Lukion pitkän matematiika integraalilaskennan kirjassa oli seuraava tehtävä:
"Kuutio, jonka särmän pituus on 1, leikataan suoralla kahteen osaan yhdestä kärjestä alkaen niin, että kahdelle vierekkäiselle sivuille syntyvät leikkausurat ovat muodoltaan neljännesympyrän kaaria. Laske pienemmän osan tilavuus."
No, jos katsotaan kuutiota niin, että nähdään vain yksi tahko, ja tässä tapauksessa neljännesympyrän kaarii kulkee tahkon vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan. Seuraavaksi käännetään kuutiota 45 astetta vastapäivään ja poistetaan tuo tehtävänannon leikkauksen jälkeen muodostuva suurempi osa. Nyt kun katsotaan tästä perspektiivistä tuota pienempää osaa, muodostuva kaari(vasemmalla puolella) näyttää ellipsin neljännekseltä.
Sain tehtävästä oikean vastauksen hyödyntäen ellipsin yhtälöä. Opelle ei kelvannut, kun en ollut osannut perustella, miksi muodostuva kaari on ellipsin neljännes.
Kysymys kuuluu: miten voi perustella, että kaari ellipsin neljännes? Onko se edes sitä?
"Kuutio, jonka särmän pituus on 1, leikataan suoralla kahteen osaan yhdestä kärjestä alkaen niin, että kahdelle vierekkäiselle sivuille syntyvät leikkausurat ovat muodoltaan neljännesympyrän kaaria. Laske pienemmän osan tilavuus."
No, jos katsotaan kuutiota niin, että nähdään vain yksi tahko, ja tässä tapauksessa neljännesympyrän kaarii kulkee tahkon vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan. Seuraavaksi käännetään kuutiota 45 astetta vastapäivään ja poistetaan tuo tehtävänannon leikkauksen jälkeen muodostuva suurempi osa. Nyt kun katsotaan tästä perspektiivistä tuota pienempää osaa, muodostuva kaari(vasemmalla puolella) näyttää ellipsin neljännekseltä.
Sain tehtävästä oikean vastauksen hyödyntäen ellipsin yhtälöä. Opelle ei kelvannut, kun en ollut osannut perustella, miksi muodostuva kaari on ellipsin neljännes.
Kysymys kuuluu: miten voi perustella, että kaari ellipsin neljännes? Onko se edes sitä?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Sijoita kappale aluksi (kolmiulotteiseen) koordinaatistoon. Määritä sitten leikkauskäyrän yhtälö muuttujien x, y ja z avulla. Tämän jälkeen voit muodostaa projektion, josta näet, onko kyseessä ellipsin osa.
Kyllähän se on ellipsi, ja jotenkin näin se on perusteltavissa. Mutta on se teidän opettaja on kyllä täydellinen törppö, jos ei ole ratkaisua hyväksynyt, jossa olet käyttänyt tuota ellipsin yhtälöä. Se ratkaisu olisikin mukava nähdä, minä en edes yritä ratkaista sitä ellipseillä, noissa ympyrän kaarissakin on jo vääntämistä.
http://aijaa.com/h75B2w
Ei täsmää noi koordinaattiakselit tuossa tilavuuslaskussa, y lähtee väärään suuntaan ja x väärästä paikasta, mutta tässä: http://aijaa.com/MRVjsy
Vastauksen kannalta olisi oleellista myös tietää, ovatko pienemmän kappaleen kaksi leikkauksessa mukana ollutta sivua suurempia vai pienempiä kuin alkuperäisen kuution tahkon pinta-alan puolikas. Pelkästään tuon kuvauksen avulla ei saada yksikäsitteistä kappaletta.
Onko tehtävän yhteydessä jotain kuvaa?
Kiitos vastauksista.
Taisin selittää melko sekavasti. Kappale on muuten sama kuin aeijan jälkimmäisen viestin linkissä, mutta neljännesympyrän kaari pullottaa toiseen suuntaan.
Melko simppelihän tuo on. x^2 y^2=1, ratkaistaan tuosta positiivinen y(suorakulmaisen kolmion kateetti), ja edelleen tilavuusalkio on suorakulmainen kolmio, jonka pinta-ala kohdassa x on 1/2y^2. Ja siitä määrätty integraali välillä [-1,0]. Vastaus on 1/3.
Ellipsivastauksessa taisin käyttää tilavuusalkiona suorakulmiota. Suorakulmion korkeus on ellipsin pisteen y-koordinaatti kodassa x. Ja suorakulmion kannan sain kuution pohjatahkoon muodostuvan suorakulmaisen kolmion hypotenuusasta kohdassa x. Ja tästä määrätty integraali välillä [-1/2neliöjuuri2,0]
Yritänpä vielä laskea tuon, jos onnistuisi.
"Kappale on muuten sama kuin aeijan jälkimmäisen viestin linkissä, mutta neljännesympyrän kaari pullottaa toiseen suuntaan"
Sitä minä vähän mietinkin. Aeijan viestin kaltainen tapaus johtaisi integraaleihin, jotka ovat lukiotasolle liian vaikeita.
Kyllä se vaan lukion kirjassa oli http://aijaa.com/9c4I66
Onnistuihan tuo.
Sijoitetaan ellipsin yhtälöön tiedot b=1 ja a=1/2neliöjuuri2. Ratkaistaan yhtälöstä positiivinen y. Tämä on siis tilavuusalkion korkeus.
Tilavuusalkion kanta kohdassa x on 2x. Tämä tosin täytyy kääntää -2x, koska integrointiväli on negatiivinen (paitsi päätepiste 0)
Kerrotaan edelliset niin saadaan tilavuusalkion pinta-ala kohdassa x. Ja siitä määrätty integraali välillä [-1/2neliöjuuri2,0]