Pallopinnan etäisyyksien laskenta

Mutta kun maapallo ei ole pallo, kun siihen vaikuttaa muun muassa kuun asento. Mutta jos kuvitellaan, niin yksinkertaista laskua laittamalla se kuution sisälle se pallo aluksi ja siitä sitten...

Silloin tulee helpot geometriset kaavat laskea kaikki.

Pallogeometria ei ole helppoa. Kannattaa hankkia iso pallo tai puolipallo, johon voi piirrellä.

Ei laskuissa mitään neljännäksiä tarvita. Leveys- ja pituuspiirien asteerothan ne vain merkitsevät. Unohda kokonaan ilmansuunnat sun muut ja ajattele pallopintaa koordinaatistona, johon sijoitat pisteet. Muunna koordinaatisto sellaiseksi, että toinen pisteistä on (0 , 0). Toinen ehkä (85, 50).

Ja sitten vaan opettelemaan niitä kaavoja ja ihan hauskoja pallokolmiolaskuja.

Jos haluat asian oppia, niin muunna ensin molempien pisteiden pituus- ja leveysasteet eli pallokoordinaatit suorakulmaisen koordinaatiston pisteiksi, ks.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Koordinaatisto

Voit olettaa pallon säteeksi ykkösen.

Sitten havaitset, että suorakulmaiset koordinaatit ovatkin oikeastaan vektoreita, joiden välisen kulman saat määritettyä ristitulon avulla (|a×b| = |a|⋅|b|⋅sinφ; nyt |a| = 1 ja |b| = 1). Kun saat määritetyksi kulman, niin kaari on helppo.

Ja piirrä aina havainnekuva, että pääset ymmärrykseen oikeasta neljänneksestä. Tosin tähän auttaa vektoreiden pistetulonkin tarkastelu.

Kaiva esiin pallokolmiot (pallotrigonometria, spherical trigonometry). Niitä koskevia kaavoja löytyy netin lisäksi vanhoista logaritmitauluista.

Hyvää tarkoittavia neuvoja kun tarjoillaan, niin tarjoanpa minäkin. En tosin tarjoa mitään nopeaa ratkaisua.

Tuollainen problematiikka on käsitelty navigoinnissa hyvin kattavasti. Esim. avomerilaivurin pitäisi selviytyä leikiten tuollaisen ongelman ratkaisusta. Niinpä suosittelen kansalaisopiston avomerilaivurin kurssia - tai kurssikirjaa joka löytynee kirjastosta.

(Navigaatioliiton järjestämälle avomerilaivurin kurssille voi osallistua kuka tahansa. Avomerilaivurin _tukinnon_ voi kuitenkin suorittaa vasta saaristolaivurin- ja rannikkolaivurin tutkintojen jälkeen.)

Jos haluat ihan itse laskea vain tämän perustehtävän lukiossa jo opetetuilla kaavoilla, hanki jostain puolipallon muotoinen kulho tai vastaava. Sijoita toinen piste reunalle ja muodosta siitä jollakin tikulla tai vastaavalla kiinteä säde keskipisteeseen.

Sijoita se toinen piste melko kauaksi (itään ja pohjoiseen) siitä reunalla olevasta pisteestä ja vedä tästä pisteestä säde keskipisteeseen tikulla tai langalla. Sitten piirrät reunalle apupisteen samalle pituuspiirille, jossa se toinen pisteesi sijaitsee.

Nyt sinulla on jotain konkreettista edessäsi. Pallon yhtälöstä lienee myös apua.

Kokeilin aiemmin kertomaani tapaa isoympyräetäisyyden laskemiseksi, ja sain esimerkkitapauksessasi samat tulokset netistä löytyvien laskureiden kanssa eli 10595 km, jota vastaa keskuskulma 95,18º.

Tosin tuossa menettelyssäni on muutama tarkennettava ja havaittava kohta, jotta homma toimisi kuten se klassinen junan vessa, mutta niistä joskus myöhemmin.

Laskin kerran omalla tavalla jotain vastaavaa, mutta laskin ulkomuistista sinillä ja kosinilla jonkun lentokoneen etäisyyksiä ja noita.

Fysiikassa taisi olla ammattikorkeassa sellainen tehtävä, täysin oikea vastaus oli, mutta laskin eritavalla kuin muut, eli radiaanikulmilla sinillä ja kosinilla.

Olkoon i ykkösvektoi joka osoittaa maapallon keskipisteestä Greenwichin 0-meridiaanin pisteeseen leveysaste = 0. Oletetaan nyt maa palloksi.

j on ykkösvektori joka osoittaa keskipisteesta pisteeseen 90 astetta itäistä pituutta, 0 astetta pohjoista leveyttä. k on ykkösvektori joka yhdessä i- ja j- vektoreiden kanssa muodostaa positiivisen i,j,k-systeemin eli osoittaa keskipisteestä pohjoisnavalle. Olkoon maapallon säde S.

Pisteen A paikkavektori on nyt R(A) = S cos(- 55) cos(30) i S cos(-55) sin(30) j S sin (- 55) k
R(B) = S cos(30) cos(- 20) i S cos(30) sin(- 20) j S sin(30) k

Olkoot r(A) ja r(B) yksikkövektorit R(A) / S ja R(B) / S

Vektorien R(A) ja R(B) välinen kulma c saadaan kaavasta

cos(c) = (r(A),r(B)) (sisätulo, "pistetulo")eli c = arccos((r(A),r(B))

Pisteiden A ja B etäisyys maapallon pintaa pitkin on

S c
missä kulma c on lausuttava radiaaneissa.

Ohman

Pallotrigonometrialla saadaan: R*arccos(cos60*cos145 sin60*sin145*cos50)
R on maapallon säde ja kulmat asteina.

Viime vuonna täällä laskettiin Tukholma-Oulu välimatkaa, ja tuossa on siihen linkki: http://keskustelu.suomi24.fi/t/13510810/2-pisteen-(maapallon-pinnalla)-etaisyys-metreina
Sitten tuossa on se varsinainen lasku: http://aijaa.com/bQ1Mrw

Hommaa divarista karttapallo, piirrä siihen nuo pisteet ja mittaa niiden välinen etäisyys vaikka äitisi käsityökorista anastamallasi villalangan pätkällä. Sitten vain vertaat sitä johonkin tuntemaasi etäisyyteen.

Ihan peruSnavigointia.

Muistelen jo lukiossa 1960-luvulla laskeneeni noita. V.J. Kallion logaritmitaulukkokirjassa oli hyvin perusteellinen kaavakokoelma mm. pallogeometriasta. Kai vastaavaa nykyään löytyy netistä, kun vähänkin viitsii hakea!

Määritä XYZ-koordinaatisto, jossa origo on maapallon keskipisteessä ja Z-akseli kulkee pohjoisnavan kautta. Sinun kaksi pistettäsi määrittävät nyt kaksi vektoria, joiden x, y ja z -komponentit voit laskea trigonometrialla. Vektoreiden pistetulo t=x1*x2 y1*y2 z1*z2. Toisaalta t=R*R*cos (fii), missä R on maapallon säde ja fii on Vektoreiden välinen kulma. Näistä yhtälöistä voi ratkaista fiin, ja pisteiden välinen etäisyys= R*fii. (fii on absoluuttisessa yksikössä, "radiaaneissa")

Mutta minun menetelmälläni saa yleisen kaavan kahden pisteen väliselle etäisyydelle, kun niiden pituus- ja leveysasteet tiedetään.

Maapallo on pallo. Ok. Vesi siis kaareutuu eikä ole vaakasuora.
Paljonko vesi kaareutuu 50 m:n uima- altaassa?

Lyhyt vastaus:
Sijoita pisteet ympyrän kehälle. Laske pisteden välinen kulma.
Etäisyys on (kulma/360)*maapallon kehä