Eukleideen tasogeometriasta R^2 kyse:
Miten todistetaan, että lineaarisen funktion y=f(x)=ax b kuvaaja on suora.
Ja miten todistetaan että suorat toteuttavat jonkin muotoa ax by=c olevan yhtälön.
Pohjimmiltaan tahdon kysyä miten algebra linkitetään geometriaan?
Miten todistetaan, että lineaarisen funktion y=f(x)=ax b kuvaaja on suora.
Ja miten todistetaan että suorat toteuttavat jonkin muotoa ax by=c olevan yhtälön.
Pohjimmiltaan tahdon kysyä miten algebra linkitetään geometriaan?
Vastaukset 12
Vanhimmat
Riittäisikö että osoitat että f'(x) on vakio ?
Riittäisikö että osoitat että f '(x) on vakio ?
"Miten todistetaan, että lineaarisen funktion y=f(x)=ax b kuvaaja on suora."
ax:n kohdalla ei ole "aaa kertaa äkxä potenssiin 2" eikä "aaa kertaa äkxä potenssiin kolmea" , eikä muitakaan potenssin korotuksia.
Siis koska äksää ei koroteta mihinkään potenssiin, niin funktio tuottaa suoran karteesisesssa koordinaatistossa. Eli koska äksä korotetaan potenssiin 1 niin funktio tuottaa suoran.
Tämä tuli ensimmäisenä mieleen. Minä en tajua matematiikasta mitään, mutta vanhemmiten on alkanut kiinnostaa uudestaan. 20 v taukoa koulumatematiikoista.
Mikä mahtaa olla suoran määritelmä?
Ainakin Hilbertin aksioomissa suora on annettu käsite vailla määritelmää.
Suora määritellään siten, että jokaisen kahden pisteen P ja Q väliin jäävät pisteet ovat suoralla esim. lukusuoralla kujen p ja q välillä olevat luvut ovat muotoa
pt (1-t)q, missä t välissä (0,1) ja kokolukusuoran pisteet saadaan ku t on reaaliluku
vastaavasti suoran pisteet saadaan Pt Q(1-t), t on reaaliluku, tästä saadaan
P=(x0,y0) ja Q=(x1,y2)
x=x0t x1(1-t)
y=y0t y1(1-t)
Tästä ratkaisemalla t (suhteeen) ja sijoittamalla jälkimäiseen saadaan
y (x suhteen) eli muoto y=ax b tai halutessa ax by=c
Eli jokainen suoran piste toteuttaa kysytyn laisen yhtälön.
Vastaavasti todistat sen että y=ax b kaikki pisteet ovat suoralla, eli otat
kaksi pistettä, toteat ne eri suuriksi ja sen jälkeen osoitat, että jokainen
muu yhtälön totetuttava piste on näiden kahden suoran välissä eli kerrot miten parametri t tulee valita.
Tässä ajatuksen lähtökohtana taitaa olla suoran parametriesitys, mutta kuullaanko siitä koulumatematiikassa ollenkaan tai jos, niin lukion pitkässä ehkä. Tällainen suoran esitys ja sen vektoriversio on tärkeä fysiikassa, missä eri käppyröitä on hallittava tason lisäksi 3-ulotteisessa avaruudessa ainakin. Esim.käsite kulmakerroin tulee vaikeaksi 3- ja enempi ulottuvuudessa.
Tämä tässä siksi, että löytyiskö kevyempää todennusmallia aiheesta, jos joku haluaa koulumatikan pohjalta mietiskellä eri 'koordinaattigeometrian' olemuksia :)
"Pohjimmiltaan tahdon kysyä miten algebra linkitetään geometriaan? "
Voisit googlettaa 1600-luvun matematiikan historiaa :)
Pointti on siinä, että geometrisiin kuvioihin alettiin liittää koordinaatisto, eihän suorilla ja muilla kuvioilla ole yhtälöitä ilman kiinnitystä jonkinlaiseen koordinaatistoon.
[Tosin yleensä ns.tosikäppyröillä ei koordinaatistossakaan, siis vaikka lämpötilakäyrä marraskuulta, ei sille analyyttistä tarkkaa yhtälöä käytännössä löydy (on teoriassa jokin y=f(x) ). ]
Kiinnitettynä koordinaatistoon kaipaamallesi suoralle löytyy tarvitsemasi tietämys ihan koulukirjasta. Jos kiinnostaa, tuossa yksi kooste (laitetaan kun joku on peräti oppilastyön aiheesta tehnyt):
http://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/61608/gradu2008Kuparinen.pdf?sequence=1
Ääh, jopa oli säälittävä tekele graduksi. Tässä menee ihan voimattomaksi kun muiden tekeleitä lueskelee. Varsinkin nuo opettajankoulutuksen saaneiden gradut ovat säälittäviä, tuossa lukaisin myös yhden fysiikan opettajaksi opiskelleen gradun, ja siinä kyllä tuntui että tyyppi oli noussut väärällä jalalla vuoteestaan joka ikinen päivä, olivat johtopäätökset analysoitavasta materiaalista niin tökeröitä (aineistona oli TKK:n sisäänpääsykokeet fysiikassa), samoin esitystapa.
Niin, olisko edes tarkoituksenmukaista vaatia luokan- ja aineenopettajaksikin aikovalta kovin tieteentekijän kykyjä myös, riittänee kun osaa tulkita tieteen osalta muitten tekstejä. Tuon loppunäytön nimitys graduksi on ilmeisesti periytynyt, kun 70-luvulla opettajainvalmistus siirtyi peruskoulu-uudistuksen mukana korkeakoulutiedekuntiin.
Joo, kun katsoin, että tuossa on koululaiselle sopivaa johdatusta kysymäänsä aiheeseen, niin huomasin, että kannessa lukee gradu; no, hällä väliä, sinänsä kelvollista ja tarkastettua tekstiä toki, koosteeksi sen kummempia miettimättä näköjään olen nimennyt :)
Turha voimia menettää, jonkun slouganinkin mukaan "pitää ajatella positiivisesti".....
Tutustuin hiukan tuohon graduun, ja tein siitä joitakin huomioita.
Ensinnäkään tämä lopputyö ei missään kohdassa ylitä lukion analyyttisen geometrian kurssien oppisisältöjä. Toisaalta se ei sisällä minkäännäköistä pedagogista pohdintaa siitä, miten näitä asioita voitaisiin lukiolaisille parhaiten opettaa. Lähdemateriaalissa on nojauduttu ainoastaan lukiotason oppikirjoihin. Schaumin sarjan kirja on lisätty lähdeluetteloon pelkästään muodon vuoksi. Lähdeviittaukset puuttuvat kokonaan. Käsitellyt tehtävät ja ilmeisesti niiden ratkaisutkin on poimittu lukion oppikirjoista sellaisinaan. Ainoastaan kieliasu ja ulkoinen visuaalinen esitysmuoto (kuvat) näyttäisivät olevan kohtuullisessa kunnossa.
Kokonaisuusvaikutelma gradusta on se, ettei se millään tavalla ilmennä harjoitetun lukion ja ylioppilaskirjoitusten jälkeisiä matemaattisia tai pedagogisia yliopistollisia opintoja.
Olen tehnyt matematiikasta gradun ja olen saanut opettajakoulutuksen.
Kun sain oman graduni aiheen, niin katselin yliopistojen sähköisiä graduja. Pakko myöntää, että olin samaa mieltä sinun kanssasi - säälittäviä tekeleitä. Siis monesta gradusta näki selvästi, että kirjoittaja on opelinjalla.
Valitettava tosiasia on se, ettei (ainakaan omani) yliopistot tarjoa järkevää graduohjausta aineopettajalinjalaisille. Moni gradu olisi paljon järkevämpi, kun kirjoittaja miettisi kirjoitelmassaan, että miten asia OPETETAAN, eikä mitä esimerkkejä asiasta saa aikaiseksi. Puhtaat matemaatikot yliopistolla ei opetus-käsitettä tunne, jotka ohjausta antavat. Myöskään kaikilla opelinjalaisilla ei ole rahkeita tehdä "kovaa" matematiikkaa.