Mukava tehtävä

a) Lukujen jaollisuus ei mitenkään riipu siitä lukujärjestelmästä jossa luvut esitetään. Koska luku on jaollinen 5:llä 10-järjestelmässä on se jaollinen 5:llä myös kaikissa k-järjestelmissä (k > 5).

b) 1 x k^9 1 x k^8 2 x k^7 2 x k^6 3 x k^5 3 x k ^4 ^4 x k^3 4 x k^2 5 x k^ 5 = (k 1) ( k^8 2 k^6 3 k^4 4 k^2 5)

Eli kun k > 5 on tuo luku aina jaollinen luvulla k 1.

Ohman

k>5 ja k-järjestelmän luku A = 1122334455 on tuo k:n polynomi joka voidaan, kuten aiemmin jo kerroin, esittää tulona

A = (k 1) ( k^8 2 k^6 3 k^4 4 k^2 5).

Nähdään heti, että 5 l A jos 5 l k tai 5 l (k 1) eli kun k = 5 n tai k = 5n - 1.

Jos k ei ole kumpikaan noista niin jotta 5 l A täytyy olla niin että

5 l (k^8 2 k^6 3 k^4 4 k^2 5). Mutta jos 5 jakaa tuon lausekkeen ja koska 5 l 5 niin täytyy olla että 5 l (k^8 2 k^6 3 k^4 4 k^2). Mutta koska oletettiin että k ei ole muotoa 5 n niin täytyy olla että

5 l (k^6 2 k^4 3 k^2 4).

Olkoon k = a 5 b missä b = 1,2 tai 3. 0 ei oletuksen mukaan ole mahdollinen ja jos k = 5 a 4 = 5 a 5 - 1 = 5(a 1) -1 niin tiedetään jo, että k l A.Jos k = 5 a 1 niin 5 l (k^6 2 k^4 3 k^2 4) sillä tuosta k:n polynomista tulee a:n polynomi joissa kaikissa muissa termeissä kuin vakiotermissä esiintyy 5 tekijänä ja tuo vakiotermi taas on 10.

Jos b = 2 tai 3 niin vakiotermi ei ole jaollinen luvulla 5 vaikka muut termit ovat joten saatu polynomi ei ole jaollinen luvulla 5.

Nähdään, että muita k:n arvoja kuin k= 5n-1, k=5 n tai k = 5 n 1 ei ole.

Ohman

5 l (k^6 2 k^4 3 k^2 4). Tästä päästään mukavasti myös Fermat'n pienellä lauseella eteenpäin. Koska tapaus, jossa k on viidellä jaollinen on jo tutkittu, tiedetään, että k^4=1 mod 5 ja k^6=k^2 mod 5. Siis 4k^2 6 on oltava jaollinen viidellä. Koska viidellä jaollisen luvun vähentäminen ei muuta tilannetta, voidaan tutkia polynomia -k^2 1. Siis k^2=1 mod 5 eli k=1 tai k=-1 mod 5. Siis k=5n 1 tai 5n-1.

1122334455 on siis peräti jaollinen luvulla 25, kun k=5n-1.

Viiteen päättyvä luku on jaollinen viidellä jos lukujärjestelmän kantaluku on jaollinen viidellä.