Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5+13x^4-72x^3+46x^2-4x+50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?
Polynomin arvot
25
687
Vastaukset
- Noinkohan
Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
f(x)=a{n}*x^{n}+a{n-1}*x^{n-1}+--- +a{1}x+a{0}=0
voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.- Noinkohan
Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.
- polyimuri
Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:
(Ax^3+Bx^2+C)^2+(Dx^2+Ex+F)^2=26x^6-30x^5+13x^4-72x^3+46x^2-4x+50- Polynomilogi
Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.
- polyimuri
Polynomilogi kirjoitti:
Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.
Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe... - polyimuri
polyimuri kirjoitti:
Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2+(x^3+2x-1)^2
- Algebrikko
Sturmin lause on yksi tapa todistaa yhden muuttujan polynomi kaikkialla positiiviseksi. https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem . Online-laskin on osoitteessa https://mathsci2.appstate.edu/~cookwj/sage/algebra/Sturms_method-advanced.html
- MattiKSinisalo
Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
p(x)=(x^3+2*x-1)^2+(5*x^3-3*x^2-7)^2,
2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2+(6*x^3-3*x^2+2*x-8)^2,
4*p(x)=(2*x^3+4*x-2)^2+(10*x^3-6*x^2-14)^2,
5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2+(11*x^3-6*x^2+2*x-15)^2,
5*p(x)=(7*x^3-3*x^2+4*x-9)^2+(9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2+(12*x^3-6*x^2+4*x-16)^2,
9*p(x)=(3*x^3+6*x-3)^2+(15*x^3-9*x^2-21)^2,
10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2+(16*x^3-9*x^2+2*x-22)^2,
10*p(x)=(8*x^3-3*x^2+6*x-10)^2+(14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2+(17*x^3-9*x^2+4*x-23)^2,
13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2+(13*x^3-6*x^2+6*x-17)^2,
16*p(x)=(4*x^3+8*x-4)^2+(20*x^3-12*x^2-28)^2,
17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2+(21*x^3-12*x^2+2*x-29)^2,
17*p(x)=(9*x^3-3*x^2+8*x-11)^2+(19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2+(18*x^3-9*x^2+6*x-24)^2,
20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2+(22*x^3-12*x^2+4*x-30)^2,
20*p(x)=(14*x^3-6*x^2+8*x-18)^2+(18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
...
Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.- Huutiukko
Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .
- arvelus
Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.
Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista - KyllaSeSiitaSuttaantuu
Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
Polynomi
q(x)=58*x^10-42*x^9+11*x^8+42*x^7+53*x^6-160*x⁵+118*x^4+22*x^3-56*x^2-20*x+74- polyimuri
(±7x^5+AX^4+BX^2±7)^2+(±3X^5+CX^3±2X±5)^2
Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin. - matikanyritteliäs
En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x-1)^2(x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.
Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>0. Mutta 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x=x(58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen. - matikanyritteliäs
matikanyritteliäs kirjoitti:
En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x-1)^2(x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.
Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>0. Mutta 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x=x(58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0 ja 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4+42x^3+11x^2-42x+53>0 kun x>0.
- matikanyritteliäs
Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x^3-x^2-x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x+74=(16x^2-4x-5)^2+(31x^4-10x^3+x^2)+(40x^2-60x+49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3+x^2=x^2(31x^2-10x+1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x+49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.
Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10+42*x^9+11*x^8-42*x^7+53*x^6+160*x^5+118*x^4-22*x^3-56*x^2+20*x+74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä. - matikanyritteliäs
Epäyhtälö 58*x^10+42*x^9+11*x^8-42*x^7+53*x^6+160*x^5+118*x^4-22*x^3-56*x^2+20*x+74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3+56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74+20x>=22x^3+56x^2 koska 74+20>22+56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.
- polyimuri
polyimuri kirjoitti:
(±7x^5+AX^4+BX^2±7)^2+(±3X^5+CX^3±2X±5)^2
Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.(7x^5-4x^3+6x^2+2x-5)^2+(-3x^5+7x^4-3x^3+7)^2
- koodimatikisti
Hmm. Python 2:sta tuo olikin.
- mathFM
Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.
- yksvaanma
Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.
- NoinOn
"Jos taas 0<x<1, on 74+20x>=22x^3+56x^2 koska 74+20>22+56."
Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.- matikanyritteliäs
Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.
Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3+56x^2<58+20x<74+20x. - matikanyritteliäs
Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.
No mutta se oli ilkeästi sanottu :(
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Martina oli sarjassaan tänään 32.
Mutta eikö pyöräily ja uinti ole vahvempia hänellä kuin juoksu? Aikaa on vielä harjoitella ennen Frankfurtin kisoja.2081660Sofia miksi soitit torstaina Stefanil ja pyysit käymään kun muka olet ahdistunut.?
Oliko asia suunniteltu, kun pyysi käymään ja varmasti tiesi et miten Stefan asiaan suhtautuu.Oliko myös Seiskan toimittaja pyydetty tarkoituksella pai841566Stepuli itkee facessa
Haluaisin pyytää julkisesti karseaa käytöstäni anteeksi lähimmiltä, naapureilta ja etenkin Sofialta! Ei ole missään olosuhteissa hyväksyttävää käyttä961463Sofia oli ainoastaan rahan takia suhteessa Stefanin ja Nikon kanssa.
Järkyttävää miten Sofia on käyttänyt hyväksi näitä molempia miehiä ja rahat loppu niin vain haukkumiset tullut kiitokseksi heille.2541392Voi kun menisi nyt Stefan katsoo tyttären uutta ponia, viettäisi aikaa hänen kanssa.
Aika parantaa kaiken ja meillä kaikilla on elämässä vastoinkäymisiä ja yli kyllä pääsee ainakin ajan kanssa.1341361Minä menetän sinut kokonaan
Siksi olen paniikissa, sekaisin ja surullinen. Taitaa olla jonkinasteinen stressitila päällä. Toivottavasti sinulla on kaikki hyvin.48892Onpas Martina valinnut sopivan laulun
Storyssa kun Isben poni tulee, " älä vie lapsuuttani pois." Äiti se lähtee mieluummin panopuuksi hotelliin, kuin viettäisi senkin ajan lastensa kanssa115880Suomi teki typeryyttään Venäjästä nyt konkreettisesti vihollisen, jota se ei aiemmin ollut.
Venäjä ei ole uhannut Suomen turvallisuutta, eikä Venäjän ja Ukrainan välinen konflikti ole signaloinut minkäänlaista uhkaa Suomelle. Se "uhka" luotii414852Veikkauksia milloin Venäjä hyökkää Suomeen?
Veikkaan että se tapahtuu nopeasti, ehkäpä jo kesäkuussa. Suomi 5,5 miljoonan harvaan asuttu maa. Venäjä ei tarvitse suurta joukkoa Suomeen, joten kai290822Uskomatonta miten "kassatyttö Sannasta" tuli hetkessä kuoleman kauppias.
Demarit on kautta historian olleet "takinkääntäjien"mestariluokkaa kokoomuksen hihassa kiinni. Sannan arviointikyky petti täysin Naton suhteen, Brysse347807