Opiskelijaa rääkätään tällaisella:
Olkoon satunnaismuuttujien x, y ja z yhteisjakauman tiheysfunktio
f(x,y,z) = exp(-x-y-x), kun 0 < x, y, z < oo (ääretön), ja 0 muualla.
Laske odotusarvo E{exp[t(x y z)]}, t < 1.
Valitan sulkuhirviötä, mutta ei sitä tänne voi muutenkaan kirjoittaa; ei niin pahan näköistä, kun kirjoitaa potenssin e:n yläindeksinä. En enää saa oikein selvää omistakaan töherryksistäni, mutta sain jonkinlaisen järkeenkäyvän tuloksen:
E(...) = (1 - t)^(-3).
Löytyisikö palstalta joku rutinoitunut integroija, joka tsekkaisi, onko sinne päinkään? Kiitos jos!
Olkoon satunnaismuuttujien x, y ja z yhteisjakauman tiheysfunktio
f(x,y,z) = exp(-x-y-x), kun 0 < x, y, z < oo (ääretön), ja 0 muualla.
Laske odotusarvo E{exp[t(x y z)]}, t < 1.
Valitan sulkuhirviötä, mutta ei sitä tänne voi muutenkaan kirjoittaa; ei niin pahan näköistä, kun kirjoitaa potenssin e:n yläindeksinä. En enää saa oikein selvää omistakaan töherryksistäni, mutta sain jonkinlaisen järkeenkäyvän tuloksen:
E(...) = (1 - t)^(-3).
Löytyisikö palstalta joku rutinoitunut integroija, joka tsekkaisi, onko sinne päinkään? Kiitos jos!
Vastaukset 12
Vanhimmat
En osaa, mutta onko tuossa virhe kun kirjoitit f(x,y,z) = exp(-x-y-x) etkä f(x,y,z) = exp(-2x-y)?
Äääh, onhan siinä virhe. Pitää olla f(x,y,z) = exp(-x -y-z). Siis z:n paikalle oli lipsahtanut toinen x. Outoa olisi, jos f(x,y,z):sta katoaisi z noin vaan oikealta puolelta, kun arvoja on 0 < z < oo. Kiitos huomautuksesta!
Rutiini-integroinnista on aikaa nelisenkymmentä vuotta, joten puolisen tuntia piti meikäläisen äheltää. Jos 2 tunnin tentissä on 4 samanlaista tehtävää, niin aika tarkkaan istuu loppuun asti, jos jotain meinaa tarkistaakin.
Lähellä kipukynnystä tehtävä on, mutta eläinsuojelulakia aletaan soveltaa vasta kun samanlaista pitää laskea karakteristisilla funktioilla ;-). En tiedä, edistääkö tällainen tehtävä lopulta paljonkaan asioiden ymmärtämistä.
Sama tulos tuli!! Alussa hämmensivähän ∞ muuttujien ylärajana, mutta e:n kanssa tripla-integroitaessa pudotaan lopulta taivaista maan päälle.
Oman laskuni loppuvaiheet olivat
/ 0:sta ∞:ään [1/(t - 1)^3]exp[t - 1)z] = -[1/(t - 1)^3]exp[(t - 1)·0] = -1/(t - 1)^3 =
(1 -t)^(-3). z putoaa kuvioista, koska e^0 =1.
Odotusarvo on lauseke I(0<= x) dx I(0 <= y) dy I(0<= z) e^((t-1) (x y z)) dz = (1 - t) ^(-3). Integrointi on aivan helppo.
I(0 <= z) e^((t - 1) (x y z) dz = -(1/(t - 1)) e^((t - 1) (x y)). Tämän integraali y.n suhteen on (1/(t-1)^2) e^ ((t - 1)x) dx = -(1/(t-1)^3) = 1/(1-t)^(-3).
Ohman
Tuli painovirhe viimeiseen lausekkeeseen. P.O. 1/(1-t)^3 (= (1-t)^(-3).
Ohman
Taisi miinusmerkki jäädä pois toiseksi viimeisestä. Ylempänä se kyllä on.
Mitä tarkoitit? Minun nähdäkseni sen toiseksi viimeisen lausekkeen edessä on miinusmerkki.Sen sijaan tuohon korjauskommenttiini ilmestyi ylimääräinen (.
Ohman
Sanoin kyllä huonosti tuossa kun sanoin "Tämän integraali y:n suhteen on ...dx". Tämän jälkeen olisi pitänyt sanoa "jonka integraali x:n suhteen on sitten -(1/(t-1)^3). Minä panin vain yhtäsuuruusmerkin tuohon lausekkeiden väliin ja sehän ei ole oikein ilman tuota integrointia.
Ohman
Tämä on pirullista kun kirjoitettua tekstiä ei voi muokata vaan aina on kirjoitettava uusi kommentti.
Kun ihan tarkkoja ollaan niin tuossa " Tämän integraali y:n suhteen on ...dx" on tuo dx liikaa.
Ohman
Se puuttuva miinus on P:O:n jälkeen . Edeltävässä viestissäsi se kyllä oli, tahaton lapsus siis.
Ei puutu mitään, lukisit huolellisemmin tekstini. Tuossa P:O:-jutussa korjasin sen, että edellä oli tullut vahingossa eksponentti -3 vaikka piti olla 3.
Kirjoitan nyt koko letkan:
-1 / (t-1)^3 = 1/(1 - t)^3 = (1 - t)^(-3).
Siinä virheellisessä viestissä oli tuossa keskimmäisessä lausekkeessa virheellinen eksponentti -3.
Joko tuli sinulle tarpeeksi "rautalankaa"? Vai pitääkö vääntää lisää?
Ohman
Käytännössä jos matematiikan tehtäviä tarkistetaan siten että jos vastaus on yhtään väärin niin nolla pistettä pääsisi aika harvoin kukaan mistään läpi. Mutta usein saa pisteitä vaikka vastaus olisi väärin jos on vaikka ratkaissut ison tehtävän missä monia yhtälöitä ja jossain yhdessä kohtaa laskenut jonkin yksittäisen jutun väärin niin silti ei ole nolla pistettä.