Pystyykö lausekkeen 2*sqrt( 1 x^2 / ( 1 - x^2) ) integroimaan analyyttisesti ilman tietoja trigonometrisista funktioista, kun x menee nollasta ykköseen.
Integrointitehtävä
npq
9211
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Pystyy, jos jostakin löytää tiedot:
integraali dt/i=-i*t ja i*ln(-i)=pi/2. Silloin voi käyttää sijoitusta x=cosh(t). Pii tulee silloinkin integraalin arvoksi.
(En minä niitä ainakaan löydä kuin Wolframista)
Tossa toi paperi nyt on ja siinä on jotakin perusteluitakin noille Wolframista saaduille tuloksille. Tässä pitää taas lässyttää monta riviä kaikenlaista, jotta moderaattori väsyy, eikä heti poista tätä linkkiä: http://aijaa.com/XoPudS
Tuon lausekkeen integraalihan on yksikköympyrän kehän puolikkan pituus. Ja oikea vastaus on pii.
Huvikseni laskin sen raa'asti diskretoimalla koneella (double precision). Kun dx on 1e-9, niin tulokseksi tulee 3.14147, joka on jo melko lähellä piitä.
Totta. Tai ehkä se on yksinkertaisemmin 2*neljäsosaympyrän kaaren pituus. Käytetään siis polkua t-> (t, sqrt(1-t^2)), t € [0,1], jolloin trigonometrisia funktioita ei tarvita.
Vielä selvennykseksi: polun derivaatta on (1, -t/sqrt(1-t^2)), joten tämän pituuttahan tuossa integroidaan eli saadaan juurikin polun pituus.
Tässä tulee tämä polun integrointi joka ei saata kaikille tuttua olla, mutta kyllähän lukiossakin taidetaan funktion graafin pituuksia laskea. Niissähän tuo ensimmäinen komponentti on aina pelkkä muuttuja itsekseen niinkuin tuossakin tapauksessa. No tähän nyt tulee selittelyn makua, mutta kyllä se kaava kaaren pituudelle integraalina löytyy.
Lisäsin kommenttini vain sen takia, jos joku ei huomaa kuinka tuo integraali liittyy ympyrän kaaren pituuteen.
Oho, huomasinkin, että olet aloittaja itse, ja varmaan siis haluat laskea tuon integraalin ja näin todistaa ympyrän kaaren pituuden. Mutta senhän avulla pii on määritelty. Pitäisikö tässä päätyä piihin jotain toista kautta käyttämättä trigonometrisiä funktioita? Menee hankalaksi, ehkä Walliksen tulona tai jotenkin...
Kaaren pituuden laskeminen käy helposti, jos tietää, että täysi kulma on 2 pii ja lisäksi ds =r dfii. Yksikköympyrällä asetetaan r=1 ja intergoidaan.
Ajatus oli vain, että voidaanko tuosta avauksen integraalista päätysä pii:n arvoon analyyttisen integroinnin kautta ilman näitä etukäteistietoja trigonometrisista funktioista.
Ainakin numeerisella integroinnilla se siis onnistuu kohtuullisella tarkkuudella.
Pääseehän siihen käyttämällä hyperbolisia funktioita, kuten tässä: http://aijaa.com/2MAoho
Siinä koukataan välillä kompleksilukujen avaruuteen, ja sieltä maan pinnalle pääsemiseen tarvitaan Eulerin identiteettiä. Eli se on nyt siitä kiinni, että hyväksytäänkö Eulerin identiteetti matemaattiseen yleissivistykseen kuuluvaksi, jota ei tarvitse perustella.
Lauseke sievenee muotoon 2/sqrt (1-x^2), jonka integraali on 2*arcsin (x). Määrätty integraali nollasta yhteen on sitten 2*(pi/2-0)=pii.
1-säteisen origokeskisen ympyrän yhtälö on
R(x) = x i sqrt(1 - x^2) j. dR/dx = i - x/sqrt(1 - x^2) j
Jos kaarenpituus on s(x) niin lasketaan nyt ympyräviivan neljänneksen pituus. Se on
s(1) - s(0) = Int (0,1) ds = Int(0,1) sqrt(ds^2)= Int(0,1) sqrt(dR/dx,dR/dx) dx =Int(0,1) (1 x^2/(1 - x^2)) dx = lim ( u -> 1) Int(0,u) ( 1/(1-x^2)) dx = lim(u-> 1) (arcsin(u) - arcsin(0)) = pii/2.
Kysyjän integraali oli sitten 2 kertaa näin saatu arvo eli pii.
Tässä nyt vain näytin sen kaarenpituuden laskun. Käytinhän kyllä funktiota arcsin, kuten thoyssa tuossa edellä, joten kyllähän tässä trigonometriaa tarvittiin.
Voisi tietysti tehdä sijoituksen x = sin(t) jolloin
s(pii/2) - s(0) = Int(0,pii/2) (cos(t) /sqrt(1- sin^2(t)) dt = Int(0,pii/2) dt = pii/2. Mutta trigonometriaa tämäkin.
Ohman