Hei! Osaisiko joku auttaa matikkapulman kanssa? Tehtävänä on määrittää lausekkeen 2x-(1-x^2)^(1/2) suurin ja pienin arvo. Minulla on tehtävästä malliratkaisu. Ymmärrän mitä tehtävässä pitää tehdä, ongelmana on derivaatan nollakohdan laskemisen yhtälö. Lausekkeen derivaatta on 2 (x/(1-x^2)^(1/2)=0. Kun yhtälö lavennetaan (1-x^2), ja x siirretään yhtälön oikealle puolelle, tulee 2*(1-x^2)^(1/2)=-x. Malliratkaisussa sanotaan, että -x>0 eli x<0. Millä perusteella se on näin? Funktion määrittelyjoukkohan on -1<x<1. Miksei x:n arvoksi kelpaa esimerkiksi 0,5? -x:n on oltava suurempi kuin nolla, jotta yhtälön molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin, mutten ymmärrä millä perusteella x olisi aina yli nolla. Voiko sen vain päättää, että x on suurempi kuin nolla jotta saadaan yhtälö ratkaistuksi?
Anteeksi sekavasta kysymyksen asettelusta.
Yhtälöpulma
4
78
Vastaukset
- M.Atikka
Lavennustermi varmaan (1-x^2)^(1/2).
Yhtälön vasemman puolen neliöjuuri on aina positiivinen (tai nolla), mistä seuraa että -x >= 0:
2*(1-x^2)^(1/2) = -x
Miksiköhän 0 ei kelpaa malliratkaisussa? - Ohman
1. Luulenpa, että funktiosi määrittelyjoukko on -1 <= x <= 1.
2. Kyllä yhtälön molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin olivatpa ne minkä merkkisiä hyvänsä.
3. f'(x) = 2 x/sqrt(1 - x^2) = 0. 2 sqrt(1-x^2) = - x. 4 - 4 x^2 = x^2 joten x = /- 2/sqrt(5).
4. Jos x = 2/sqrt(5) niin f'(2/sqrt(5)) = 2 ( 2/sqrt(5)) / (sqrt(1/5) = 4 joten tässä f' =/ 0.
Jos x = - 2/sqrt(5) niin f'(- 2/sqrt(5)) = 2 - (2/sqrt(5)) / sqrt(1/5) = 2 - 2 = 0. Tässä siis derivaatta = 0.
5. Tutkimalla derivaattaa nähdään että kun x kasvaa arvon - 2/sqrt(5) yli niin f' muuttuu negatiivisesta positiiviseksi joten kyseessä on minimi.
6. Saman näkee toisesta derivaatasta. f''(x) = 1/(1- x^2)^(3/2) (laske itse). f''(- 2/sqrt(5)) = 1/(1/5)^(3/2) = sqrt(125) > 0 joten kyseessä minimi. f(-2/sqrt(5)) = - sqrt(5)
7. Muita derivaatan nollakohtia ei ollut joten tuo x = -2/sqrt(5) on ainut minimikohta määritysvälillä -1 <= x <= 1. f(-1) = - 2 ja tämä arvo on suurempi kuin tuo - sqrt(5) joten f(- 2/sqrt(5)) on globaali minimi eli pienin arvo tuolla määritysvälillä.
8. f(1) = 2 ja tämä on funktion suurin arvo määritysvälillä .
Ohman - hiukkkanense
Siinä kohtaa todetaan, että derivaatalla ei voi olla positiivista nollakohtaa. Eli jos semmoinen positiivinen nollakohtaa sen lavennuksen jälkeen löytyy, niin se ei ole oikea eikä toteuta, että derivaatta olisi sillä kohtaa 0..
Derivaatan nollakohdaksi käy vaan siis se negatiivinen nollakohta, itse funktio on edelleenkin määritety ykkösten välissä.
Derivaattaa ei myöskään ole olemassa kun x=±1. Mutta sekään ei vaikuta funktion arvoihin, eikä rajaa pois niitä ykkösiä funktion argumentteina. - Ohman
Derivaatan nollakohta löydetään ratkaisemalla yhtälö
2 x/sqrt(1-x^2) = 0.
Tällä on vain juuri x = - 2/sqrt(5).
Kun yhtälö ratkaistaan siirtämällä tuon summan termit eri puolille yhtäläisyysmerkkiä, kertomalla puolittain tekijällä sqrt(1-x^2) ja korottamalla sitten toiseen potenssiin saadaan toisen asteen yhtälö 4 = 5 x^2 jonka ratkaisut ovat /- 2/sqrt(5).
Mutta tämä uusi yhtälö ei ole yhtäpitävä sen alkuperäisen kanssa. Siksi vain toinen sen juurista kelpaa.
Otetaan esimerkiksi äärimmäisen yksinkertainen yhtälö
(1) x = - 1.
No tämä on siinä samalla ratkaistu. Mutta jos se yhtälö korotetaan neliöön, saadaan toisen asteen yhtälö
'
(2) x^2 = 1
jolla on kaksi juurta, x = 1 ja x = -1. Mutta vain jälkimmäinen on yhtälön (1) ratkaisu. Yhtälöt (1) ja (2) e i v ä t o l e y h t ä p i t ä v i ä (ekvivalentteja).
Ihan samasta syystä derivaatan nollakohta on vain tuo - 2/sqrt(5).
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita
Pupuhuhdasta löytyi lähes sadan kilon miljoonalasti huumeita – neljä Jyväskylän Outlaws MC:n jäsentä vangittu: "Määrät p551796Persut petti kannattajansa, totaalisesti !
Peraujen fundamentalisteille, vaihtkaa saittia. Muille, näin sen näimme. On helppo luvata kehareille, eikä ne ymmärrä,431583- 491539
Nähtäiskö ylihuomenna taas siellä missä viimeksikin?
Otetaan ruokaöljyä, banaaneita ja tuorekurkkuja sinne messiin. Tehdään taas sitä meidän salakivaa.41485Sinäkö se olit...
Vai olitko? Jostain kumman syystä katse venyi.. Ajelin sitten miten sattuu ja sanoin ääneen siinä se nyt meni😅😅... Lis51468Housuvaippojen käyttö Suomi vs Ulkomaat
Suomessa housuvaippoja aletaan käyttämään vauvoilla heti, kun ne alkavat ryömiä. Tuntuu, että ulkomailla housuvaippoihin51384Hyvää yötä ja kauniita unia!
Täytyy alkaa taas nukkumaan, että jaksaa taas tämän päivän haasteet. Aikainen tipu madon löytää, vai miten se ärsyttävä71298Lepakot ja lepakkopönttö
Ajattelin tehdä lepakkopöntön. Tietääkö joku ovatko lepakot talvella lepakkopöntössä ´vai jossain muualla nukkumassa ta101260Revi siitä ja revi siitä
Enkä revi, ei kiinnosta hevon vittua teidän asiat ja elämä. Revi itte vaan sitä emborullaas istuessas Aamupaskalla31132Kello on puoliyö - aika lopettaa netin käyttö tältä päivältä
Kello on 12, on aika laittaa luurit pöydälle ja sallia yörauha kaupungin asukkaille ja työntekijöille. It is past midni31113