Polynomin arvot

Polynomilogi

Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?

26

895

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Noinkohan

      Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
      f(x)=a{n}*x^{n} a{n-1}*x^{n-1} --- a{1}x a{0}=0
      voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
      Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.

      • Noinkohan

        Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.

    • polyimuri

      Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:

      (Ax^3 Bx^2 C)^2 (Dx^2 Ex F)^2=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50

      • Polynomilogi

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

      • polyimuri
        Polynomilogi kirjoitti:

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

        Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2 (x^3 2x-1)^2

    • Algebrikko
    • MattiKSinisalo

      Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
      Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
      p(x)=(x^3 2*x-1)^2 (5*x^3-3*x^2-7)^2,
      2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2 (6*x^3-3*x^2 2*x-8)^2,
      4*p(x)=(2*x^3 4*x-2)^2 (10*x^3-6*x^2-14)^2,
      5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2 (11*x^3-6*x^2 2*x-15)^2,
      5*p(x)=(7*x^3-3*x^2 4*x-9)^2 (9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
      8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2 (12*x^3-6*x^2 4*x-16)^2,
      9*p(x)=(3*x^3 6*x-3)^2 (15*x^3-9*x^2-21)^2,
      10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2 (16*x^3-9*x^2 2*x-22)^2,
      10*p(x)=(8*x^3-3*x^2 6*x-10)^2 (14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
      13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2 (17*x^3-9*x^2 4*x-23)^2,
      13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2 (13*x^3-6*x^2 6*x-17)^2,
      16*p(x)=(4*x^3 8*x-4)^2 (20*x^3-12*x^2-28)^2,
      17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2 (21*x^3-12*x^2 2*x-29)^2,
      17*p(x)=(9*x^3-3*x^2 8*x-11)^2 (19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
      18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2 (18*x^3-9*x^2 6*x-24)^2,
      20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2 (22*x^3-12*x^2 4*x-30)^2,
      20*p(x)=(14*x^3-6*x^2 8*x-18)^2 (18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
      ...
      Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.

      • Huutiukko

        Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .

    • arvelus

      Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.

      Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
      ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
      ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista

    • KyllaSeSiitaSuttaantuu

      Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
      Polynomi
      q(x)=58*x^10-42*x^9 11*x^8 42*x^7 53*x^6-160*x⁵ 118*x^4 22*x^3-56*x^2-20*x 74

      • polyimuri

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

      • matikanyritteliäs

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

      • matikanyritteliäs
        matikanyritteliäs kirjoitti:

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

        Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0 ja 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4 42x^3 11x^2-42x 53>0 kun x>0.

      • matikanyritteliäs

        Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x^3-x^2-x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74=(16x^2-4x-5)^2 (31x^4-10x^3 x^2) (40x^2-60x 49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3 x^2=x^2(31x^2-10x 1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x 49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.

        Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.

      • matikanyritteliäs

        Epäyhtälö 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3 56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

        (7x^5-4x^3 6x^2 2x-5)^2 (-3x^5 7x^4-3x^3 7)^2

      • koodimatikisti

        Hmm. Python 2:sta tuo olikin.

      • mathFM

        Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.

      • yksvaanma

        Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.

    • NoinOn

      "Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56."

      Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.

      • matikanyritteliäs

        Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.

        Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3 56x^2<58 20x<74 20x.

      • matikanyritteliäs

        Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.

    • tractor

      No mutta se oli ilkeästi sanottu :(

      • tractor

        Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p

    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Olen miettinyt kauan

      miten reagoisin, kun näen sinut taas. Ehkä ladannut tuohon hetkeen liikaa odotuksia. Ja sitten kun lopulta olit siinä, h
      Ikävä
      29
      2350

    2. Archie ja Iida ero.

      Suuri kohujen saattelema rakkaustarina on ohi?
      Kotimaiset julkkisjuorut
      128
      2293

    3. Olen levoton takiasi

      Enkä saa itseäni rauhoittumaan
      Ikävä
      158
      2054

    4. Mitä ensi viikolla tapahtuu?

      Mitä toivot, että ensi viikolla tapahtuu?
      Ikävä
      35
      1650

    5. Ostiko maailma sinut minulta?

      Kun et enää resonoi kuin ennen. Kun et enää ihmetellen katso ympärillesi ja pohdi mitä mäen takana on? Ymmärrän ja tue
      Ikävä
      20
      1648

    6. Älä stressaa. Rakastan sua

      Eikä tämä tunne mene pois, se on varmaan jo huomattu kumpikin ❤️
      Ikävä
      51
      1037

    7. Mitä sanoisit mulle?

      Niin, mitä sanoisit mulle! Sille ainoalle, jota rakastat..
      Ikävä
      86
      995

    8. On niin paha olla

      Tarviin jotain jolla turruttaa... Kuka voi auttaa.
      Ikävä
      18
      939

    9. Minna Kuukka joutui jekuttamaan ovelasti TTK:n takia - Tästä oli kyse - Tunnustaa: "No joo, joo..."

      Symppis Minna Kuukka! Minna on kyllä erinomainen valinta Tanssii Tähtien Kanssa -oppilaaksi - vai mitä mieltä olet? To
      Tanssii tähtien kanssa
      24
      932

    10. Onneksi meidän välillä ei ole mitään negatiivista

      Olen tosi iloinen siitä.
      Ikävä
      114
      904
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt