Hei! Osaisiko joku auttaa matikkapulman kanssa? Tehtävänä on määrittää lausekkeen 2x-(1-x^2)^(1/2) suurin ja pienin arvo. Minulla on tehtävästä malliratkaisu. Ymmärrän mitä tehtävässä pitää tehdä, ongelmana on derivaatan nollakohdan laskemisen yhtälö. Lausekkeen derivaatta on 2 (x/(1-x^2)^(1/2)=0. Kun yhtälö lavennetaan (1-x^2), ja x siirretään yhtälön oikealle puolelle, tulee 2*(1-x^2)^(1/2)=-x. Malliratkaisussa sanotaan, että -x>0 eli x<0. Millä perusteella se on näin? Funktion määrittelyjoukkohan on -1<x<1. Miksei x:n arvoksi kelpaa esimerkiksi 0,5? -x:n on oltava suurempi kuin nolla, jotta yhtälön molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin, mutten ymmärrä millä perusteella x olisi aina yli nolla. Voiko sen vain päättää, että x on suurempi kuin nolla jotta saadaan yhtälö ratkaistuksi?
Anteeksi sekavasta kysymyksen asettelusta.
Anteeksi sekavasta kysymyksen asettelusta.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Lavennustermi varmaan (1-x^2)^(1/2).
Yhtälön vasemman puolen neliöjuuri on aina positiivinen (tai nolla), mistä seuraa että -x >= 0:
2*(1-x^2)^(1/2) = -x
Miksiköhän 0 ei kelpaa malliratkaisussa?
1. Luulenpa, että funktiosi määrittelyjoukko on -1 <= x <= 1.
2. Kyllä yhtälön molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin olivatpa ne minkä merkkisiä hyvänsä.
3. f'(x) = 2 x/sqrt(1 - x^2) = 0. 2 sqrt(1-x^2) = - x. 4 - 4 x^2 = x^2 joten x = /- 2/sqrt(5).
4. Jos x = 2/sqrt(5) niin f'(2/sqrt(5)) = 2 ( 2/sqrt(5)) / (sqrt(1/5) = 4 joten tässä f' =/ 0.
Jos x = - 2/sqrt(5) niin f'(- 2/sqrt(5)) = 2 - (2/sqrt(5)) / sqrt(1/5) = 2 - 2 = 0. Tässä siis derivaatta = 0.
5. Tutkimalla derivaattaa nähdään että kun x kasvaa arvon - 2/sqrt(5) yli niin f' muuttuu negatiivisesta positiiviseksi joten kyseessä on minimi.
6. Saman näkee toisesta derivaatasta. f''(x) = 1/(1- x^2)^(3/2) (laske itse). f''(- 2/sqrt(5)) = 1/(1/5)^(3/2) = sqrt(125) > 0 joten kyseessä minimi. f(-2/sqrt(5)) = - sqrt(5)
7. Muita derivaatan nollakohtia ei ollut joten tuo x = -2/sqrt(5) on ainut minimikohta määritysvälillä -1 <= x <= 1. f(-1) = - 2 ja tämä arvo on suurempi kuin tuo - sqrt(5) joten f(- 2/sqrt(5)) on globaali minimi eli pienin arvo tuolla määritysvälillä.
8. f(1) = 2 ja tämä on funktion suurin arvo määritysvälillä .
Ohman
Siinä kohtaa todetaan, että derivaatalla ei voi olla positiivista nollakohtaa. Eli jos semmoinen positiivinen nollakohtaa sen lavennuksen jälkeen löytyy, niin se ei ole oikea eikä toteuta, että derivaatta olisi sillä kohtaa 0..
Derivaatan nollakohdaksi käy vaan siis se negatiivinen nollakohta, itse funktio on edelleenkin määritety ykkösten välissä.
Derivaattaa ei myöskään ole olemassa kun x=±1. Mutta sekään ei vaikuta funktion arvoihin, eikä rajaa pois niitä ykkösiä funktion argumentteina.
Derivaatan nollakohta löydetään ratkaisemalla yhtälö
2 x/sqrt(1-x^2) = 0.
Tällä on vain juuri x = - 2/sqrt(5).
Kun yhtälö ratkaistaan siirtämällä tuon summan termit eri puolille yhtäläisyysmerkkiä, kertomalla puolittain tekijällä sqrt(1-x^2) ja korottamalla sitten toiseen potenssiin saadaan toisen asteen yhtälö 4 = 5 x^2 jonka ratkaisut ovat /- 2/sqrt(5).
Mutta tämä uusi yhtälö ei ole yhtäpitävä sen alkuperäisen kanssa. Siksi vain toinen sen juurista kelpaa.
Otetaan esimerkiksi äärimmäisen yksinkertainen yhtälö
(1) x = - 1.
No tämä on siinä samalla ratkaistu. Mutta jos se yhtälö korotetaan neliöön, saadaan toisen asteen yhtälö
'
(2) x^2 = 1
jolla on kaksi juurta, x = 1 ja x = -1. Mutta vain jälkimmäinen on yhtälön (1) ratkaisu. Yhtälöt (1) ja (2) e i v ä t o l e y h t ä p i t ä v i ä (ekvivalentteja).
Ihan samasta syystä derivaatan nollakohta on vain tuo - 2/sqrt(5).
Ohman