Luvut m ja n

(1 n/m)^(-1); (1 n/m)^(m n)

m/m n , suurin arvo [(m)^m (n)^n]/(m n)^m n

h(x) = x^m * (1-x)^n
h'(x) = m x^(m-1) (1-x)^n - n x^m (1-x)^(n-1) = 0
1. x = 0. h(0) = 0. Ei ole maksimi koska kyseisellä välillä h(x) >= 0.Tämä on pienin arvoi välillä 0 <= x <= 1.
2. x = 1. h(1) = 0. Ei ole maksimi vaan pienin arvo välillä 0 <= x <= 1).

3. m (1-x) - n x = 0 => m - mx - nx = 0 => x = m/(m n)

Kyseisellä välillä 0 <= x <= 1 ei ole muita kriittisiä pisteitä kuin x = 0,1 tai m/(m n) ja pisteet 0 ja 1 eivät ole maksimipisteitä.

h (m/(m n)) = (m/(m n))^m * (n/(m n))^n > 0 kun 0 < x < 1 joten funktiolla on maksimi pisteessä x = m/(m n).

Voi tietysti kirjoittaa näinkin: h(m/(m n)) = m^m* n^n /(m n)^(m n).

Siinä niitä kaivattuja perusteluja.

Ohman

Tuo miinusmerkki tulee siitä, että funktion 1 - x derivaatta on - 1.Kun derivoidaan (1-x)^n niin lasketaan yhdistetyn funktion derivoinnilla: d/dx (1-x)^n = n (1-x)^(n-1) * d/dx(1-x) = - n(1-x)^(n-1).

3. h'(x) = x^(m-1) * (1-x)^(n-1) * (m(1-x) - n x) joten h' = 0 kun x= 0, x= 1 tai x= m/(m n).

Ollakseni ihan tarkkana niin antamani todistus sanavalintoineen pätee kun n > 1 ja m > 1.Muuloin tulee pikku ero noiden kriittisten pisteiden kanssa.

Jos m = 1 ja n > 1 niin h(x) = x(1-x)^n ja h'(x) = (1- x)^n - n x (1-x)^(n-1) = (1-x)^(n-1) * (1-x -nx) =

(1-x)^(n-1) *(1- (n 1)x) joten kriittisiä pisteitä ovat x = 1 ja x = 1/(n 1) eli 0 ei nyt ole kriittinen piste.Mutta edelleen on h(x) >0 kun 0 < x < 1 ja h(0) = h(1) = 0 joten x = 1/(1 n) on maksimipiste.Ja tämähän on juuri tuo m/(m n) arvolla m= 1.

Jos m > 1 ja n = 1 on h(x) = x^m(1-x) ja h'(x) = m x^(m-1)(1-x) - x^m = x^(m-1) ( m(1-x) - x) =

x^(m-1) ( m - (m 1)x) ja h' = 0 kun x= 0 tai x = m/(m 1). Nyt 1 ei ole kriittinen piste mutta edelleen on h(0) = h(1) = 0 ja h(x) > 0 kun 0 < x < 1 ja taas tuo piste m/(m n) eli tässä tapauksessa m/(m 1) on maksimipiste.

Jos m= 1 ja n = 1 niin h(x) = x(1-x) ja h'(x) = 1-x - x = 1 - 2x. h' = 0 kun x = 1/2 eli taas pätee että kriittinen piste on m/(m n) arvoilla m= 1 ja n = 1. Nyt 0 ja 1 eivät ole kriittisiä pisteitä mutta edelleen on h(0) = h(1) = 0 ja h(x) > 0 kun 0 < x < 1 joten x= 1/2 on maksimi.

Tällaiseksi menee kun ihan tarkkoja ollaan! Mutta aina siis pätee, että maksimipiste on m/(m n) kun m> 0 ja n > 0 kuten tehtävässä oletettiin.

Ohman

Tuo miinusmerkki tulee siitä, että funktion 1 - x derivaatta on - 1.Kun derivoidaan (1-x)^n niin lasketaan yhdistetyn funktion derivoinnilla: d/dx (1-x)^n = n (1-x)^(n-1) * d/dx(1-x) = - n(1-x)^(n-1).

3. h'(x) = x^(m-1) * (1-x)^(n-1) * (m(1-x) - n x) joten h' = 0 kun x= 0, x= 1 tai x= m/(m n).

Ollakseni ihan tarkkana niin antamani todistus sanavalintoineen pätee kun n > 1 ja m > 1.Muuloin tulee pikku ero noiden kriittisten pisteiden kanssa.

Jos m = 1 ja n > 1 niin h(x) = x(1-x)^n ja h'(x) = (1- x)^n - n x (1-x)^(n-1) = (1-x)^(n-1) * (1-x -nx) =

(1-x)^(n-1) *(1- (n 1)x) joten kriittisiä pisteitä ovat x = 1 ja x = 1/(n 1) eli 0 ei nyt ole kriittinen piste.Mutta edelleen on h(x) >0 kun 0 < x < 1 ja h(0) = h(1) = 0 joten x = 1/(1 n) on maksimipiste.Ja tämähän on juuri tuo m/(m n) arvolla m= 1.

Jos m > 1 ja n = 1 on h(x) = x^m(1-x) ja h'(x) = m x^(m-1)(1-x) - x^m = x^(m-1) ( m(1-x) - x) =

x^(m-1) ( m - (m 1)x) ja h' = 0 kun x= 0 tai x = m/(m 1). Nyt 1 ei ole kriittinen piste mutta edelleen on h(0) = h(1) = 0 ja h(x) > 0 kun 0 < x < 1 ja taas tuo piste m/(m n) eli tässä tapauksessa m/(m 1) on maksimipiste.

Jos m= 1 ja n = 1 niin h(x) = x(1-x) ja h'(x) = 1-x - x = 1 - 2x. h' = 0 kun x = 1/2 eli taas pätee että kriittinen piste on m/(m n) arvoilla m= 1 ja n = 1. Nyt 0 ja 1 eivät ole kriittisiä pisteitä mutta edelleen on h(0) = h(1) = 0 ja h(x) > 0 kun 0 < x < 1 joten x= 1/2 on maksimi.

Tällaiseksi menee kun ihan tarkkoja ollaan! Mutta aina siis pätee, että maksimipiste on m/(m n) kun m> 0 ja n > 0 kuten tehtävässä oletettiin.

Ohman

Kun lähetin tuon viestin niin tuli teksti "Palvelinvirhe" joten luulin lähetyksen epäonnistuneen ja lähetin uudestaan. Sama juttu! Mutta näkyi silti tulleen tänne molemmilla kerroilla.

Ohman

Kun lähetin tuon viestin niin tuli teksti "Palvelinvirhe" joten luulin lähetyksen epäonnistuneen ja lähetin uudestaan. Sama juttu! Mutta näkyi silti tulleen tänne molemmilla kerroilla.

Ohman

Kun lähetin tuon viestin niin tuli teksti "Palvelinvirhe" joten luulin lähetyksen epäonnistuneen ja lähetin uudestaan. Sama juttu! Mutta näkyi silti tulleen tänne molemmilla kerroilla.

Ohman

Kiitos selvennyksestä!

3. h'(x) = x^(m-1) * (1-x)^(n-1) * (m(1-x) - n x)

Miten tämä on pyöräytetty tällä tavoin? Joku matemaatikkojen kikka kolmonen joka ei minulle aukene...

En edelleenkään älyä tuota tekijöihin jakamista...