Millä kokonaisluvun n arvoilla (n i)^4 on kokonaisluku?
Vastaus -1, 0, 1
Eli, voisiko joku ystävällisesti hiukan avata tätä.
Yritin jakaa tuota (n i)^4 tekijöihin, mutta en ole siinä onnistunut. Eihän tuota voi pitää bikvadraattisena??
i^2=-1
Juuri tuo kokonaisluku hämää nyt tässä, miksi ei n=2 kelpaa? Tai n=100?
Vastaus -1, 0, 1
Eli, voisiko joku ystävällisesti hiukan avata tätä.
Yritin jakaa tuota (n i)^4 tekijöihin, mutta en ole siinä onnistunut. Eihän tuota voi pitää bikvadraattisena??
i^2=-1
Juuri tuo kokonaisluku hämää nyt tässä, miksi ei n=2 kelpaa? Tai n=100?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Kirjoita se ensin auki:
(n i)^4 = n^4 4*n^3*i 6*n^2*i^2 4*n*i^3 i^4 =
n^4 4*n^3*i 6*n^2*(-1) 4*n*(-i) (-1)^2 =
n^4 4*n^3*i -6*n^2 -4*n*i 1 (järjestä termit uudestaan reaaliluvut ja imaginaariluvut erikseen)
n^4 -6*n^2 1 4*i*( n^3 - n ) =
n^4 -6*n^2 1 4*i*n*( n^2 - 1 ) =
Nyt etsit tuosta milloin imaginaariosa on nolla, eli silloin kun n*( n^2 - 1 ) = 0
Eli n=0 tai n=-1 tai n= 1
Ja lopuksi tarkistat, että reaaliosa on kokonaisluku noilla n arvoilla.
Ja koska näin on nuo kaikki täyttävät vaaditut ehdot.
Huomaathan, että jos n=100 niin imaginaariosa ei ole nolla, ja näin ollen kyse ei ole edes reaaliluvusta, joten ei voi olla myöskään kokonaisluku kyseessä.
Sama ongelma jos n=2
Pointti siis on, että kaikki kokonaisluvut ovat määritelmän mukaan reaalilukuja, joiden imaginääriosa on nolla. Kertaa noiden lukujoukkojen määritelmät uudestaan.
Kyllä tuohon kelpaa esimerkiksi n = i.
?
Eihän n voinut olla kompleksinen määritelmän mukaan.
Tästä tehtävänannosta ei nyt ilmene, pitäisikö luvun olla ns. kokonainen algebrallinen luku, vai reaalinen kokonaisluku.
Reaalinen kokonaisluku tarkoittaa sellaista kokonaislukua, mistä koulukursseissa puhutaan, siis lukuja ...,-2,-1,0,1,2,...
Ilmeisesti tällaisista luvuista on kysymys.
Tässä tapauksessa ratkaisut löydetään nimimerkin 'lukujoukoista' esittämällä tavalla, asettamalla imaginääriosa nollaksi.
Jos kokonaisluvuilla tarkoitetaan ns. 'algebralllisten kokonaislukujen' joukkoa, on ratkaisu hiukan monimutkaisempi. Tämä liitty kuitenkin jo yliopistomatematiikkaan.
(Algebrallisilla kokonaisluvuilla tarkoitetaan sellaisia algebrallisia lukuja, joiden minimaalipolynomin korkeimman asteen termin kerroin on ykkönen.)
En muista nähneeni mitään lähdettä, jossa termi algebraic integer olisi suomennettu muotoon kokonaisluku. Sen sijaan suomennos algebrallinen kokonaisluku on minulle tuttu. Toisaalta en ole juurikaan lukenut algebrallista lukuteoriaa suomeksi.
Missä kohdassa sanotaan, että n ei voi olla kompleksiluku?
Tämän viestiketjun ensimmäisen viestin kohdassa, jossa lukee :
" Millä kokonaisluvun n arvoilla ... "
i ei ole kokonaisluku, joten se ei vastaa tuohon kysymykseen.
i on aivan yhtä kokonainen kuin 1 ta 2.
En paljon aiheesta ymmärrä, mutta miksi teillä matemaatikoilla ei ole edes termien merkitykset selvillä kun niistä kiistelette :)
Niin kun nettiin kirjoitellaan amatöörien kysymyksiä, niin ei voi aina olla varma mitä todellisuudessa tarkoitetaan. Esim. kokonaisluvuilla tarkoitetaanko kuten pitäisi ymmärtää lukujoukkoa Z vai sallitaanko myös ns. Gaussin kokonaisluvut eli imaginääriluvut joille Re(z) ja Im(z) ovat kokonaislukuja.
Kun puhutaan kokonaisluvuista tarkoittaa se lukujoukkoa Z eikä mitään muuta.
Aloittaja oli laittanut tuohon viestiinsä tiedossaan olevan vastauksen (-1, 0 tai 1), jos joku ei sattunut huomaamaan. Tämän takia ei tarvitse olla mikään Einstein ymmärtääkseen, että nimimerkin "lukujoukoista" antama selitys on varmasti se, jota tässä kaivattiin.