Todistus: 0*x = 0

Tuosta voisi tietysti kysyä, mistä tuo 1*x=x tulee?

1*x = (3-2)x = 3x - 2x = x :)

NiinTaiNäinTaiToisinPäin kirjoitti:

Tuosta voisi tietysti kysyä, mistä tuo 1*x=x tulee?

blankoon vastaus on ok. Reaaliluvut ovat täydellinen järjestetty kunta. Kunnassa on olemassa sekä yhteen- että vähennyslasku ja siellä pätee tuo distribuutiolaki jota blankoo käytti. 1 * x = x tulee yksinkertaisesti siitä, että kunnassa tulee olla kertolaskun 1-alkio joka toteuttaa tuon yhtälön.Lisäksi siellä on siis yhteenlaskun 0-alkio.

Jos kyseessä olisi vain luonnollisten lukujen joukko niin ainakin varsin usein Peanon aksioomat esitetään niin, että 0 ei kuulu luonnollisten lukujen joukkoon eikä tulo
0*x siis ole siellä määritelty.

Joissakin esityksissä näytetään hyväksyvän nollakin luonnolliseksi luvuksi


Ohman

Jos 0 on mukana, Peanon aksioomat menevät kai seuraavasti (s(q) on luvun q seuraaja):
p 0=p
p s(q)=s(p q)
p*0=0
p*s(q)=p*q p
Eli silloin nollalla kertominen on aksiooma.

Totean vain, että Peanon aksioomeista seuraavia teoreemoja ovat mm.:

( N = 1,2,...)

1. On olemassa yksi ja vain yksi binäärinen operaatio : N x N -> N jolla on seuraavat ominaisuudet kaikille n, m jotka kuuluvat luonnollisten lukujen joukkoon N

a. n 1 = s(n)

b. n s(m) = s(n m)


2. On olemassa yksi ja vain yksi binäärinen operaatio * : N x N -> N jolla on seuraavat ominaisuudet kaikille n,m jotka kuuluvat joukkoon N:

a. n * 1 = n

b. n * s(m) = (n *m) n

Nuo laskutoimitukset ja * siis saadaan määriteltyä Peanon aksioomien avulla ja sitten teoreemoja (ei aksioomia) ovat nuo äsken mainitut.

Muut luonnollisten lukujen laskutoimitusten ja * ominaisuudet seuraavat teoreemoina aksioomeista yllä olevien teoreemojen avulla.

En nyt jatka tästä enempää. Reaaliluvuille blankoon vastaus on hyvä, ei siinä enempää tarvita.

https://matta.hut.fi/matta/mma/peano.pdf
Niin kuin tuon kirjoitelman lopussa todetaan, Peanon aksioomat luonnollisille luvuille voidaan määritellä myös niin että 0 on seuraajaton luku jolloin aksioomat muuttuvat vastaavasti.

No kommentoin nyt vielä sen verran, että esitit aksioomina jutussasi asioita jotka ovat tuon teorian teoreemoja. Vertaahan nyt omaa ja juttuasi ja minun siihen tekemääni kommenttia.

Peanon aksioomat voidaan modernilla tavalla ilmaista näin:

On olemassa joukko N , sen alkio 1 ja funktio s: N -> N jotka toteuttavat seuraavat kolme ominaisuutta.

a. Ei ole N:n alkiota n jolle s(n) = 1.

b. Funktio s on injektio.

c. Olkoon G joukon N osajoukko. Oletetaan että 1 on sen alkio ja että jos g on sen alkio niin s(g) kuuluu myös joukkoon G. Silloin G = N.

Näistä voidaan todistaa muut luonnollisten lukujen ominaisuudet.

Aksioomat on varsin tavallista kirjoittaa näin. Tuota nollan ottamista mukaan näkyy kartettavan Tietysti historiallisesti 0 on keksitty paljon myöhemmin kuin luvut 1,2,... ja ei siis historiallisesti ole yhtä "luonnollinen" luku kuin nuo muut. Mutta ehkä tähän on jokin muukin syy, en tähän hätään osaa sanoa, mikä.

Ainakin on niin että jos otetaan kiinteä n niin funktio fn(m) = n m ( N -> N) on injektio kun n =/ 0 mutta ei ole jos n = 0.

Ohman

Jos n=1, kaavasta saadaan: 1*x=0*x x. Tuo kertolaskun "lähtökohta" pitää kai jossain määritellä, muuten ei ole kai itsestään selvää että (-1)*x=-x