Tehtävänanto: Suorakulmaisen kolmion sisään piirretään suorakaide, jonka yksi kärkipiste on hypotenuusalla ja toinen tämän vastaisessa kolmion nurkkapisteessä. Kaksi suorakulmion sivuista sijaitsee siis kolmion kateeteilla. Mitkä ovat pinta-alaltaan suurimman tällaisen suorakaiteen mitat, kun kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 12 yksikköä?
Olen saanut muodostettua kolmion vastinsivujen verrannot: 12/y = 5/x, josta y= 12x/5
jolloin suorakaiteen pinta-ala A= x * (12x/5) --> A=12x^2 / 5
Tästä eteenpäin lyö tyhjää. Jos derivoin lausekkeen, saan:
f'(x) = 12x / 5
Miten tuosta saa selvitettyä x:n? Oon pähkäillyt tulon nollasäännön kanssa, muttei mee jakeluun.. auttakaa tyhmää!
Olen saanut muodostettua kolmion vastinsivujen verrannot: 12/y = 5/x, josta y= 12x/5
jolloin suorakaiteen pinta-ala A= x * (12x/5) --> A=12x^2 / 5
Tästä eteenpäin lyö tyhjää. Jos derivoin lausekkeen, saan:
f'(x) = 12x / 5
Miten tuosta saa selvitettyä x:n? Oon pähkäillyt tulon nollasäännön kanssa, muttei mee jakeluun.. auttakaa tyhmää!
Vastaukset 11
Vanhimmat
Verranto on väärin , siihen tulee: 12/5=y/(5-x) ............(tan(alfa))
Siis tuo tanalfa) meinaa sitä, että ota tangentti jommasta kummasta terävästä kulmasta molemmista yhdenmuotoisista kolmioista, niin saat oikean verrannon. Sulla tosin saattaa ola ne yhdenmuotoiset kolmiotkin piirretty väärin.
(12-x)/y=12/5. Merkitään suorakulmion sivuja muuttujilla x ja y.
y=5/12*(12-x)
A (x)=xy=5/12*(12x-x^2)
A'(x)=5/12*(12-2x)
A'(x)=0→12-2x=0→x=6. Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten kyseessä on maksimi.
y=5/12*(12-6)=5/2=2,5
Kiitos paljon avusta! :)
Toisella tapaa maalaisjärkeä käyttäen.
Olkoon suorakulmion pidemmällä kateetilla sijaitsevan sivun pituus s; tällöin sen toisen sivun pituus on 5 * (1 - s/12), jolloin nähdään, että suorakulmion ala eli sivujen tulo on s:n funktiona alaspäin aukeava parabeli. Ala on luonnollisesti 0 kun s=0 tai 12, jolloin ääriarvo on näiden puolivälissä eli s=6 ja toinen sivu 5 * (1 - 6/12) = 2.5. Eipä tässä tarvittu derivointeja eikä tangentteja.
3. tapa:
Kolmion kärjet olkoot A (0,0), B (12,0) ja C(0,5). Hypotenuusan pituus on sqrt(12^2 5^2) = 13.
Kulma b, jonka kärki on B, on arcsin(5/13) = arccos(12/13. Valitaan hypotenuusalta piste jonka etäisyys B-kärjestä on d.
Suorakulmion ala f(d) = d sin(b) * (12- d cos(b)) = 5/13 d ( 12 - 12/13 d) = 60/13 d - 60/13^2 d^2
f'(d) = 60/13 - 120/13^2 d = 0 joten d = 60/13 * 13^2 / 120 = 13/2 = 6,5.
f''(13/2) < 0. f'(d) :n etumerkki vaihtuu plussasta miinukseksi kun kasvaa yli arvon 13/2. Molemmista seuraa, että kyseessä on maksimi.Kun d = 0 tai d = 113 on f(d) = 0, muulloin f(d) > 0.
Kun d on 13/2 niin suorakulmion x-akselilla olevan sivun pituus on 12 - 12/13 * 13/2 = 6 ja y-akselilla olevan sivun pituus on 13/2 * 5/13 = 2,5.
En laittanut tätä siksi, että tämä olisi jotenkin parempi tapa kuin jo esitetyt. Mutta onpahan eräs, hiukan toisenlainen, tapa.
Ohman
...d = 113.. p.o. ...d = 13...
Ohman
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
Ohman
Tämän voi todistaa myös ilman diff.int.laskua.
Suorakulmion ala = xy = f(d) = ab * d/c * (1 - d/c). Olkoon z = d/c.
Jos z > 0 ja 1 -z > 0 niin sqrt(z(1-z)) <= z/2 (1-z)/2 = 1/2 ja tuo = tapahtuu sjvs kun z = 1-z eli kun z = 1/2 (keskiarvoepäyhtälö)
.Siis z(1-z) <= 1/4 ja = 1/4 sjvs kun z = 1/2 eli kun d = c/2.Tällöin on x = a/2 ja y = b/2 (johtuen tilanteen geometriasta) ja
xy = f(d) <= (ab) / 4= a/2 * b/2.
Ohman
- Vastaus = se mikä on neliö
Vai on sinusta suorakaide jonka sivujen pituudet ovat 6 ja 2,5 neliö??
Ohman