Polynomin arvot

Polynomilogi

Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5+13x^4-72x^3+46x^2-4x+50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?

25

687

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Noinkohan

      Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
      f(x)=a{n}*x^{n}+a{n-1}*x^{n-1}+--- +a{1}x+a{0}=0
      voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
      Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.

      • Noinkohan

        Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.


    • polyimuri

      Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:

      (Ax^3+Bx^2+C)^2+(Dx^2+Ex+F)^2=26x^6-30x^5+13x^4-72x^3+46x^2-4x+50

      • Polynomilogi

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.


      • polyimuri
        Polynomilogi kirjoitti:

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...


      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

        Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2+(x^3+2x-1)^2


    • Algebrikko
    • MattiKSinisalo

      Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
      Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
      p(x)=(x^3+2*x-1)^2+(5*x^3-3*x^2-7)^2,
      2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2+(6*x^3-3*x^2+2*x-8)^2,
      4*p(x)=(2*x^3+4*x-2)^2+(10*x^3-6*x^2-14)^2,
      5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2+(11*x^3-6*x^2+2*x-15)^2,
      5*p(x)=(7*x^3-3*x^2+4*x-9)^2+(9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
      8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2+(12*x^3-6*x^2+4*x-16)^2,
      9*p(x)=(3*x^3+6*x-3)^2+(15*x^3-9*x^2-21)^2,
      10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2+(16*x^3-9*x^2+2*x-22)^2,
      10*p(x)=(8*x^3-3*x^2+6*x-10)^2+(14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
      13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2+(17*x^3-9*x^2+4*x-23)^2,
      13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2+(13*x^3-6*x^2+6*x-17)^2,
      16*p(x)=(4*x^3+8*x-4)^2+(20*x^3-12*x^2-28)^2,
      17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2+(21*x^3-12*x^2+2*x-29)^2,
      17*p(x)=(9*x^3-3*x^2+8*x-11)^2+(19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
      18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2+(18*x^3-9*x^2+6*x-24)^2,
      20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2+(22*x^3-12*x^2+4*x-30)^2,
      20*p(x)=(14*x^3-6*x^2+8*x-18)^2+(18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
      ...
      Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.

      • Huutiukko

        Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .


    • arvelus

      Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.

      Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
      ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
      ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista

    • KyllaSeSiitaSuttaantuu

      Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
      Polynomi
      q(x)=58*x^10-42*x^9+11*x^8+42*x^7+53*x^6-160*x⁵+118*x^4+22*x^3-56*x^2-20*x+74

      • polyimuri

        (±7x^5+AX^4+BX^2±7)^2+(±3X^5+CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.


      • matikanyritteliäs

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x-1)^2(x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>0. Mutta 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x=x(58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.


      • matikanyritteliäs
        matikanyritteliäs kirjoitti:

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x-1)^2(x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>0. Mutta 58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x+74>58x^10+42x^9+11x^8-42x^7+53x^6+160x^5+118x^4-22x^3-56x^2+20x=x(58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5+160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

        Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4+118x^3-22x^2-56x^1+20>0 kun x>0 ja 58x^9+42x^8+11x^7-42x^6+53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4+42x^3+11x^2-42x+53>0 kun x>0.


      • matikanyritteliäs

        Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9+11x^8+42x^7+53x^6-160x^5+118x^4+22x^3-56x^2-20x+74=(x^3-x^2-x+1)(58x^7+16x^6+85x^5+85x^4+207x^3+47x^2)+287x^4-138x^3-103x^2-20x+74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x+74=(16x^2-4x-5)^2+(31x^4-10x^3+x^2)+(40x^2-60x+49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3+x^2=x^2(31x^2-10x+1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x+49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.

        Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10+42*x^9+11*x^8-42*x^7+53*x^6+160*x^5+118*x^4-22*x^3-56*x^2+20*x+74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.


      • matikanyritteliäs

        Epäyhtälö 58*x^10+42*x^9+11*x^8-42*x^7+53*x^6+160*x^5+118*x^4-22*x^3-56*x^2+20*x+74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3+56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74+20x>=22x^3+56x^2 koska 74+20>22+56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.


      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        (±7x^5+AX^4+BX^2±7)^2+(±3X^5+CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

        (7x^5-4x^3+6x^2+2x-5)^2+(-3x^5+7x^4-3x^3+7)^2


      • koodimatikisti

        Hmm. Python 2:sta tuo olikin.


      • mathFM

        Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.


      • yksvaanma

        Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.


    • NoinOn

      "Jos taas 0<x<1, on 74+20x>=22x^3+56x^2 koska 74+20>22+56."

      Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.

      • matikanyritteliäs

        Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.

        Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3+56x^2<58+20x<74+20x.


      • matikanyritteliäs

        Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.


    • No mutta se oli ilkeästi sanottu :(

      • Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p


    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Martina oli sarjassaan tänään 32.

      Mutta eikö pyöräily ja uinti ole vahvempia hänellä kuin juoksu? Aikaa on vielä harjoitella ennen Frankfurtin kisoja.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      208
      1660
    2. Sofia miksi soitit torstaina Stefanil ja pyysit käymään kun muka olet ahdistunut.?

      Oliko asia suunniteltu, kun pyysi käymään ja varmasti tiesi et miten Stefan asiaan suhtautuu.Oliko myös Seiskan toimittaja pyydetty tarkoituksella pai
      Kotimaiset julkkisjuorut
      84
      1566
    3. Stepuli itkee facessa

      Haluaisin pyytää julkisesti karseaa käytöstäni anteeksi lähimmiltä, naapureilta ja etenkin Sofialta! Ei ole missään olosuhteissa hyväksyttävää käyttä
      Kotimaiset julkkisjuorut
      96
      1463
    4. Sofia oli ainoastaan rahan takia suhteessa Stefanin ja Nikon kanssa.

      Järkyttävää miten Sofia on käyttänyt hyväksi näitä molempia miehiä ja rahat loppu niin vain haukkumiset tullut kiitokseksi heille.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      254
      1392
    5. Voi kun menisi nyt Stefan katsoo tyttären uutta ponia, viettäisi aikaa hänen kanssa.

      Aika parantaa kaiken ja meillä kaikilla on elämässä vastoinkäymisiä ja yli kyllä pääsee ainakin ajan kanssa.
      Kotimaiset julkkisjuorut
      134
      1361
    6. Minä menetän sinut kokonaan

      Siksi olen paniikissa, sekaisin ja surullinen. Taitaa olla jonkinasteinen stressitila päällä. Toivottavasti sinulla on kaikki hyvin.
      Ikävä
      48
      892
    7. Onpas Martina valinnut sopivan laulun

      Storyssa kun Isben poni tulee, " älä vie lapsuuttani pois." Äiti se lähtee mieluummin panopuuksi hotelliin, kuin viettäisi senkin ajan lastensa kanssa
      Kotimaiset julkkisjuorut
      115
      880
    8. Suomi teki typeryyttään Venäjästä nyt konkreettisesti vihollisen, jota se ei aiemmin ollut.

      Venäjä ei ole uhannut Suomen turvallisuutta, eikä Venäjän ja Ukrainan välinen konflikti ole signaloinut minkäänlaista uhkaa Suomelle. Se "uhka" luotii
      Maailman menoa
      414
      852
    9. Veikkauksia milloin Venäjä hyökkää Suomeen?

      Veikkaan että se tapahtuu nopeasti, ehkäpä jo kesäkuussa. Suomi 5,5 miljoonan harvaan asuttu maa. Venäjä ei tarvitse suurta joukkoa Suomeen, joten kai
      Maailman menoa
      290
      822
    10. Uskomatonta miten "kassatyttö Sannasta" tuli hetkessä kuoleman kauppias.

      Demarit on kautta historian olleet "takinkääntäjien"mestariluokkaa kokoomuksen hihassa kiinni. Sannan arviointikyky petti täysin Naton suhteen, Brysse
      Maailman menoa
      347
      807
    Aihe