Kaupungin väestön kasvu noudattaa eksponentiaalisen kasvun periaatetta. Väestö lasketaan
vuosittain, v. 2003 väestö oli 23 520 ja vuonna 2004 asukkaita oli 24 376.
a) Muodosta väestön kasvumalli siten, että vuoden 2003 alkua pidetään ajanhetkenä t = 0.
b) Kuinka nopeasti (asukkaita/kk) väestö lisääntyy vuoden 2010 alussa, mikäli kasvumalli pysyy
samana?
c) Milloin väestön kasvunopeus ylittää 1500 asukasta/kk?
Joku näppärä ossaa laskea tämmöset??
vuosittain, v. 2003 väestö oli 23 520 ja vuonna 2004 asukkaita oli 24 376.
a) Muodosta väestön kasvumalli siten, että vuoden 2003 alkua pidetään ajanhetkenä t = 0.
b) Kuinka nopeasti (asukkaita/kk) väestö lisääntyy vuoden 2010 alussa, mikäli kasvumalli pysyy
samana?
c) Milloin väestön kasvunopeus ylittää 1500 asukasta/kk?
Joku näppärä ossaa laskea tämmöset??
Vastaukset 11
Vanhimmat
Meniskö tähän tapaan :
Xn x ( 856 / 23520 )^t
....
~ 95 asuk/kk
....
~ v. 2273 helmikuussa.
korjaus:
Xn x ( Xn 856 / Xn) ^t
Tehtävään ei ole yksikäsitteistä vastausta, koska tehtävä ei ole yksikäsitteinen.
Jotta voitaisiin laskea oikein, pitäisi tietää väkiluku hetkellä t=0 eli vuoden 2003 alussa ja sitä ei ole kerrottu.
On vain annettu väkiluku vuonna 2003, mutta millään exponentiaalisella kasvumallilla väestö ei pysy saman koko tuota vuotta, joten tuo väkiluku 23520 voi olla oikea vain yhdellä hetkellä tuona vuonna. Missään ei kuitenkaan kerrota onko tuo oikea vuoden alussa, lopussa, vaiko puolivälissä vuotta (medioaani), vaiko koko vuoden päiväkohtaisten väkilukujen keskiarvo (aritmeettinen vai geometrinen keskiarvo).
Yleisesti malli on muotoa x1 * (x2/x1)^t, mikä annetuilla arvoilla vastaa mallia
väestö = 23520 * (24376/23520)^(t - t0), jossa t0 on tuntematon.
Tällöin väkimäärä hetkellä t= t0 on 23520, joten hetki t0 vastaa tuntematonta väestölaskennan hetkeä vuonna 2003, minkä ei siis tarvitse olla vuoden 2003 alussa.
Vuoden 2003,alussa väkiluku on siis luultavimmin vähemmän kuin 23520, koska tuo väkiluku saavutetaan vasta myöhemmin ko vuonna.
Aiemmin annetut vastaukset ovat pahasti pielessä, koska potenssin kantaluku on joko alle yhden tai sitten yli 20 tuhatta, vaikka annetuilla arvoilla sen tulisi olla hieman yli yhden. Ja lisäksi niissä ei ole huomioitu väestölaskenna päivämäärää, vaan on ilman perusteita oletettu sen olleen vuoden alussa.
Itse kyllä käsitin että tuossa olisi kyseessä olisi e-kantainen eksponentti, sillä on helpointa laskea käytännössä, ei olisi etua käyttää muitakaan kantoja.
Tällöin olisi N(t) = Aexp(bt).
23520 = Aexp(0) (t=0)
24376 = Aexp(b) (t=1)
Josta vakioille arvot A = 23520, b = ln(24376/23520) = 0.0357
Eli N(t) = 23520*exp(0.0357*t)
b) N(7.0833) - N(7) = 23520*(exp(0.25217) - exp(0.24990)) = 89.94, eli noin 90.
c) N(t 0.0833) - N(t) = 1500, josta sitten pitäisi ratkaista t.
Piti vielä huomauttaa että tässä kyllä varmasti oletaan että kasvumalli on differentiaaliyhtälön
dN/dt = kN ratkaisu,
eli
dN/N = kdt
ja tämän ratkaisu ln(N) = kt C, joka voidaan kirjoittaa muotoon
N = Cexp(kt), mikä on sama mitä aikaisemmin esitin.
Tämä on yksinkertaisin malli, mitä yleensä käytetään eksponentiaaliseen kasvuun.
666-kantainen eksponentiaalinen malli on ainoa oikea. Lisäksi aikamuuttujan voi aivan hyvin laittaa vaikka seitsemänteen potenssiin tai yleisemmin joksikin polynomiksi.
23520 = C*666^(0) (t=0)
24376 = C*666(b*t^7) (t=12)
Vain e-kantainen eksponenttifunktio toteuttaa mainitsemani differentiaaliyhtälön. Saahan sitä keksiä vaikka minkälaisia kasvumalleja, mutta tuossa tarkoitettiin varmasti yksinkertaisinta mahdollista mallia.
> Vain e-kantainen eksponenttifunktio toteuttaa mainitsemani differentiaaliyhtälön.
Ajattele nyt ensin mitä tänne kirjoittelet.
N(t) = 23520*exp(0.0357*t) = 23520 * (e^0.0357 )^t = 23520 * c1^t, jossa vakio c1 = e^0.0357 eli likimäärin 1.036345
Nyt jos N(t) toteuttaa mainitsemasi differentiaaliyhtälön, sen tekevät kaikki yllä mainitut N(t) :t, eikä vain ensimmäinen noista, siis myös c1 kantainen eksponenttifunktio.
Tuo c1 kantainen on yksinkertaisempi kuin e-kantainen. Ja oikeampi myös mikäli c1:n arvo määritetään lähtötiedoista suoraan, se sinun e-kantaisesi kun sisältää jo pyöristysvirheitä.
No laske itse: olkoon meillä differentiaaliyhtälö dN/dt = kN,
ja yritteet N = Ce^kt, sekä yleisempi Ca^kt, missä myös a on vakio.
Ensimmäiselle saadaan
dN/dt = Cke^kt ja kN = Cke^kt, eli toteuttaa differentiaaliyhtälön.
Toisessa tapauksessa saadaan
dN/dt = Cklna*a^kt ja kN = kCa^kt, mikä ei toteuta differentiaaliyhtälöä.
Mistä reipäisit tuon yhtälön dN/dt = kN ? Ei sitä tehtävänannossa mainittu....
Malli on hyvin tunnettu, kun puhutaan eksponentiaalisesta kasvusta, ja ei tehdä muita oletuksia.
Yhtälö kertoo tilastollisessa mielessä että jokaisena ajanhetkenä lisäys populaatiossa riippuu senhetkisestä populaatiosta kerrottuna vakiolla k.