Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?
Polynomin arvot
Polynomilogi
251046
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 25
Vanhimmat
Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
f(x)=a{n}*x^{n} a{n-1}*x^{n-1} --- a{1}x a{0}=0
voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.
Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.
Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:
(Ax^3 Bx^2 C)^2 (Dx^2 Ex F)^2=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.
Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...
Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2 (x^3 2x-1)^2
Sturmin lause on yksi tapa todistaa yhden muuttujan polynomi kaikkialla positiiviseksi. https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem . Online-laskin on osoitteessa https://mathsci2.appstate.edu/~cookwj/sage/algebra/Sturms_method-advanced.html
Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
p(x)=(x^3 2*x-1)^2 (5*x^3-3*x^2-7)^2,
2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2 (6*x^3-3*x^2 2*x-8)^2,
4*p(x)=(2*x^3 4*x-2)^2 (10*x^3-6*x^2-14)^2,
5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2 (11*x^3-6*x^2 2*x-15)^2,
5*p(x)=(7*x^3-3*x^2 4*x-9)^2 (9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2 (12*x^3-6*x^2 4*x-16)^2,
9*p(x)=(3*x^3 6*x-3)^2 (15*x^3-9*x^2-21)^2,
10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2 (16*x^3-9*x^2 2*x-22)^2,
10*p(x)=(8*x^3-3*x^2 6*x-10)^2 (14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2 (17*x^3-9*x^2 4*x-23)^2,
13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2 (13*x^3-6*x^2 6*x-17)^2,
16*p(x)=(4*x^3 8*x-4)^2 (20*x^3-12*x^2-28)^2,
17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2 (21*x^3-12*x^2 2*x-29)^2,
17*p(x)=(9*x^3-3*x^2 8*x-11)^2 (19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2 (18*x^3-9*x^2 6*x-24)^2,
20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2 (22*x^3-12*x^2 4*x-30)^2,
20*p(x)=(14*x^3-6*x^2 8*x-18)^2 (18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
...
Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.
Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .
Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.
Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista
Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
Polynomi
q(x)=58*x^10-42*x^9 11*x^8 42*x^7 53*x^6-160*x⁵ 118*x^4 22*x^3-56*x^2-20*x 74
(±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2
Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.
En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.
Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.
Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0 ja 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4 42x^3 11x^2-42x 53>0 kun x>0.
Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x^3-x^2-x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74=(16x^2-4x-5)^2 (31x^4-10x^3 x^2) (40x^2-60x 49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3 x^2=x^2(31x^2-10x 1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x 49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.
Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.
Epäyhtälö 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3 56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.
(7x^5-4x^3 6x^2 2x-5)^2 (-3x^5 7x^4-3x^3 7)^2
Hmm. Python 2:sta tuo olikin.
Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.
Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.
"Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56."
Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.
Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.
Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3 56x^2<58 20x<74 20x.
Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.
No mutta se oli ilkeästi sanottu :(
Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p