Polynomin arvot

Polynomilogi

Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?

26

701

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Noinkohan

      Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
      f(x)=a{n}*x^{n} a{n-1}*x^{n-1} --- a{1}x a{0}=0
      voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
      Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.

      • Noinkohan

        Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.

    • polyimuri

      Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:

      (Ax^3 Bx^2 C)^2 (Dx^2 Ex F)^2=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50

      • Polynomilogi

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

      • polyimuri
        Polynomilogi kirjoitti:

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

        Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2 (x^3 2x-1)^2

    • Algebrikko
    • MattiKSinisalo

      Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
      Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
      p(x)=(x^3 2*x-1)^2 (5*x^3-3*x^2-7)^2,
      2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2 (6*x^3-3*x^2 2*x-8)^2,
      4*p(x)=(2*x^3 4*x-2)^2 (10*x^3-6*x^2-14)^2,
      5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2 (11*x^3-6*x^2 2*x-15)^2,
      5*p(x)=(7*x^3-3*x^2 4*x-9)^2 (9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
      8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2 (12*x^3-6*x^2 4*x-16)^2,
      9*p(x)=(3*x^3 6*x-3)^2 (15*x^3-9*x^2-21)^2,
      10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2 (16*x^3-9*x^2 2*x-22)^2,
      10*p(x)=(8*x^3-3*x^2 6*x-10)^2 (14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
      13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2 (17*x^3-9*x^2 4*x-23)^2,
      13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2 (13*x^3-6*x^2 6*x-17)^2,
      16*p(x)=(4*x^3 8*x-4)^2 (20*x^3-12*x^2-28)^2,
      17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2 (21*x^3-12*x^2 2*x-29)^2,
      17*p(x)=(9*x^3-3*x^2 8*x-11)^2 (19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
      18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2 (18*x^3-9*x^2 6*x-24)^2,
      20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2 (22*x^3-12*x^2 4*x-30)^2,
      20*p(x)=(14*x^3-6*x^2 8*x-18)^2 (18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
      ...
      Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.

      • Huutiukko

        Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .

    • arvelus

      Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.

      Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
      ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
      ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista

    • KyllaSeSiitaSuttaantuu

      Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
      Polynomi
      q(x)=58*x^10-42*x^9 11*x^8 42*x^7 53*x^6-160*x⁵ 118*x^4 22*x^3-56*x^2-20*x 74

      • polyimuri

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

      • matikanyritteliäs

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

      • matikanyritteliäs
        matikanyritteliäs kirjoitti:

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

        Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0 ja 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4 42x^3 11x^2-42x 53>0 kun x>0.

      • matikanyritteliäs

        Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x^3-x^2-x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74=(16x^2-4x-5)^2 (31x^4-10x^3 x^2) (40x^2-60x 49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3 x^2=x^2(31x^2-10x 1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x 49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.

        Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.

      • matikanyritteliäs

        Epäyhtälö 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3 56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

        (7x^5-4x^3 6x^2 2x-5)^2 (-3x^5 7x^4-3x^3 7)^2

      • koodimatikisti

        Hmm. Python 2:sta tuo olikin.

      • mathFM

        Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.

      • yksvaanma

        Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.

    • NoinOn

      "Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56."

      Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.

      • matikanyritteliäs

        Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.

        Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3 56x^2<58 20x<74 20x.

      • matikanyritteliäs

        Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.

    • tractor

      No mutta se oli ilkeästi sanottu :(

      • tractor

        Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p

    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Heikki Silvennoinen petti vaimoaan vuosien ajan

      Viiden lapsen isä Heikki kehuu kirjassaan kuinka paljon on pettänyt vaimoaan vuosien varrella.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      137
      1916

    2. Taasko se show alkaa

      Koo osottaa taas mieltään
      Ikävä
      27
      1908

    3. Miksi ihmeessä nainen seurustelit kanssani joskus

      Olin ruma silloin ja nykyisin vielä rumempi En voi kuin miettiä että miksi Olitko vain rikki edellisestä suhteesta ja ha
      Ikävä
      23
      1848

    4. Persut nimittivät kummeli-hahmon valtiosihteeriksi!

      Persujen riveistä löytyi taas uusi törkyturpa valtiosihteeriksi! Jutun perusteella järjenjuoksu on kuin sketsihahmolla.
      Perussuomalaiset
      85
      1630

    5. Onko ministeri Juuso epäkelpo ministerin tehtäviensä hoitamiseen?

      Eikö hänellä ole kompetenttia hoitaa sosiaali- ja terveysministetin toimialalle kuuluvia ministerin tehtäviä?
      Perussuomalaiset
      62
      1448

    6. Sakarjan kirjan 6. luku

      Jolla korva on, se kuulkoon. Sain profetian 22.4.2023. Sen sisältö oli seuraava: Suomeen tulee nälänhätä niin, että se
      Profetiat
      20
      1266

    7. Elia tulee vielä

      Johannes Kastaja oli Elia, mutta Jeesus sanoi, että Elia tulee vielä. Malakian kirjan profetia Eliasta toteutuu kokonaan
      Helluntailaisuus
      37
      1163

    8. Avaa sydämesi mulle

      ❤ ❤❤ Tahdon pelkkää hyvää sulle Sillä ilmeisesti puhumalla Avoimesti välillämme Kaikki taas selviää Kerro kaikki, tahdo
      Ikävä
      38
      1160

    9. Söpö lutunen oot

      Kaipaan aina vaan, vaikkakin sitten yksipuolisesti.
      Ikävä
      11
      1148

    10. Nellietä Emmaa ja Amandaa stressaa

      Ukkii minnuu Emmaa ja Amandaa stressaa ihan sikana joten voidaanko me koko kolmikko hypätä ukin kainaloon ja syleilyyn k
      Isovanhempien jutut
      10
      1137
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt