Tehtävänanto: Suorakulmaisen kolmion sisään piirretään suorakaide, jonka yksi kärkipiste on hypotenuusalla ja toinen tämän vastaisessa kolmion nurkkapisteessä. Kaksi suorakulmion sivuista sijaitsee siis kolmion kateeteilla. Mitkä ovat pinta-alaltaan suurimman tällaisen suorakaiteen mitat, kun kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 12 yksikköä?
Olen saanut muodostettua kolmion vastinsivujen verrannot: 12/y = 5/x, josta y= 12x/5
jolloin suorakaiteen pinta-ala A= x * (12x/5) --> A=12x^2 / 5
Tästä eteenpäin lyö tyhjää. Jos derivoin lausekkeen, saan:
f'(x) = 12x / 5
Miten tuosta saa selvitettyä x:n? Oon pähkäillyt tulon nollasäännön kanssa, muttei mee jakeluun.. auttakaa tyhmää!
Derivointi, suorakaide kolmion sisällä
hömeli
11
1263
Vastaukset
- verrantoväär
Verranto on väärin , siihen tulee: 12/5=y/(5-x) ............(tan(alfa))
- verrantoväär
Siis tuo tanalfa) meinaa sitä, että ota tangentti jommasta kummasta terävästä kulmasta molemmista yhdenmuotoisista kolmioista, niin saat oikean verrannon. Sulla tosin saattaa ola ne yhdenmuotoiset kolmiotkin piirretty väärin.
(12-x)/y=12/5. Merkitään suorakulmion sivuja muuttujilla x ja y.
y=5/12*(12-x)
A (x)=xy=5/12*(12x-x^2)
A'(x)=5/12*(12-2x)
A'(x)=0→12-2x=0→x=6. Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten kyseessä on maksimi.
y=5/12*(12-6)=5/2=2,5- hömeli
Kiitos paljon avusta! :)
- laskee
Toisella tapaa maalaisjärkeä käyttäen.
Olkoon suorakulmion pidemmällä kateetilla sijaitsevan sivun pituus s; tällöin sen toisen sivun pituus on 5 * (1 - s/12), jolloin nähdään, että suorakulmion ala eli sivujen tulo on s:n funktiona alaspäin aukeava parabeli. Ala on luonnollisesti 0 kun s=0 tai 12, jolloin ääriarvo on näiden puolivälissä eli s=6 ja toinen sivu 5 * (1 - 6/12) = 2.5. Eipä tässä tarvittu derivointeja eikä tangentteja. - Ohman
3. tapa:
Kolmion kärjet olkoot A (0,0), B (12,0) ja C(0,5). Hypotenuusan pituus on sqrt(12^2 5^2) = 13.
Kulma b, jonka kärki on B, on arcsin(5/13) = arccos(12/13. Valitaan hypotenuusalta piste jonka etäisyys B-kärjestä on d.
Suorakulmion ala f(d) = d sin(b) * (12- d cos(b)) = 5/13 d ( 12 - 12/13 d) = 60/13 d - 60/13^2 d^2
f'(d) = 60/13 - 120/13^2 d = 0 joten d = 60/13 * 13^2 / 120 = 13/2 = 6,5.
f''(13/2) < 0. f'(d) :n etumerkki vaihtuu plussasta miinukseksi kun kasvaa yli arvon 13/2. Molemmista seuraa, että kyseessä on maksimi.Kun d = 0 tai d = 113 on f(d) = 0, muulloin f(d) > 0.
Kun d on 13/2 niin suorakulmion x-akselilla olevan sivun pituus on 12 - 12/13 * 13/2 = 6 ja y-akselilla olevan sivun pituus on 13/2 * 5/13 = 2,5.
En laittanut tätä siksi, että tämä olisi jotenkin parempi tapa kuin jo esitetyt. Mutta onpahan eräs, hiukan toisenlainen, tapa.
Ohman- Ohman
...d = 113.. p.o. ...d = 13...
Ohman - Ohman
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
OhmanTämän voi todistaa myös ilman diff.int.laskua.
Suorakulmion ala = xy = f(d) = ab * d/c * (1 - d/c). Olkoon z = d/c.
Jos z > 0 ja 1 -z > 0 niin sqrt(z(1-z)) <= z/2 (1-z)/2 = 1/2 ja tuo = tapahtuu sjvs kun z = 1-z eli kun z = 1/2 (keskiarvoepäyhtälö)
.Siis z(1-z) <= 1/4 ja = 1/4 sjvs kun z = 1/2 eli kun d = c/2.Tällöin on x = a/2 ja y = b/2 (johtuen tilanteen geometriasta) ja
xy = f(d) <= (ab) / 4= a/2 * b/2.
Ohman
- motitettu
- Vastaus = se mikä on neliö
- Ohman
Vai on sinusta suorakaide jonka sivujen pituudet ovat 6 ja 2,5 neliö??
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1263299
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi913031- 172298
Kyllä poisto toimii
Esitin illan suussa kysymyksen, joka koska palstalla riehuvaa häirikköä ja tiedustelin, eikö sitä saa julistettua pannaa261809"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu"..
"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu".. Näin puhui jo aikoinaan Jeesus, kun yksi hänen opetuslapsistaan löi miekalla211678Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O151539Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak181514Haluan tavata Sinut Rakkaani.
Olen valmis Kaikkeen kanssasi...Tulisitko vastaa Rakkaani...Olen todella valmistautunut tulevaan ja miettinyt tulevaisuu281447Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.201427Hermo mennyt sotealueeseen?
Nyt hammaslääkäriaika peruttiin neljännen kerran. Perumiset alkoi tammikuussa. Nyt uusi aika elokuulle!????811355