Itselle ei raja-arvon todistus mene vain päähän.
Jos on vaikka funktio x^2/x ja halutaan laskea raja-arvo kohdassa 1.
Tuosta saa raja-arvoksi kyllä helposti 1:n, ja vaikeammistakin lausekkeista saan sen kyllä laskettua, mutta miten tuon tarkka todistus menee tuolla raja-arvon määritelmällä?
Jos on vaikka funktio x^2/x ja halutaan laskea raja-arvo kohdassa 1.
Tuosta saa raja-arvoksi kyllä helposti 1:n, ja vaikeammistakin lausekkeista saan sen kyllä laskettua, mutta miten tuon tarkka todistus menee tuolla raja-arvon määritelmällä?
Vastaukset 15
Vanhimmat
Pisteen 1 ympäristössä x^2/x=x, joten haettu raja-arvo on sama kuin funktion f(x)=x raja-arvo pisteessä 1.
Olkoon p>0 mielivaltainen. Nyt
| f(x) - 1 | < p aina, kun 0
Tuossa tuli jotain suttua.
p.o. | f(x) - 1 | < p aina, kun 0< |x-1| 1, kun x -> 1.
Siis p.o.
| f(x) -1 |
p.o. | f(x) - 1 | nollan ja luvun p välissä. Jostain syystä nuo epäyhtälömerkit menevät sekaisin...
Sori, siis | x-1 | lukujen nolla ja p välissä...
Anteeksi, jos onnistuin sotkemaan sinun ajatuksia vaan entistä enemmän :(
Tuo esimerkki on triviaali koska funktio on jatkuva ja yksikäsitteinen kohdaa x=1 ympäristössä jolloin voit supistaa yhden x:n pois. Kohdassa x=0 niin ei voi tehdä. Todistaminen että funktion raja-arvo on tuolloin 0 menee samaan tapaan kuin edellä on esitetty. Eli jos 0
:D
Tosiaan, tuon sain lopulta myös pähkäiltyä jotenkin, oli sen takia vähän huono esimerkki kun tuon epsilonin sai suht helposti ja jopa jokseenkin järkevästi. Entä jos on vaikka, kuten eräässä kotitehtävässäni on: f(x) = (1/(x-(2*x^2))) - (1/x)
Näyttäisi että funktio lähestyy 1:tä kun f(x) -> 0. Tuon saa vielä supistamalla, mutta sitten kun se pitäisi todistaa määritelmän nojalla niin tulee ongelmia. Miten tuossa saa johdettua helposti yhteyden deltan ja epsilonin välille? Kun lähden muokkaamaan |f(x) - 1| saan sen muotoon (2*x^2 x) / (x-2*x^2) mutta en kyllä tajua miten saan tuosta minkäänlaista yhteyttä epsilonin ja deltan välille. Missä menen pahasti hakoteille?
Funktio tosin näyttää lähestyvän kahta, alussa ainakin tullut virhe. En siltikään tunnu saavan tuota järkevään muotoon.
Raja-arvo on 2. Siis f(x)-2=4*x^2/(x-2*x^2). Oletetaan että 0 < x < p ja lisäksi voit rajata tarkastelun alueelle p < 0,1. Tällöin saat | f(x) - 2 | < 4*p/(1-0,2).
Siis f(x)-2=4*x^2/(x-2*x^2). Tähän asti pääsin itsekin ja tähän asti pääsen muissakin tehtävissä. Tuo 0 < x < p avasi myös vähän lisää. Taisin tajuta vähän paremmin että noin voin "arvioida yli" tuota lauseketta? En kuitenkaan vieläkään tajua mitä tuossa oikein tapahtuu. Miksi tarkastelun voi rajata alueelle p < 0,1? Yritin sijoittaa myös p:tä x:n sijalle kun kerta p > x ja näin arvioida yli jolloin lauseke olisi suurempi kuin alkuperäinen ja siis voitaisiin valita epsilon joka olisi suurempi kuin tämä mutta en päässyt silläkään pitkälle.
Uskomatonta miten tällainen asia voi ottaa näin koville. Lukiossa ja muutamalla luennolla ollut kuuntelemassa mutta ei vain meinaa mennä jakeluun.
Siitä on about 45 vuotta kun itse enemmän harrastin noita mutta muistelen että joissain tapauksissa kikka oli tuo: sopiva yläraja joka selkeästi -> 0 saadaan kun tarkastelu rajataan suppeammalle alueelle ja voidaan tuon p:n tilalle sijoittaa sopivassa kohdassa vakioluku.
Voit tietysti ottaa lähtökohdaksi lausekkeen 4*p/(1-2*p) ja selittää että se -> 0 kun p -> 0 koska osoittaja pienenee ja nimittäjä kasvaa. Mutta tässäkin tapauksessa tarkastelu on rajattava alueelle p < 1.
Kannattaa aluksi sieventää mahdollisimman pitkälle. Näyttäisi tulevan
| f(x) - 2 | = 4|x| * 1/|1-2x|, kun x on nollasta eroava. Tätä arvioitaessa teknisiä ongelmia aiheuttaa se, että lausekkeella 1/(1-2x) on singulariteetti pisteessä 1/2. Koska raja-arvoa kuitenkin tarkastellaan pisteessä 1, voidaan olettaa, että |x-1| 1-2*1/4 = 1/2 ja siis edelleen 1/|1-2x|
Korjaan: raja-arvoa tarkastellaan nollassa. Voidaan siis olettaa |x-0| < 1/4, jolloin |1-2x|>1/2 jne.
Sori aiempi moka :)
Ok. Kiitoksia avusta, yritän selvitellä asiaa. Kyseinen tehtävä olikin sitten hyväksytty ihan vain "sijoittamalla", mutta täytyy silti yrittää ymmärtää tuo asia.