Janan pituus on 1. Jana peitetään ympyrällä ja neliöllä. Mikä on ympyrän ja neliön pienin mahdollinen yhteenlaskettu pinta-ala.
Miten tämä pitäisi käsittää? Peitetäänko koko jana SEKÄ ympyrällä, jonka halkaisija on 1, ja neliöllä, jonka sivun pituus on 1. Vai siten että osan janasta peittää ympyrä ja osan neliö?
Janan peittäminen ympyrällä ja neliöllä. Derivoint
derivoija
16
252
Vastaukset
- gurgle
Tuossa riittää, että neliön lävistäjän pituus on 1.
Vähän hölmösti asetettu tehtävä, Veikkaan, että osan janasta voi peittää ympyrällä ja osan neliöllä. - laskee
Tässä ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjän yhteenlaskettu pituus tulee olla janan pituus (todista!). Lausu alojen summa halkaisijan x ja lävistäjän 1-x pituuksien funktiona, saat toisen asteen yhtälön, jonka minimi on haettu ratkaisu.
- Ohman
Tuo pituuksien summa on tehtävän alkuoletus eikä siis todistusta vaativa asia.
Toisen asteen yhtälöllä ei ole minimiä vaan ratkaisut (juuret).
Sen sijaan polynomifunktiolla voi olla ääriarvoja.
Ohman - laskee
Kiitos korjauksesta, sattui termiologialipsahdus. Piti siis kirjoittamani " saat toisen asteen polynomin, ... ". Periaatteessa koetan olla tarkka, kun matematiikka vaatii sitä, mutta kuten ilmeistä, aina pitäisi olla kaksi tarkastajaa, ennen kuin julkaisee mitään.
- NoinOn
Ei se ole alkuoletus vaan asia on pääteltävä. Esim niin että aluksi oletetaan, että ympärä peittää vähintään x pituisen osan janasta alkupisteestä laskien, ja neliö vähintään osan 1-x. On aika helppoa todeta, että ympyrän ala minimoituu, kun sen halkaisijan pituus on x, ja vastaavasti neliön alan minimoituvan, kun sen lävistäjän pituus on 1-x.
- laskee
Laskee > "Tässä ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjän yhteenlaskettu pituus tulee olla janan pituus (todista!)."
Ohman > "Tuo pituuksien summa on tehtävän alkuoletus eikä siis todistusta vaativa asia."
Oleellista olikin halkaisija ja lävistäjä - ei niistä mainittu tehtävässä mitään. Eli lisätehtävä:
Osoita, että janan peittävä neliö on alaltaan pienin silloin, kun jana on neliön lävistäjä. Ja sama ympyrän halkaisijan suhteen.
Toki tuo on selviö, mutta selviötkin on oltava todistettavissa. - Ohman
laskee kirjoitti:
Laskee > "Tässä ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjän yhteenlaskettu pituus tulee olla janan pituus (todista!)."
Ohman > "Tuo pituuksien summa on tehtävän alkuoletus eikä siis todistusta vaativa asia."
Oleellista olikin halkaisija ja lävistäjä - ei niistä mainittu tehtävässä mitään. Eli lisätehtävä:
Osoita, että janan peittävä neliö on alaltaan pienin silloin, kun jana on neliön lävistäjä. Ja sama ympyrän halkaisijan suhteen.
Toki tuo on selviö, mutta selviötkin on oltava todistettavissa.Oletpa oikeassa ettö oikeastaan tuo asia pitäisi todistaa.
Ajatellaan että ympyrä ja neliö sijaitsevat kuten olen laskenut eli ympyrän halkaisija ja neliön lävistäjä ovat pitkin tuota ykkösjanaa. Ne leikkaavat janan pisteessä P jonka etäisyys janan ympyrän puoleisesta päästä on 2 x, missä x on ympyrän säde. Etäisyys neliön puoleisesta päästä on siis 1 - 2x ja tämä on neliön lävistäjän pituus.
Jos ympyrä nyt muutetaan toiseen asentoon niin ympyrää on kasvatettava jotta se leikkaisi janan pisteessä P sillä ympyrän halkaisija on ympyrän jänteistä pisin (pitääkö tämäkin todistaa?).
Otetaan neliön vastakkaisilta sivuilta pisteet ja yhdistetään nämä janalla. Pisin tällainen jana on neliön lävistäjä (pitäisikö todistaa?). Joten jos neliötä muutetaan toiseen asentoon sitä on kasvatettava jotta sen sivu leikkaisi janan pisteessä P.
Olipa P mikä tahansa piste janalla niin pienin pintojen summa saadaan kun ympyrä ja neliö ovat tuossa alkuasennossa.Neliö ja ympyrä eivät myöskään saa sijaita siten että niiden leikkaus olisi muu pistejoukko kuin (P), tällöinhän ympyrä ja neliö olisivat suurempia kuin niiden leikatessa pisteessä P (onko todistettava?).
Nyt tehtävässä etsitään se P:n paikka mikä antaa pienimmän pinta-alojen summan kun ympyrä ja neliö ovat tuossa alussa kuvaamassani asennossa.
Riittäisikö tämä? Jos ei, niin korjaa tai täydennä. En nyt aamutuimaan enempääkään järkeile.
Ohman
- derivoija
Olen juuri tuolla menetelmällä lausekkeen tehnyt, mutta huonolla menestyksellä.
(1-x)(1-x) pii*(x'0,5)^2 , derivointi ja kaavaan derivaattafunktion nollakohtien syöttäminen.- OliskoNoin
(1-x)^2 pii*x^2/4 ->
(1 pii)x^2/4-2x 1 derivoi ja laske nollakohta->
(1 pii)*x/2-2=0
(1 pii)*x=4 ->X=4/(1 pii)=0,906 - derivoija
OliskoNoin kirjoitti:
(1-x)^2 pii*x^2/4 ->
(1 pii)x^2/4-2x 1 derivoi ja laske nollakohta->
(1 pii)*x/2-2=0
(1 pii)*x=4 ->X=4/(1 pii)=0,906Ei mene noin. Neliön lävistäjä=ympyrän halkaisija. Neliön lävistäjä sivu*neliöjuuri 2. Näinollen a*juuri 2=1-x. Tästä ratkaistaan a. Nyt voidaan laskea a^2 pii*(0,5x)^2 ja derivointi.
- NoinSeOn
Siis kun x on ympyrän säde:
A = (1-x/sqrt2)^2 pii*x^2/4
Ratkaisuna x = sqrt2/(1 pii/2) = 0,55 - EiVoiOllaNoin
derivoija kirjoitti:
Ei mene noin. Neliön lävistäjä=ympyrän halkaisija. Neliön lävistäjä sivu*neliöjuuri 2. Näinollen a*juuri 2=1-x. Tästä ratkaistaan a. Nyt voidaan laskea a^2 pii*(0,5x)^2 ja derivointi.
Eihän tässä ole sitten mitään laskettavaa, jos neliön lävistäjä on sama kuin ympyrän halkaisija. Miten tähän päätelmään on tultu ja miksi lopputulos ei ole 0,5, jos kerran lävistäjä ja halkaisija ovat samat??
- derivoija
Hah nyt tajusin idean. Lähti rullaamaan. Seuraavakin tehtävä on samantyylinen, siinä jana peitetään pallolla ja kuutiolla.
- Ohman
Olkoon ympyrän säteen pituus x. Neliön lävistäjän pituus on 1- 2x. Neliön sivu a toteuttaa yhtälön 2 a^2 = (1-2x) ^2. Ympyrän ja neliön yhteenlaskettu pinta-ala on
A(x) = pii x^2 1/2 (1-2x)^2. A'(x) = 2 pii x - 2 (1 - 2x) = (2 pii 4 ) x - 2 = 0 joten x = 1/(pii 2). A'' > 0 joten kyseessä minimi.
Minimipinta-ala on A(1/(pii 2)) = pii (1/(pii 2)^2 1/2 (1 - 2/(pii 2))^2 =( pii/2) / (pii 2).
Toinen tapa:
Tarkastellaan funktiota A(x,y) = pii x^2 y^2 /2 - k(2 x y - 1).
dA/dx = 2 pii x - 2 k = 0 ja dA/dy = y - k = 0. y = k ja x = k/ pii. 2 k/ pii k - 1 = 0 ja k(2/ pii 1) = 1
joten k =pii/(2 pii)
x = 1/(2 pii) ja y = pii/(2 pii).
Neliön sivun pituus = y/sqrt(2) joten minimipinta-ala on
pii /(2 pii)^2 1/2 * pii^2 / (2 pii)^2 =( pii/2) / (pii 2).
Ohman - SirkkaVaris
Kyllä ne on kuulkaatte otettava aivan yleiset ympyrä ja neliö ja minimoitava sitten näiden alojen summa ehdolla että ne peittävät sen janan.
- NoinOn
No ei nyt ihan yleiset. Kun tehtävässä edellytetään että ympyrä ja neliö yhdessä peittävät janan. Siten voidaan olettaa vaikkapa, että ympyrä peittää vähintään x pituisen osan janasta. Jolloin neliön on peitettävä vähintään loput 1-x pituinen osa janasta. Niinkuin tuolla edellä yritettiin selittää.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p611986Persut petti kannattajansa, totaalisesti !
Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,521720- 561626
Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?
Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.51547Sinäkö se olit...
Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis61525Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat
Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin61445Hyvää yötä ja kauniita unia!
Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä81326Lepakot ja lepakkopönttö
Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta121291Revi siitä ja revi siitä
Enkä revi, ei kiinnosta hevon vittua teidän asiat ja elämä. Revi itte vaan sitä emborullaas istuessas Aamupaskalla41183Kello on puoliyö - aika lopettaa netin käyttö tältä päivältä
Kello on 12, on aika laittaa luurit pöydälle ja sallia yörauha kaupungin asukkaille ja työntekijöille. It is past midni41158