1.) Määritä funktion f(x) = x³ 3x² - 1 suurin ja pienin arvo välillä -3 <= x <= 2.
2.) Määritä käyrälle y = x² pisteeseen (1,1) piirretyn tangentin yhtälö.
Välivaiheineen
Kiitos paljon avusta.
2.) Määritä käyrälle y = x² pisteeseen (1,1) piirretyn tangentin yhtälö.
Välivaiheineen
Kiitos paljon avusta.
Vastaukset 4
Vanhimmat
1.Oliko funktio f(x) = x^3 3 x^2 - 1 ? Jos oli, niin
f'(x)= 3 x^2 6 x ja f'(x) = 0 kun x = 0 tai kun 3 x 6 = 0 eli kun x = - 2.
f''(x) = 6 x 6. f''(0) = 6 > 0 eli kyseessä minimi. f''(- 2) = - 6 < 0 eli kyseessä maksimi.
Päättelyn voi tehdä myös tutkimalla f':n etumerkkiä. Kun x ohittaa pisteen x = 0 vasemmalta oikealle kulkien (negatiiviselta x-akselin puolelta positiiviselle ) niin f' vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi joten kyseessä on minimi. Kun x ohittaa samalla tavalla pisteen x = - 2 niin f' vaihtuu positiivisesta negatiiviseksi ja kyseessä siis on
maksimi.
Vielä on tarkastettava mitä arvoja f saa välin (-3,2) päätepisteissä. f(- 3) = - 1 ja f(0) = - 1 joten nämä arvot ovat samat ja tuo -1 on siis funktion pienin arvo kyseisellä välillä.
f( 2) = 8 3*4 - 1 = 19 ja siis f(2) > f(- 2) = -8 12 - 1 = 3 eli suurin arvo tulee tuolla välin päätepisteessä x = 2 ja pisteessä x = - 2 on vain lokaali maksimi.
Sinun kannattaa näitä laskiessasi käydä wolfram alphassa. Kun kirjoitat sinne tuon funktion lausekkeen se piirtää funktion kuvaajan ja näet havainnollisesti miten funktio käyttäytyy.
2. Pisteen (1,1) kautta kulkevan suoran yhtälö on ihan yleisesti
y - 1 = k (x - 1) missä k on kulmakerroin. Funktion derivaatta psteessä x on sen tangentin kulmkakerroin tuossa pisteessä. Kun y(x) = x^2 niin y'(x) = 2 x ja y'(1) = 2 eli tangenttisuoran yhtälö on
y - 1 = 2 (x - 1) tai toisin kirjoitettuna y = 2x - 1.
Ohman
P.S. Jos kirjoitat wolfram alphan kysymyskenttään "tangentline of x^2 at x = 1) se antaa tuon tangentin yhtälön ja piirtää kuvankin. Nämä nyt vain ylimääräisiä apuneuvoja johonkin epävarmaan tilanteeseen.
Ohman
Tällaiseen päädytään kun ei ymmärretä kysymystä ja ruvetaan mekaanisen sokeasti noudattamaan opittuja laskumenetelmiä.
Kysymys oli : 1.) " Määritä funktion f(x) = x³ 3x² - 1 suurin ja pienin arvo välillä -3 <= x <= 2. "
Suurin arvo on luonnollisesti x.n arvolla 2 =19, sen näkee jo kaavasta, eikä löydy tangentin nollakohtia hakemalla kuten minimiarvo.
Et näköjään lukenut kommenttiani tai sitten et ymmärtänyt sitä. Kyllä minä selvästi ilmoitin, että lokaali maksimi on pisteessä x = -2 mutta suurin arvo pisteessä x = 2.Lisäksi kysyttiin pienintäkin arvoa jonka myös ilmoitin.
Sinun kaltaisesi kommentoijat joutaisivat roskikseen.
Ohman