Pystyykö lausekkeen 2*sqrt( 1 x^2 / ( 1 - x^2) ) integroimaan analyyttisesti ilman tietoja trigonometrisista funktioista, kun x menee nollasta ykköseen.
Integrointitehtävä
npq
9
162
Vastaukset
- aeija
Pystyy, jos jostakin löytää tiedot:
integraali dt/i=-i*t ja i*ln(-i)=pi/2. Silloin voi käyttää sijoitusta x=cosh(t). Pii tulee silloinkin integraalin arvoksi.
(En minä niitä ainakaan löydä kuin Wolframista)- aeija
Tossa toi paperi nyt on ja siinä on jotakin perusteluitakin noille Wolframista saaduille tuloksille. Tässä pitää taas lässyttää monta riviä kaikenlaista, jotta moderaattori väsyy, eikä heti poista tätä linkkiä: http://aijaa.com/XoPudS
- npq
Tuon lausekkeen integraalihan on yksikköympyrän kehän puolikkan pituus. Ja oikea vastaus on pii.
Huvikseni laskin sen raa'asti diskretoimalla koneella (double precision). Kun dx on 1e-9, niin tulokseksi tulee 3.14147, joka on jo melko lähellä piitä.- Kanootti3
Totta. Tai ehkä se on yksinkertaisemmin 2*neljäsosaympyrän kaaren pituus. Käytetään siis polkua t-> (t, sqrt(1-t^2)), t € [0,1], jolloin trigonometrisia funktioita ei tarvita.
Vielä selvennykseksi: polun derivaatta on (1, -t/sqrt(1-t^2)), joten tämän pituuttahan tuossa integroidaan eli saadaan juurikin polun pituus.
Tässä tulee tämä polun integrointi joka ei saata kaikille tuttua olla, mutta kyllähän lukiossakin taidetaan funktion graafin pituuksia laskea. Niissähän tuo ensimmäinen komponentti on aina pelkkä muuttuja itsekseen niinkuin tuossakin tapauksessa. No tähän nyt tulee selittelyn makua, mutta kyllä se kaava kaaren pituudelle integraalina löytyy.
Lisäsin kommenttini vain sen takia, jos joku ei huomaa kuinka tuo integraali liittyy ympyrän kaaren pituuteen. - Kanootti3
Oho, huomasinkin, että olet aloittaja itse, ja varmaan siis haluat laskea tuon integraalin ja näin todistaa ympyrän kaaren pituuden. Mutta senhän avulla pii on määritelty. Pitäisikö tässä päätyä piihin jotain toista kautta käyttämättä trigonometrisiä funktioita? Menee hankalaksi, ehkä Walliksen tulona tai jotenkin...
- npq
Kanootti3 kirjoitti:
Oho, huomasinkin, että olet aloittaja itse, ja varmaan siis haluat laskea tuon integraalin ja näin todistaa ympyrän kaaren pituuden. Mutta senhän avulla pii on määritelty. Pitäisikö tässä päätyä piihin jotain toista kautta käyttämättä trigonometrisiä funktioita? Menee hankalaksi, ehkä Walliksen tulona tai jotenkin...
Kaaren pituuden laskeminen käy helposti, jos tietää, että täysi kulma on 2 pii ja lisäksi ds =r dfii. Yksikköympyrällä asetetaan r=1 ja intergoidaan.
Ajatus oli vain, että voidaanko tuosta avauksen integraalista päätysä pii:n arvoon analyyttisen integroinnin kautta ilman näitä etukäteistietoja trigonometrisista funktioista.
Ainakin numeerisella integroinnilla se siis onnistuu kohtuullisella tarkkuudella. - aeija
npq kirjoitti:
Kaaren pituuden laskeminen käy helposti, jos tietää, että täysi kulma on 2 pii ja lisäksi ds =r dfii. Yksikköympyrällä asetetaan r=1 ja intergoidaan.
Ajatus oli vain, että voidaanko tuosta avauksen integraalista päätysä pii:n arvoon analyyttisen integroinnin kautta ilman näitä etukäteistietoja trigonometrisista funktioista.
Ainakin numeerisella integroinnilla se siis onnistuu kohtuullisella tarkkuudella.Pääseehän siihen käyttämällä hyperbolisia funktioita, kuten tässä: http://aijaa.com/2MAoho
Siinä koukataan välillä kompleksilukujen avaruuteen, ja sieltä maan pinnalle pääsemiseen tarvitaan Eulerin identiteettiä. Eli se on nyt siitä kiinni, että hyväksytäänkö Eulerin identiteetti matemaattiseen yleissivistykseen kuuluvaksi, jota ei tarvitse perustella.
Lauseke sievenee muotoon 2/sqrt (1-x^2), jonka integraali on 2*arcsin (x). Määrätty integraali nollasta yhteen on sitten 2*(pi/2-0)=pii.
- Ohman
1-säteisen origokeskisen ympyrän yhtälö on
R(x) = x i sqrt(1 - x^2) j. dR/dx = i - x/sqrt(1 - x^2) j
Jos kaarenpituus on s(x) niin lasketaan nyt ympyräviivan neljänneksen pituus. Se on
s(1) - s(0) = Int (0,1) ds = Int(0,1) sqrt(ds^2)= Int(0,1) sqrt(dR/dx,dR/dx) dx =Int(0,1) (1 x^2/(1 - x^2)) dx = lim ( u -> 1) Int(0,u) ( 1/(1-x^2)) dx = lim(u-> 1) (arcsin(u) - arcsin(0)) = pii/2.
Kysyjän integraali oli sitten 2 kertaa näin saatu arvo eli pii.
Tässä nyt vain näytin sen kaarenpituuden laskun. Käytinhän kyllä funktiota arcsin, kuten thoyssa tuossa edellä, joten kyllähän tässä trigonometriaa tarvittiin.
Voisi tietysti tehdä sijoituksen x = sin(t) jolloin
s(pii/2) - s(0) = Int(0,pii/2) (cos(t) /sqrt(1- sin^2(t)) dt = Int(0,pii/2) dt = pii/2. Mutta trigonometriaa tämäkin.
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Katso: Ohhoh! Miina Äkkijyrkkä sai käskyn lähteä pois Farmi-kuvauksista -Kommentoi asiaa: "En ole.."
Tämä oli shokkiyllätys. Oliko tässä kyse tosiaan siitä, että Äkkijyrkkä sanoi asioita suoraan vai mistä.... Tsemppiä, Mi1737135- 424172
Poliisiauto Omasp:n edessä parkissa
Poliisiauto oli parkissa monta tuntia Seinäjoen konttorin edessä tänään. Haettiinko joku tai jotain pankista tutkittavak262095Haluan jutella kanssasi Nainen
Olisiko jo aika tavata ja avata tunteemme...On niin paljon asioita joihin molemmat ehkä haluaisimme saada vastaukset...O182019Onko mies niin,
että sinulle ei riitä yksi nainen? Minulle suhde tarkoittaa sitoutumista, tosin eihän se vankila saa olla kummallekaan.271859Voitasko leikkiä jotain tunnisteleikkiä?
Tietäisi ketä täällä käy kaipaamassa.. kerro jotain mikä liittyy sinuun ja häneen eikä muut tiedä. Vastaan itsekin kohta771676Armi Aavikko Malmin hautausmaa
Haudattiinko Armi arkussa Malmin hautausmaalle vai tuhkattiinko hänet? Kuka tietää asiasta oikein?321642Tietysti jokainen ansaitsee
Hän varmasti ansaitsee vain parasta ja sopivinta tietenkin, suon sen onnen hänelle enemmän kuin mielelläni. Aika on nyt171593Haluisin suudella ja huokailla
ja purra kaulaasi ja rakastella sinua. Haluisin puristella rintojasi ja pakaroitasi. Ei sinulla taida olla kuitenkaan ni211588Miksi näin?
Miksi vihervassut haluaa maahan porukkaa jonka pyhä kirja kieltää sopeutumisen vääräuskoisten keskuuteen? Näin kotoutumi391418