On todistettu, ettei kuuluisaa kontinuumihypoteesia voi todistaa oikeaksi tai vääräksi, mutta onko kaikki aivan sitä miltä näyttää?
Välillä käytetään ominaisuutta 1/n = 0, kun n --> ∞, josta siis seuraa reaalilukujen ominaisuus 0,999... = 1,000...
Välillä taas käytetään ominaisuutta 1/n > 0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n, jolloin ei voidakaan sanoa, että 0,999... = 1,000...
Induktioaksiooman vuoksi luonnollisilla luvuilla ei ole suurinta alkiota (N=N 1 johtaa ristiriitaan), mutta ominaisuus 1/n > 0 pätee aina.
Ei siis mikään ihme, että lukujoukkojen kardinaliteettia koskevat todistukset ovat ristiriitaisia!
Välillä käytetään ominaisuutta 1/n = 0, kun n --> ∞, josta siis seuraa reaalilukujen ominaisuus 0,999... = 1,000...
Välillä taas käytetään ominaisuutta 1/n > 0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n, jolloin ei voidakaan sanoa, että 0,999... = 1,000...
Induktioaksiooman vuoksi luonnollisilla luvuilla ei ole suurinta alkiota (N=N 1 johtaa ristiriitaan), mutta ominaisuus 1/n > 0 pätee aina.
Ei siis mikään ihme, että lukujoukkojen kardinaliteettia koskevat todistukset ovat ristiriitaisia!
Vastaukset 4
Vanhimmat
En näe ristiriitaa sanoa samanaikaisesti, että 1/n lähestyy nollaa kun n kasvaa rajatta ja että 1/n on aina suurempi kuin nolla.
Ei siis mikään ihme, että lukujoukkojen kardinaliteettia koskevat todistukset ovat ristiriitaisia!"
Tätä olen itsekin miettinyt, mutta päädyin tulokseen, että Cantorin omat aksioomat ovat vääriä kun mennään käsittelemään äärettömyyksiä.
1/n>0 aina, mutta eri äärettömyyksiä taas ei ole, vaan Cantorin diagonaalitodistus sille, että olisi eri kardinaliteetin äärettömyyksiä perustuu väärille premisseille.
Mitäpä jos otetaan käyttöön äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma:
On olemassa vain yksi äärettömyys, jota enempää ei voi olla.
Simple as that!
Matemtiikka pitää perustaa fysiikkaan.
Heh, numeroituvasti äärettömät ja ylinumeroituvat joukot ovat aivan erilaisia olioita jo suhteellisen perustason matematiikassa (mm. mittateorian alkeet). Saat kirjoittaa vakiintuneen matematiikan pitkälle uusiksi tuosta "premissistä".
Sillä ei ole väliä muuttuuko matematiikka, vaan sillä mitä fysiikka on.
Fysikaalisesti äärettömästä ei voi olla enempää.
Ota huomioon se seikka, että mitä ei voida empiirisesti todistaa on pelkkää "sanahelinää". Sellaisella matematiikalla, jolla ei ole käytännön hyötyä on yhtä paljon arvoa kuin jollain satukirjalla.
Tietysti matemaatikko narsismissaan ei usko, ja sanoo:
Mutta kun ne aksioomat on nyt näin!
"Cantorin ajatukset kohtasivat matemaatikkopiireissä runsaasti vastustusta. Cantorin vastustajista tunnetuimpia oli Leopold Kronecker. Henri Poincarén väitetään sanoneen Tulevat sukupolvet yoteavat, että joukko-oppi oli sairautta, josta olemme onneksi parantuneet."
http://fi.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor