Jos porattaisiin reikä maapalloon

" kiihtyvyys pienenisi kokoajan keskustaa lähestyttäessä"

Aivan, mutta kääntyykö negatiiviseksi?

Kiihtyvyys kääntyy negatiiviseksi vasta painovoima-keskipisteen tuolla puolen...

Nopeus ei pienene, jos kiihtyvyys on positiivinen...

Eli jos: a > 0 niin, v1 < v2!
Mutta jos a < 0 niin, v1 > v2.
Jos a = 0 niin, v1 = v2.

Kyllä, kiihtyvyys keskellä olisi nolla. Kappale kiihtyisi hitaammin ja hitaammin lähestyttäessä keskustaa, mutta sen nopeus silti kasvaisi jatkuvasti. Nopeus olisi keskellä maksimissaan, ja alkaisi taas laskea kappaleen mentyä keskikohdan ohi.

Jos minulla on huomenna tylsää, taidan laskea sen nopeuden keskustassa...

Systeemi toimisi periaatteessa samalla tavalla kuin klassinen heiluri: keskiasennossa (maan keskustassa) nopeus on maksimissaan ja kiihtyvyys nolla. Ääriasennossa (maan pinnan tasolla) nopeus olisi nolla, mutta kiihtyvyys maksimissaan.

Tylsää töissä kirjoitti:

Kyllä, kiihtyvyys keskellä olisi nolla. Kappale kiihtyisi hitaammin ja hitaammin lähestyttäessä keskustaa, mutta sen nopeus silti kasvaisi jatkuvasti. Nopeus olisi keskellä maksimissaan, ja alkaisi taas laskea kappaleen mentyä keskikohdan ohi.

Jos minulla on huomenna tylsää, taidan laskea sen nopeuden keskustassa...

Systeemi toimisi periaatteessa samalla tavalla kuin klassinen heiluri: keskiasennossa (maan keskustassa) nopeus on maksimissaan ja kiihtyvyys nolla. Ääriasennossa (maan pinnan tasolla) nopeus olisi nolla, mutta kiihtyvyys maksimissaan.

Lue lisää

Se en jo laskettu toisessa linkissä.

Bruno kirjoitti:

Se en jo laskettu toisessa linkissä.

Minä tekisin laskun näin, mutta luultavasti vain siksi, että en enää muista mitään Lagrangen mekaniikasta.

Sama lähtöoletus kuin edellisissä malleissa, eli tiheys vakio. Olkoon Maapallon säde R ja d sen keskitiheys.

Säteen r sisään jäävä massa (kuten aikaisemmin on jo ollut esillä, säteen r ulkopuolella oleva massa ei vaikuta pallon tapauksessa) on

M=4/3*pi*d*r^3

ja sen aiheuttama vetovoima (Fg) tiputettavaan kappaleeseen (massa m)

Fg=G*M*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r^3*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r*m

Voima aiheuttaa pudotettavalla kappaleelle kiihtyvyyden

a = Fg/m = G*4/3*pi*d*r

Kiihtyvyys on dv/dt, ja toisaalta v=dr/dt (v nopeus, t aika). Siitä saadaan differentiaalimuoto

v*dv = G*4/3*pi*d*r*dr

ja integroimalla vasen puoli nollasta nopeuteen V (V = V(r)) ja oikea puoli R:stä (maan pinnan tasolta) säteeseen rk (k on tässä satunnaisesti valittu alaindeksi), saadaan

1/2V^2 = G*4/3*pi*d(rk^2-R^2)/2

eli nopeudelle (palataan merkinnöissä rk:sta r:ään)

V(r) = (G*4/3*pi*d(R^2-r^2))^0.5

Sitten muutetaan nopeus muotoon V = dr/dt. Saadaan muoto

dr/(R^2-r^2)^0.5 = sqrt(G*4/3*pi*d)dt

Integroidaan vasen puoli R:stä nollaan eli maan pinnalta keskustaan ja oikea nollasta kuluneeseen aikaan T. Vasemman puolen integraali tuottaa

arctan(r/(R^2-r^2))

funktion, joka antaa integroitaessa pi/2. Tippumiajaksi Maapallon keskustaan saadaan siis

T = pi/2/(G*4/3*pi*d)^0.5 = (pi/(G*16/3*d)^0.5

Sijoittamalla lausekkeisiin lukuarvot, sadaan nopeudeksi maapallon keskellä (r=0)

V ~ 7900 m/s

ja putoamisajaksi keskustaan

T ~ 1270 s

Kun se kerrotaan neljällä, saadaan "heilahdusajalle" sama tulos (1,4 tuntia), kuin joku olikin jo aiemmin laskenut.

Varmistin muuten laskut numeerisesti tekemällä Matlabilla ohjelman... Tulosten siis pitäisi olla oikeita, vaikka tuossa johdossa varmaan tuli kirjoitettua jokunen virhe. Mut kyllä se ratkeaa Newtonin mekaniikalla.

Tylsää töissä kirjoitti:

Minä tekisin laskun näin, mutta luultavasti vain siksi, että en enää muista mitään Lagrangen mekaniikasta.

Sama lähtöoletus kuin edellisissä malleissa, eli tiheys vakio. Olkoon Maapallon säde R ja d sen keskitiheys.

Säteen r sisään jäävä massa (kuten aikaisemmin on jo ollut esillä, säteen r ulkopuolella oleva massa ei vaikuta pallon tapauksessa) on

M=4/3*pi*d*r^3

ja sen aiheuttama vetovoima (Fg) tiputettavaan kappaleeseen (massa m)

Fg=G*M*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r^3*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r*m

Voima aiheuttaa pudotettavalla kappaleelle kiihtyvyyden

a = Fg/m = G*4/3*pi*d*r

Kiihtyvyys on dv/dt, ja toisaalta v=dr/dt (v nopeus, t aika). Siitä saadaan differentiaalimuoto

v*dv = G*4/3*pi*d*r*dr

ja integroimalla vasen puoli nollasta nopeuteen V (V = V(r)) ja oikea puoli R:stä (maan pinnan tasolta) säteeseen rk (k on tässä satunnaisesti valittu alaindeksi), saadaan

1/2V^2 = G*4/3*pi*d(rk^2-R^2)/2

eli nopeudelle (palataan merkinnöissä rk:sta r:ään)

V(r) = (G*4/3*pi*d(R^2-r^2))^0.5

Sitten muutetaan nopeus muotoon V = dr/dt. Saadaan muoto

dr/(R^2-r^2)^0.5 = sqrt(G*4/3*pi*d)dt

Integroidaan vasen puoli R:stä nollaan eli maan pinnalta keskustaan ja oikea nollasta kuluneeseen aikaan T. Vasemman puolen integraali tuottaa

arctan(r/(R^2-r^2))

funktion, joka antaa integroitaessa pi/2. Tippumiajaksi Maapallon keskustaan saadaan siis

T = pi/2/(G*4/3*pi*d)^0.5 = (pi/(G*16/3*d)^0.5

Sijoittamalla lausekkeisiin lukuarvot, sadaan nopeudeksi maapallon keskellä (r=0)

V ~ 7900 m/s

ja putoamisajaksi keskustaan

T ~ 1270 s

Kun se kerrotaan neljällä, saadaan "heilahdusajalle" sama tulos (1,4 tuntia), kuin joku olikin jo aiemmin laskenut.

Varmistin muuten laskut numeerisesti tekemällä Matlabilla ohjelman... Tulosten siis pitäisi olla oikeita, vaikka tuossa johdossa varmaan tuli kirjoitettua jokunen virhe. Mut kyllä se ratkeaa Newtonin mekaniikalla.

Lue lisää

Millä tasolla fyssaa pitää opiskella jotta tuollaisen laskun osaisi itse vääntää? (Itsestähän se on kiinni mitä oppii, mutta missä koulussa tuollaista edes opetetaan.. )

Opetetaanko esimerkiksi ammattikorkeakoulun inssipuolella tuollaista vai tuleeko eteen vasta yliopistossa?

Tylsää töissä kirjoitti:

Minä tekisin laskun näin, mutta luultavasti vain siksi, että en enää muista mitään Lagrangen mekaniikasta.

Sama lähtöoletus kuin edellisissä malleissa, eli tiheys vakio. Olkoon Maapallon säde R ja d sen keskitiheys.

Säteen r sisään jäävä massa (kuten aikaisemmin on jo ollut esillä, säteen r ulkopuolella oleva massa ei vaikuta pallon tapauksessa) on

M=4/3*pi*d*r^3

ja sen aiheuttama vetovoima (Fg) tiputettavaan kappaleeseen (massa m)

Fg=G*M*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r^3*m/r^2 = G*4/3*pi*d*r*m

Voima aiheuttaa pudotettavalla kappaleelle kiihtyvyyden

a = Fg/m = G*4/3*pi*d*r

Kiihtyvyys on dv/dt, ja toisaalta v=dr/dt (v nopeus, t aika). Siitä saadaan differentiaalimuoto

v*dv = G*4/3*pi*d*r*dr

ja integroimalla vasen puoli nollasta nopeuteen V (V = V(r)) ja oikea puoli R:stä (maan pinnan tasolta) säteeseen rk (k on tässä satunnaisesti valittu alaindeksi), saadaan

1/2V^2 = G*4/3*pi*d(rk^2-R^2)/2

eli nopeudelle (palataan merkinnöissä rk:sta r:ään)

V(r) = (G*4/3*pi*d(R^2-r^2))^0.5

Sitten muutetaan nopeus muotoon V = dr/dt. Saadaan muoto

dr/(R^2-r^2)^0.5 = sqrt(G*4/3*pi*d)dt

Integroidaan vasen puoli R:stä nollaan eli maan pinnalta keskustaan ja oikea nollasta kuluneeseen aikaan T. Vasemman puolen integraali tuottaa

arctan(r/(R^2-r^2))

funktion, joka antaa integroitaessa pi/2. Tippumiajaksi Maapallon keskustaan saadaan siis

T = pi/2/(G*4/3*pi*d)^0.5 = (pi/(G*16/3*d)^0.5

Sijoittamalla lausekkeisiin lukuarvot, sadaan nopeudeksi maapallon keskellä (r=0)

V ~ 7900 m/s

ja putoamisajaksi keskustaan

T ~ 1270 s

Kun se kerrotaan neljällä, saadaan "heilahdusajalle" sama tulos (1,4 tuntia), kuin joku olikin jo aiemmin laskenut.

Varmistin muuten laskut numeerisesti tekemällä Matlabilla ohjelman... Tulosten siis pitäisi olla oikeita, vaikka tuossa johdossa varmaan tuli kirjoitettua jokunen virhe. Mut kyllä se ratkeaa Newtonin mekaniikalla.

Lue lisää

Jåi vaivaamaan, miksi tämä vuodatus.
Sama asia on esitetty edellä olevassa linkissä usealla yksinkertaisemmalla tavalla, joten monisanainen kopiointi tuskin lisää gloriaa, ja asiallisesti tai laskennallisesti esityksessä ei ole mitään uutta, joten olisiko esittäjän vallannut vastustamaton halu osoittaa palstan lukijoille, että äänessä on tosi tietäjä, eikä mikään tyhjänpuhujia.

Nabialle vastauksena, että tämäntasoiset laskutoimitukset pitäisi kyllä hoitua lukion oppimäärällä, jos vain on vähänkin kiinnostusta aiheeseen.

nabla kirjoitti:

Millä tasolla fyssaa pitää opiskella jotta tuollaisen laskun osaisi itse vääntää? (Itsestähän se on kiinni mitä oppii, mutta missä koulussa tuollaista edes opetetaan.. )

Opetetaanko esimerkiksi ammattikorkeakoulun inssipuolella tuollaista vai tuleeko eteen vasta yliopistossa?

Lue lisää

Periaatteessa lasku vaatisi ensimmäisen vuoden fysiikan opinnot yliopistossa, mutta käytännössä sanoisin että useimmilta toisen vuoden opiskelijoilta jäisi tekemättä.

Ammattikorkeasta en osaa yhtään sanoa. Ei ole hajuakaan mitä siellä opetetaan.

parturioppilas kirjoitti:

Jåi vaivaamaan, miksi tämä vuodatus.
Sama asia on esitetty edellä olevassa linkissä usealla yksinkertaisemmalla tavalla, joten monisanainen kopiointi tuskin lisää gloriaa, ja asiallisesti tai laskennallisesti esityksessä ei ole mitään uutta, joten olisiko esittäjän vallannut vastustamaton halu osoittaa palstan lukijoille, että äänessä on tosi tietäjä, eikä mikään tyhjänpuhujia.

Nabialle vastauksena, että tämäntasoiset laskutoimitukset pitäisi kyllä hoitua lukion oppimäärällä, jos vain on vähänkin kiinnostusta aiheeseen.

Lue lisää

Yliopistofysiikan ja lukiofysiikan oleellinen ero on siinä, että lukiossa lykätään numerot kaavaan ja lasketaan tulos. Oikeassa fysiikassa kaavat johdetaan ja perustellaan.

On hieman eri asia sanoa, että käytetään heilurin yhtälöä, kuin johtaa heilurin yhtälö. Edellisessä keskustelussa joku johti Lagrangen mekaniikalla yhtälöt, ja minä halusin kokeilla onnistuisiko se "perinteisemmällä" tavalla. Tuskin siitä mitään vahinkoa on.

Äänessä tosi tietäjä...? No, siinä mielessä kyllä, että olen ammattifyysikko. Ja siitä varmaankiin seuraa tämä erilainen lähestymistapa fysiikan suhteen: yhtä tärkeää kuin vastaus on se miten vastaus saadaan. Ja voidaanko se saada usealla tavalla.

Voin sanoa että Suomen lukiolaiset, jotka pystyisivät ratkaisemaan (siis eivät ainoastaan sijoittamaan lukuja valmiiseen kaavaan) tuon ongelman johtamalla yhtälöt joko Lagrangen mekaniikalla tai Newtonin mekaniikalla, mahtuisivat luultavasti kerralla yhteen linja-autoon. Sen enempää Lagrangen mekaniikka kuin yhtälöiden johtaminen integroimalla eivät kuulu lukion fysiikan oppimäärään. Niin että pelkkä kiinnostus ei riitä.

parturioppilas kirjoitti:

Jåi vaivaamaan, miksi tämä vuodatus.
Sama asia on esitetty edellä olevassa linkissä usealla yksinkertaisemmalla tavalla, joten monisanainen kopiointi tuskin lisää gloriaa, ja asiallisesti tai laskennallisesti esityksessä ei ole mitään uutta, joten olisiko esittäjän vallannut vastustamaton halu osoittaa palstan lukijoille, että äänessä on tosi tietäjä, eikä mikään tyhjänpuhujia.

Nabialle vastauksena, että tämäntasoiset laskutoimitukset pitäisi kyllä hoitua lukion oppimäärällä, jos vain on vähänkin kiinnostusta aiheeseen.

Lue lisää

Haluaisinpa todella nähdä sen lukiolaisen, joka tehtävän ratkaisisi. Kokemukseni perusteella sanoisin, että vain fysiikkaa yliopistossa opiskelevat ja terävimmät teekkarit saisivat tehtävän ratkaistuksi ja heistäkin suurin osa vasta pitkän tuhertamisen jälkeen.

Tylsää töissä kirjoitti:

Yliopistofysiikan ja lukiofysiikan oleellinen ero on siinä, että lukiossa lykätään numerot kaavaan ja lasketaan tulos. Oikeassa fysiikassa kaavat johdetaan ja perustellaan.

On hieman eri asia sanoa, että käytetään heilurin yhtälöä, kuin johtaa heilurin yhtälö. Edellisessä keskustelussa joku johti Lagrangen mekaniikalla yhtälöt, ja minä halusin kokeilla onnistuisiko se "perinteisemmällä" tavalla. Tuskin siitä mitään vahinkoa on.

Äänessä tosi tietäjä...? No, siinä mielessä kyllä, että olen ammattifyysikko. Ja siitä varmaankiin seuraa tämä erilainen lähestymistapa fysiikan suhteen: yhtä tärkeää kuin vastaus on se miten vastaus saadaan. Ja voidaanko se saada usealla tavalla.

Voin sanoa että Suomen lukiolaiset, jotka pystyisivät ratkaisemaan (siis eivät ainoastaan sijoittamaan lukuja valmiiseen kaavaan) tuon ongelman johtamalla yhtälöt joko Lagrangen mekaniikalla tai Newtonin mekaniikalla, mahtuisivat luultavasti kerralla yhteen linja-autoon. Sen enempää Lagrangen mekaniikka kuin yhtälöiden johtaminen integroimalla eivät kuulu lukion fysiikan oppimäärään. Niin että pelkkä kiinnostus ei riitä.

Lue lisää

Taisin puhua hieman ohi suuni lukion matematiikan tiedoista, en koskaan käynyt sitä loppuun, joten en ole täysin varma mihin asti se etenee.
Mitä taas tulee perusteluun erilaisesta lähestymistavasta, niin ymmärsin että ratkaisu olisi esitetty aiemmassa linkissä myös Newtonin mekaniikalla, ja taisi siellä olla osittain johdettuna heilurin yhtälökin.
Korkea-tai muun koulutuksen tasosta tai niissä opetettavan fysiikan eroista en pysty sanomaan mitään, mutta hieman asiaa harrastaneena totean, että mm. sinimuotoisen heilurin kaavan johtaminen kuuluu kyllä helpoimpiin rutiinitehtäviin, eikä taatusti vaadi yliopistollista loppututkintoa.

parturioppilas kirjoitti:

Taisin puhua hieman ohi suuni lukion matematiikan tiedoista, en koskaan käynyt sitä loppuun, joten en ole täysin varma mihin asti se etenee.
Mitä taas tulee perusteluun erilaisesta lähestymistavasta, niin ymmärsin että ratkaisu olisi esitetty aiemmassa linkissä myös Newtonin mekaniikalla, ja taisi siellä olla osittain johdettuna heilurin yhtälökin.
Korkea-tai muun koulutuksen tasosta tai niissä opetettavan fysiikan eroista en pysty sanomaan mitään, mutta hieman asiaa harrastaneena totean, että mm. sinimuotoisen heilurin kaavan johtaminen kuuluu kyllä helpoimpiin rutiinitehtäviin, eikä taatusti vaadi yliopistollista loppututkintoa.

Lue lisää

Haluaisin nähdä miten esimerkiksi värähtelijän jaksonaika johdetaan ilman "vaikeaa" matematiikkaa... En siis väitä että se on mahdotonta, en vain tiedä miten sen voisi tehdä, jos ei osaa kirjoittaa nopeutta differentiaalimuotoon v=dx/dt, ja johtaa sitä integroimalla.

Miten saadaan yhtälö T=2*pi*(m/k)^0.5?
(k = jousivakio, m = massa)

Edes yksinkertainen heiluri ei muuten itse asiassa tarkkaan ottaen noudata tuota harmonisen värähtelijän lakia. Se pätee vain jos heilahduskulma on "pieni".

Tylsää töissä kirjoitti:

Haluaisin nähdä miten esimerkiksi värähtelijän jaksonaika johdetaan ilman "vaikeaa" matematiikkaa... En siis väitä että se on mahdotonta, en vain tiedä miten sen voisi tehdä, jos ei osaa kirjoittaa nopeutta differentiaalimuotoon v=dx/dt, ja johtaa sitä integroimalla.

Miten saadaan yhtälö T=2*pi*(m/k)^0.5?
(k = jousivakio, m = massa)

Edes yksinkertainen heiluri ei muuten itse asiassa tarkkaan ottaen noudata tuota harmonisen värähtelijän lakia. Se pätee vain jos heilahduskulma on "pieni".

Lue lisää

Heiluriesimerkissäsi heilahdusaikaa osoittavaa kaavaa johdettaessa on oletettu, että heilahduskulman sini on yhtä iso kuin tangentti, ja näin ollen kulman kasvaessa virhekin kasvaa.

Ja siitä vaikeasta matematiikasta puheenollen, esim ihmisille, jotka eivät tunne numeroita, on kertolaskukin vaikeaa, ja mielestäni natematiikan vaikeus ei ole rajattavissa siihen, osaako kirjoittaa differentiaaliyhtälön vai ei, eikä myöskään matematiikkaa voi jakaa helppoon tai vaikeaan osaan, ja pidän edelleen heilahdusajan laskemista helpoimpina rutiinitehtävinä, sillä juuri yksinkertaisempaa alkuyhtälöä on vaikea kuvitella, yhtälö ratkeaa yksinkertaisella integroinnilla, ja tällainen trigonometriseen muotoon integroituvia esmerkki, lienee sieltä yleisemmästä päästä.

Muuten laulaminen se vasta on vaikeaa.

Joopa joo kirjoitti:

Haluaisinpa todella nähdä sen lukiolaisen, joka tehtävän ratkaisisi. Kokemukseni perusteella sanoisin, että vain fysiikkaa yliopistossa opiskelevat ja terävimmät teekkarit saisivat tehtävän ratkaistuksi ja heistäkin suurin osa vasta pitkän tuhertamisen jälkeen.

Lue lisää

Just joo.

Kyllä tuo lukion oppimäärällä ratkeaa. Olen ehkä terävä teekkari, mutta hädin tuskin opintoni aloittanut.

zieber kirjoitti:

Just joo.

Kyllä tuo lukion oppimäärällä ratkeaa. Olen ehkä terävä teekkari, mutta hädin tuskin opintoni aloittanut.

Aivan olet oikeassa

nabla kirjoitti:

Millä tasolla fyssaa pitää opiskella jotta tuollaisen laskun osaisi itse vääntää? (Itsestähän se on kiinni mitä oppii, mutta missä koulussa tuollaista edes opetetaan.. )

Opetetaanko esimerkiksi ammattikorkeakoulun inssipuolella tuollaista vai tuleeko eteen vasta yliopistossa?

Lue lisää

Itse laskeskelin vastaavia ongelmia jo abivuonna, mutta opiskelinkin kaikki tarjolla olleet matematiikan ja fysiikan kurssit ja olin ainakin arvosanojen perusteella keskimääräistä välkympi tapaus. Viimeistään avaruusfysiikan soveltavan kurssin jälkeen tälläiset olivat jo miltei peruskauraa. TKK:n ensimmäisten fysiikan peruskurssien jälkeen pitäisi sujua.
Tuossa edellä esitetyssä ratkaisussa on hyödynnetty tietoa, että onton pallokuoren sisällä on tasapotentiaali, jolloin tiettyä pistettä kauempana oleva massa ei vaikuta. Itse hyödyntäisin tietoa gravitaatiokentän lineaarisuudesta Maan sisällä. Toki jos näitä ei tiedä, niin sitten joutunee jo johtamaan funktion gravitaatiokentälle, mikä tuskin olisi onnistunut itseltä ennen toista matematiikan peruskurssia TKK:lla.