisiä fotoneja. Miten tai oikeastaan millä mekanismilla niiden energia muuttuu valon punasiirtymässä?

Lue lisää

YS on klassillinen teoria, ei-kvanttiteoria. Kosmologinen punasiirtymä selitetään siellä yleensä valon aaltoteorian avulla ja tulos on se, että jos emissiohetkellä avaruuden laajenemistekijällä (skaalaustekijä, scale factor) oli arvo a(te) ja havaisemishetkellä (absorptiohetkellä) tekijän arvo on a(t0) niin

(1) 1 z = a(t0) / a(te) missä aallonpituus siis kasvaa kertoimella 1 z

ja jos otetaan a(to) = 1 (t0 nykyhetki) niin 1 z = 1/a(te).

Jos siis havaitaan galaksia jonka punasiirtymä z = 2 se nähdään sellaisena kuin se oli kun a(te) = 1/3.

Tämän tuloksen johto löytyy kosmologian oppikirjoista, en lähde sitä tähän kopioimaan.

Frekvenssien avulla lausuttuna (1) saa muodon

(2) n(t0) / n(te) = a(te) / a(t0).

Valon kvanttiteorian mukaan fotonin, jonka frekvenssi on n, liikemäärä on h n /c missä h on Planckin vakio. Tämä liikemäärä muuttuu kuten 1/a(t) ja tuo frekvenssin muutos (2) voidaan ymmärtää tämän avulla. Tuo liikemäärän muutoksen selitys löytyy esim. teoksesta Steven Weinberg: Cosmology(Oxford University Press, 2008, kohta 1.1: Spacetime Geometry).

Ohman

Ohman kirjoitti:

YS on klassillinen teoria, ei-kvanttiteoria. Kosmologinen punasiirtymä selitetään siellä yleensä valon aaltoteorian avulla ja tulos on se, että jos emissiohetkellä avaruuden laajenemistekijällä (skaalaustekijä, scale factor) oli arvo a(te) ja havaisemishetkellä (absorptiohetkellä) tekijän arvo on a(t0) niin

(1) 1 z = a(t0) / a(te) missä aallonpituus siis kasvaa kertoimella 1 z

ja jos otetaan a(to) = 1 (t0 nykyhetki) niin 1 z = 1/a(te).

Jos siis havaitaan galaksia jonka punasiirtymä z = 2 se nähdään sellaisena kuin se oli kun a(te) = 1/3.

Tämän tuloksen johto löytyy kosmologian oppikirjoista, en lähde sitä tähän kopioimaan.

Frekvenssien avulla lausuttuna (1) saa muodon

(2) n(t0) / n(te) = a(te) / a(t0).

Valon kvanttiteorian mukaan fotonin, jonka frekvenssi on n, liikemäärä on h n /c missä h on Planckin vakio. Tämä liikemäärä muuttuu kuten 1/a(t) ja tuo frekvenssin muutos (2) voidaan ymmärtää tämän avulla. Tuo liikemäärän muutoksen selitys löytyy esim. teoksesta Steven Weinberg: Cosmology(Oxford University Press, 2008, kohta 1.1: Spacetime Geometry).

Ohman

Lue lisää

Ktos. Taas.
Luin kerran, enkä ihan ymmärtänyt. Toisella kerralla palasin jo käyttämiisi merkintöihin takaisin niin, että ymmärsin ne. Ja aprikoos. Heti kolmannella kerralla sain kiinni kokonaisuudesta ja uskoin ymmärtäväni, mitä tarkoitit. Kun nyt vielä kykenisi sisäistämään ajatuksen. Tässä iässä sekään ei ole ihan niin helppoa kuin puolet nuorempana.

Aivan meni siihen suuntaan, mitä itse olin asiasta omilla perustiedoillani ajatellut, mutta kyllä tuo nyt ainakin poisti epävarmuutta; ymmärsin sitä sitten tarkasti tai en.

Olisiko kyse siitä, että populaareissa kirjoissa asioita yksinkertaistetaan jopa niin, että osa faktoista hämärtyy. Ohman taitaa olla ammattilainen, jolle täsmällinen ilmaisu on tärkeä.
Monet populaarit kosmologiaa käsittelevät kirjat vetävät suunnileen yhtäläisyysmerkit yleisen punasiirtymän ja Dopplersiirtymän välille. Muistan Syksy Räsäsen blogissa keskustelupalstalla olleen vastauksen, jossa Syksy erotti ne (etten sanoisi kiivaasti) toisistaan.
Syystä jota tunne en.

Siitä juuri on kysymys. Kaukaisen galaksin punasiirtymässä on oikeastaan kolme komponenttia:
1. Doppler-siirtymä.
2. Gravitaatiopunasiirtymä
3. Kosmologinen punasiirtymä.

Näistä on kaukaisilla galakseilla kosmologinen punasiirtymä selvästi merkittävin.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Siitä juuri on kysymys. Kaukaisen galaksin punasiirtymässä on oikeastaan kolme komponenttia:
1. Doppler-siirtymä.
2. Gravitaatiopunasiirtymä
3. Kosmologinen punasiirtymä.

Näistä on kaukaisilla galakseilla kosmologinen punasiirtymä selvästi merkittävin.

Ohman

Lue lisää

Ymmärrän, että kosmologinen punasiirtymä johtuu etäisyyden venymisestä emittoivan ja havainnoivan paikan välillä.
Sitä en ymmärrä, mikä on oleellinen avaruuden venymisen aiheuttama ero siihen, että välimatkan kasvu johtuisikin reaalisesta liikkeestä emittoivan ja havainnovan kohteen välillä? Jos Vr:n tilalle laittaisi Dopllersiirtymän kaavaan avaruuden laajenemisesta johtuvan etääntymisnopeus, niin olisko taajuussiirtymä jotenkin erilainen?

agnoskepo kirjoitti:

Ymmärrän, että kosmologinen punasiirtymä johtuu etäisyyden venymisestä emittoivan ja havainnoivan paikan välillä.
Sitä en ymmärrä, mikä on oleellinen avaruuden venymisen aiheuttama ero siihen, että välimatkan kasvu johtuisikin reaalisesta liikkeestä emittoivan ja havainnovan kohteen välillä? Jos Vr:n tilalle laittaisi Dopllersiirtymän kaavaan avaruuden laajenemisesta johtuvan etääntymisnopeus, niin olisko taajuussiirtymä jotenkin erilainen?

Lue lisää

Yksinkertaistan.
Onko erotettavissa se punasiirtymä, joka johtuu suhteellisesta liikenopeudesta johtuvasta etäisyyden kasvusta siitä, että avaruus laajenee.

Yksinkertaistus oli satunnaista lukijaa varten.

Ajatellaan lähellä olevaa galaksia. Sen kosmologinen, avaruuden laajenemisesta johtuva, punasiirtymä voi olla vielä pieni. Mutta jos sillä on suuri liikenopeus meistä poispäin, se siis liikkuu avaruudessa, niin sillä on Doppler-punasiirtymä.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Ajatellaan lähellä olevaa galaksia. Sen kosmologinen, avaruuden laajenemisesta johtuva, punasiirtymä voi olla vielä pieni. Mutta jos sillä on suuri liikenopeus meistä poispäin, se siis liikkuu avaruudessa, niin sillä on Doppler-punasiirtymä.

Ohman

Lue lisää

Lisään vielä selvennykseksi, että jotkut lähigalaksit liikkuvat meihin päin ja niillä on tästäjohtuen Doppler-sinisiirtymä.

Taidan nyt lopettaa tämän asian kommentoinnin, pian ovat palstan rakkikoirat kimpussani syyttäen minua itsetehostuksesta ja ties mistä pönäkkyydestä.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Ajatellaan lähellä olevaa galaksia. Sen kosmologinen, avaruuden laajenemisesta johtuva, punasiirtymä voi olla vielä pieni. Mutta jos sillä on suuri liikenopeus meistä poispäin, se siis liikkuu avaruudessa, niin sillä on Doppler-punasiirtymä.

Ohman

Lue lisää

Kaksi syntymekanismia, jotka molemmat perustuvat etäisyyden kasvamiseen ajan funktiona ja punasiirtymän kannalta sama lopputulos. Silti punasiirtymän mekanismin nimitys pitää erottaa toisitaan. Hiustenhalkomista vai ei?
Sitä Agno kai mielestäni tarkoitti.
Komppaan kiitoksissa Agnoa. On todella hyvä, että viitsit antaa asiallisia ja asiantuntevia vastuksia tällä pelleilyksi menneellä palstalla. Sinun ja parin- kolmen muun jutut ovat ainoa syy käydä palstalla.

No kun kerrankin oikein kiiteltiin niin uskallan vielä yhden kommentin heittää.

Emissiohetkellä te valon lähettävä galaksi on tietyllä etäisyydellä d ja sillä on tietty laajenemisesta johtuva nopeus v(te) . Kun valo lopulta saapuu maapallolle havaitsijan silmään hetkellä ta on galaksi etäisyydellä a(ta) / a(te) * d.

Jos laajenemista ei olisi, saapuisi valo maahan sellaisena että sen punasiirtymä vastaisi doppler-efektiä nopeudella v(te). Mutta näin ei ole, vaan punasiirtymä on tuo 1 z = a(t0) / ate), se kosmologinen, laajenemisesta johtuva,punasiirtymä.

Todettakoon myös että lähietäisyyksillä toimiva Hubblen kaava v = H d ei kosmisilla etäisyyksillä enää päde vaan on laskettava käytetyn kosmologisen mallin mukaan tuossa laajenevan avaruuden geometriassa.

Nämä ovat vähän hankalia asioita lyhyesti tyhjentävästi selitettäviksi, ilman koko matemaattista" aparaattia".Populaariselityksissä tulee helposti ajatusnyrjähdyksiä ja epätarkkuuksia Parasta nämä olisi selvittää itselleen jostain kunnollisesta kosmologian oppikirjasta. Kuten jo aiemmin sanoin, kosmologiaankaan ei ole "kuninkaan tietä" kuten eräs antiikin ajan kreikkalainen oppinut sanoi opetettavana olevalle hallitsijalle (vai oliko se hallitsijan poika) geometriasta

Tämä tästä.
Ohman

Arvoisa litteän maailman ihailija PilleritOnOtettu: ehdotan, että otat selvää onko maailma litteä. Se on helppoa, aloita vaikka tästä Maa-planeetasta:

(1) menet järvelle mukanasi 1 km naru ja kompassi
(2) lähdet laiturin nokasta ja soudat järvelle mihin suuntaan tahansa narun mitan
(3) käännyt 90 astetta vasemmalle
(4) soudat narun mitan
(5) käännyt taas 90 astetta vasemmalle
(6) soudat narun mitan
(7) käännyt taas 90 astetta vasemmalle
(8) soudat narun mitan

Jos saavuit täsmälleen lähtöpisteeseesi, olet osoittanut Maa-planeetan litteäksi. Jos näin kävi, Sinun kannattaa ottaa yhteyttä Ruotsin kuninkaalliseen tiedeakatemiaan (linkki alla). Seuraava Nobel-palkinto on Sinun.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Royal_Swedish_Academy_of_Sciences