Tehtävänanto: Suorakulmaisen kolmion sisään piirretään suorakaide, jonka yksi kärkipiste on hypotenuusalla ja toinen tämän vastaisessa kolmion nurkkapisteessä. Kaksi suorakulmion sivuista sijaitsee siis kolmion kateeteilla. Mitkä ovat pinta-alaltaan suurimman tällaisen suorakaiteen mitat, kun kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 12 yksikköä?
Olen saanut muodostettua kolmion vastinsivujen verrannot: 12/y = 5/x, josta y= 12x/5
jolloin suorakaiteen pinta-ala A= x * (12x/5) --> A=12x^2 / 5
Tästä eteenpäin lyö tyhjää. Jos derivoin lausekkeen, saan:
f'(x) = 12x / 5
Miten tuosta saa selvitettyä x:n? Oon pähkäillyt tulon nollasäännön kanssa, muttei mee jakeluun.. auttakaa tyhmää!
Derivointi, suorakaide kolmion sisällä
hömeli
11
1522
Vastaukset
- verrantoväär
Verranto on väärin , siihen tulee: 12/5=y/(5-x) ............(tan(alfa))
- verrantoväär
Siis tuo tanalfa) meinaa sitä, että ota tangentti jommasta kummasta terävästä kulmasta molemmista yhdenmuotoisista kolmioista, niin saat oikean verrannon. Sulla tosin saattaa ola ne yhdenmuotoiset kolmiotkin piirretty väärin.
(12-x)/y=12/5. Merkitään suorakulmion sivuja muuttujilla x ja y.
y=5/12*(12-x)
A (x)=xy=5/12*(12x-x^2)
A'(x)=5/12*(12-2x)
A'(x)=0→12-2x=0→x=6. Kyseessä on alaspäin aukeava paraabeli, joten kyseessä on maksimi.
y=5/12*(12-6)=5/2=2,5- hömeli
Kiitos paljon avusta! :)
- laskee
Toisella tapaa maalaisjärkeä käyttäen.
Olkoon suorakulmion pidemmällä kateetilla sijaitsevan sivun pituus s; tällöin sen toisen sivun pituus on 5 * (1 - s/12), jolloin nähdään, että suorakulmion ala eli sivujen tulo on s:n funktiona alaspäin aukeava parabeli. Ala on luonnollisesti 0 kun s=0 tai 12, jolloin ääriarvo on näiden puolivälissä eli s=6 ja toinen sivu 5 * (1 - 6/12) = 2.5. Eipä tässä tarvittu derivointeja eikä tangentteja. - Ohman
3. tapa:
Kolmion kärjet olkoot A (0,0), B (12,0) ja C(0,5). Hypotenuusan pituus on sqrt(12^2 5^2) = 13.
Kulma b, jonka kärki on B, on arcsin(5/13) = arccos(12/13. Valitaan hypotenuusalta piste jonka etäisyys B-kärjestä on d.
Suorakulmion ala f(d) = d sin(b) * (12- d cos(b)) = 5/13 d ( 12 - 12/13 d) = 60/13 d - 60/13^2 d^2
f'(d) = 60/13 - 120/13^2 d = 0 joten d = 60/13 * 13^2 / 120 = 13/2 = 6,5.
f''(13/2) < 0. f'(d) :n etumerkki vaihtuu plussasta miinukseksi kun kasvaa yli arvon 13/2. Molemmista seuraa, että kyseessä on maksimi.Kun d = 0 tai d = 113 on f(d) = 0, muulloin f(d) > 0.
Kun d on 13/2 niin suorakulmion x-akselilla olevan sivun pituus on 12 - 12/13 * 13/2 = 6 ja y-akselilla olevan sivun pituus on 13/2 * 5/13 = 2,5.
En laittanut tätä siksi, että tämä olisi jotenkin parempi tapa kuin jo esitetyt. Mutta onpahan eräs, hiukan toisenlainen, tapa.
Ohman- Ohman
...d = 113.. p.o. ...d = 13...
Ohman - Ohman
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
Ohman - Ohman
Ohman kirjoitti:
Lasku johti siihen, että suuurimman pinta-alan antoi se suorakaide, jonka yksi kärkipiste oli kolmion hypotenuusan keskipisteessä. Muut kärjet ovat kateettien leikkauspiste ja kateettien keskipisteet. Onko näin aina?
Kateettien pituudet olkoot a ja b, hypotenuusan pituus c ja piirretään suorakaide siten, että hypotenuusalla olevan kärkipisteen etäisyys a-pituisen kateetin loppupisteestä on d.Suorakaiteen a-pituisen kateetin suuntaisen sivun pituus olkoon x ja toisen kateetin suuntaisen sivun pituus y. jolloin (a-x) / d =a/c ja y/d = b/c joten x = a (1 - d/c) ja y = d b/c.
Pinta-ala f(d) = xy = abd/c * (1 - d/c) = ab/c d - ab/c^2 d^2
f'(d) = ab/c - 2 ab/c^2 d = 0 jolloin d = c/2.
x = a(1 - 1/2) = a/2. y = b/2.
Näinpä on siis aina, olivatpa a ja b mitkä hyvänsä, kunhan ovat suorakulmaisen kolmion kateetteja.
OhmanTämän voi todistaa myös ilman diff.int.laskua.
Suorakulmion ala = xy = f(d) = ab * d/c * (1 - d/c). Olkoon z = d/c.
Jos z > 0 ja 1 -z > 0 niin sqrt(z(1-z)) <= z/2 (1-z)/2 = 1/2 ja tuo = tapahtuu sjvs kun z = 1-z eli kun z = 1/2 (keskiarvoepäyhtälö)
.Siis z(1-z) <= 1/4 ja = 1/4 sjvs kun z = 1/2 eli kun d = c/2.Tällöin on x = a/2 ja y = b/2 (johtuen tilanteen geometriasta) ja
xy = f(d) <= (ab) / 4= a/2 * b/2.
Ohman
- motitettu
- Vastaus = se mikä on neliö
- Ohman
Vai on sinusta suorakaide jonka sivujen pituudet ovat 6 ja 2,5 neliö??
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Joensuun kaupunki levittelee tonttitietoja Keskisuomalaiselle
Sähköposteja ja tonttitietoja levitellään mm. Pasi Koivumaalle222738Tiesitkö tätä ex-miehistä? Noriko Salo jysäytti yllätyspaljastuksen
Noriko Salo ja ex-F1 kuski Mika Salo olivat naimisissa v. 1999-2022. Kirsi Salon ex-mies puolestaan on muusikko Sammy A101832Oletko nainen alkanut kammoamaan minua
Sinua ei näy eikä kuulu, ja ilmeisesti kiertelet tilanteita. Oletko huomannut, että olet vieläkin ajatuksissani luvattom671729Kuka? Riehui valtuuston kokouksessa tänään ?
Onko puolangan puolesta porukkaa. Vaikuttaa siltä. Sairasta.521685Saako 60 v vielä töitä? Arto Nyberg puhuu suoraan elämästä ilman töitä
Arto Nyberg täyttää tänään 60 v. Onnea! Nyberg totuttiin näkemään suoran haastatteluohjelman kapteenina vuodesta toise1191653Huh, huh! Sofia Belorf ei ole itse pessyt hiuksiaan kolmeen vuoteen
Sofia Belorf elää ökyelämää Dubaissa. Sofian arjessa kulta, raha ja luksus ovat vahvasti läsnä. Luksuselämään tottuneell971623Toivoisitko Rakas vielä?
Haluaisitko vielä? Uskoisin osaavani näyttää sinulle, kuinka ainutlaatuinen nainen olet.701429Keskustelua kasteesta
You tubessa kaksi pappia keskustelivat kasteesta ja kritisoivat raamatullista uskovien kastetta. Toinen heistä yritti4001235Ihan pieni näkeminen vaan
👋 ja minä olisin valmis jo vaikka mihin sun kanssa. Nämä on näitä.. 🤫🫣😘💥311168Sointu Borg tilittää - Ei suostu enää tähän työhön: "Katastrofi"
Sointu Borg on mediapersoona, joka löi itsensä läpi Diili-realityssä. Borg on monipuolinen tekijä: mediapersoona, juonta121127