Derivaatta eksponenttifunktiolle

Pääsykokesii

Sain laskimella D(x^x) = (1 lnx)e^(xlnx), miten ihmeessä tämä tulee?

8

129

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Derivoija
    • NoinhanSeOn

      Tuo Derivoijan ratkaisu perustuu implisiittiseen derivointiin, jota ei kai välttämättä opeteta lukion kurssissa. Tehtävän voi ratkaista myös suoralla derivoinnilla perustuen identiteettiin:
      a = e^(lna)
      Siten saadaan:
      y = x^x = e^(ln(x^x) = e^(x*lnx)
      Tuon kun derivoi yhdistettynä funktiona, saadaan laskimen anta, joka voidaan sieventää myös muotoon:
      y' = (1 lnx)*x^x

    • suoraan.päin

      y = x^x
      ln (y) = x ln(x)
      derivoidaan molemmat puolet x suhteen
      (1/y) dy/dx = ln(x) x (1/x) = ln(x) 1
      dy/dx = y(ln(x) 1) = x^x (ln(x) 1)

    • Setä.neuvoo.taas

      Mielestäni keskustelun avauksen viestin yhtälö muistuttaa jotain derivoinnin tai integroinnin kaavoja. Logaritmi on nimenomaan hyperbelin integraali. Matematiikan historian alalla kerrotaan tarinaa, että Napier laittoi puutarhurinsa viljelemään erimuotoisia kukkapenkkejä. Puutarhuri sitten joutui laskemaan suorakulmaisen alan pintaa, kolmion pintaa, ja lopulta hyperbelin rajoittamaa pinta-alaa. Saadakseen hankittua sopivan määrän siemeniä kullekin alalle. En nyt muista, menikö tarina täsmälleen tällä tavalla. Mutta jostain matematiikkaa popularisoivissa kirjoissa tätä kertomusta voi löytyä.

      Joskus muinoin kun leikin ohjelmoitavilla laskimilla, testasin laskimen tarkkuutta. Laitoin laskimen selvittämään, mitä tulee hyperbelin integraalin arvoksi kohdasta x=1 eteenpäin. Siis pinta-ala alueella, joka jäi hyperbelin ja x-akselin väliin. Sitten vertasin siihen, mitä laskin antoi vastaavasti logaritmin arvoksi. Arvaatteko, oliko logaritmin arvo tarkempi?

      • Setä.täsmentää

        Kyseisen hyperbelin kaava oli y=1/x. Luonnollinen logaritmi on kyseisen hyperbelin integraali kohdasta x=1 eteenpäin oikealle, eli logaritmin arvo on samaa kuin pinta-ala hyperbelin ja x-akselin välillä.

    • Tarina.Napierin.puutarha

      Sedän tarkoittama kirja lienee tällainen kirjastoluokitusten mukaan:

      Kauneimmat matemaattiset kaavat

      Tekijä: Salem, Lionel
      Lisätekijä: Testard, Frédéric
      Lisätekijä: Salem, Coralie
      Lisätekijä: Pietiläinen, Kimmo
      Julkaisuvuosi: 1993
      Kieli: suomi
      Aineistolaji: Kirja
      Luokka: 51
      Kategoria: Tietokirjallisuus
      Kustantaja: [Helsinki] : Art House, 1993 (Jyväskylä : Gummerus)
      ISBN: 951-884-111-X nidottu
      Lisäpainokset: 2. p. 1998. - 3. p. 2000. - 4. p. 2010

      Yhtenäistetty nimeke: Les plus belles formules mathématiques
      Lisätietoja: 160 sivua : kuvitettu ; 21 cm ; nide ; teksti : käytettävissä ilman laitetta

      • Trobontski
      • Ohman
        Trobontski kirjoitti:

        Löytyi englanninkielisenä versiona tuo kirja Internetistä. Tarina Napierin puutarhurista sivun 26 tienoilla PDF-versiossa.

        https://archive.org/details/TheMostBeautifulMathematicalFormulas

        Tuo "The Most beautiful..." löytyy Amazon.co.uk-sivustolta. Siellä on kuvaus kirjasta ja Look inside-toiminnolla voi nähdä sisällysluettelon ja vähän enemmänkin.

        Ohman

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Mielessäni vieläkin T

      Harmi että siinä kävi niinkuin kävi, rakastin sinua. Toivotan sulle kaikkea hyvää. Toivottavasti löydät sopivan ja hyvän
      Ikävä
      22
      1321

    2. Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa

      Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k
      Isovanhempien jutut
      7
      1272

    3. Ei luottoa lakko maahan

      Patria menetti sovitun ksupan.
      Suomen Keskusta
      5
      1196

    4. Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?

      Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.
      Ikävä
      2
      1184

    5. Sinäkö se olit...

      Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis
      Ikävä
      1
      1173

    6. Persut petti kannattajansa, totaalisesti !

      Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,
      Maailman menoa
      1
      1171

    7. Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita

      Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p
      Jyväskylä
      42
      1157

    8. Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat

      Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin
      Vaipat
      2
      1154

    9. Hyvää yötä ja kauniita unia!

      Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä
      Tunteet
      3
      1139

    10. Lepakot ja lepakkopönttö

      Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta
      Hämähäkit, kotilot ja hyönteiset
      2
      1120
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt