Hei tarvitsisin apua tehtävissä, ja luulen että muutkin tarvitsevat. Tähän ketjuun voisi laittaa ongelma tehtäviä ja apua voisi antaa tarvitseville ne jotka osaavat?
Tehtävä on seuraavanlainen:
Onko funktio a(x)=x(2x-1)^3 funktion b(x)=(8x-1)(2x-1)^2 integraalifunktio?
En saa derivoitua funktiota, laskimella menee oikein mutta olisi hyvä myös osata derivoida. Käytetäänkö tässä ketjusääntöä?
Tehtävä on seuraavanlainen:
Onko funktio a(x)=x(2x-1)^3 funktion b(x)=(8x-1)(2x-1)^2 integraalifunktio?
En saa derivoitua funktiota, laskimella menee oikein mutta olisi hyvä myös osata derivoida. Käytetäänkö tässä ketjusääntöä?
Vastaukset 2
Vanhimmat
Menee ainakin tulon ja yhdistetyn funktion derivoinnin säännöillä
(a*b)'=a'*b a*b'
(a(b))'=a(b)'*b'
Itseäni ei huvittanut derivoida tuota polynomia a(x), joten ratkaisin tehtävän helposti käyttämällä osittaisintegroinnin kaavaa eli kaavaa, jonka mukaan integraali tulofunktiosta f'(x)g(x) = f(x)g(x) - integraali tulofunktiosta g'(x)f(x). Perskeles muuten kun ei näppäimistössä missään oikein näytä olevan tuota integraalin merkintää, niin käytetäänpäs nyt olosuhteiden pakottamana integraalin merkintänä vanhaa kunnon isoa s -kirjainta. Siis osittaisintegroinnin kaavan mukaan S(f'(x)g(x)) = f(x)g(x) - S(g'(x)f(x)). (Tuohan on varsin helppo tarkistaa, mikäli jotakuta epäilyttää kaavan toimivuus --> D(f(x)g(x) - S(g'(x)f(x))) = f'(x)g(x) f(x)g'(x) - g'(x)f(x) = f'(x)g(x) q.e.d.) Nyt voidaankin siis sijoittaa f'(x) = (2x - 1)^2 ja g(x) = 8x - 1. Tästä g'(x) = 8 ja helpolla integroinnilla f(x) = 1/6(2x - 1)^3. Sitten ei muuta kuin soveltamaan kaavaa; itse sain integraalifunktioksi 1/6(2x - 1)^3(8x - 1) - 1/6(2x -1)^4 C (missä C on vakio), jota kannattaa vähän sievennellä, että huomataan, onko mainittu polynomi sama kuin a(x). Otetaan 1/6(2x - 1)^3 yhteiseksi tekijäksi kaikille muille polynomin jäsenille kuin C:lle, jolloin saadaan polynomi muotoon (1/6(2x - 1)^3)((8x - 1) - (2x - 1)) C. Jälkimmäinen tulon tekijä supistuu kivaksi ensimmäisen asteen polynomiksi 6x, joka jaettuna 6:lla tuottaa x:n. Siis kyseinen integraalifunktio on x(2x - 1)^3 C eli a(x), kun C:n paikalle sijoitetaan vakio 0. Näin ollen funktio a(x) on funktion b(x) integraalifunktio.