Polynomin arvot

Polynomilogi

Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?

26

918

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Noinkohan

      Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
      f(x)=a{n}*x^{n} a{n-1}*x^{n-1} --- a{1}x a{0}=0
      voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
      Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.

      • Noinkohan

        Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.

    • polyimuri

      Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:

      (Ax^3 Bx^2 C)^2 (Dx^2 Ex F)^2=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50

      • Polynomilogi

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

      • polyimuri
        Polynomilogi kirjoitti:

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

        Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2 (x^3 2x-1)^2

    • Algebrikko
    • MattiKSinisalo

      Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
      Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
      p(x)=(x^3 2*x-1)^2 (5*x^3-3*x^2-7)^2,
      2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2 (6*x^3-3*x^2 2*x-8)^2,
      4*p(x)=(2*x^3 4*x-2)^2 (10*x^3-6*x^2-14)^2,
      5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2 (11*x^3-6*x^2 2*x-15)^2,
      5*p(x)=(7*x^3-3*x^2 4*x-9)^2 (9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
      8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2 (12*x^3-6*x^2 4*x-16)^2,
      9*p(x)=(3*x^3 6*x-3)^2 (15*x^3-9*x^2-21)^2,
      10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2 (16*x^3-9*x^2 2*x-22)^2,
      10*p(x)=(8*x^3-3*x^2 6*x-10)^2 (14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
      13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2 (17*x^3-9*x^2 4*x-23)^2,
      13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2 (13*x^3-6*x^2 6*x-17)^2,
      16*p(x)=(4*x^3 8*x-4)^2 (20*x^3-12*x^2-28)^2,
      17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2 (21*x^3-12*x^2 2*x-29)^2,
      17*p(x)=(9*x^3-3*x^2 8*x-11)^2 (19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
      18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2 (18*x^3-9*x^2 6*x-24)^2,
      20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2 (22*x^3-12*x^2 4*x-30)^2,
      20*p(x)=(14*x^3-6*x^2 8*x-18)^2 (18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
      ...
      Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.

      • Huutiukko

        Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .

    • arvelus

      Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.

      Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
      ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
      ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista

    • KyllaSeSiitaSuttaantuu

      Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
      Polynomi
      q(x)=58*x^10-42*x^9 11*x^8 42*x^7 53*x^6-160*x⁵ 118*x^4 22*x^3-56*x^2-20*x 74

      • polyimuri

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

      • matikanyritteliäs

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

      • matikanyritteliäs
        matikanyritteliäs kirjoitti:

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

        Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0 ja 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4 42x^3 11x^2-42x 53>0 kun x>0.

      • matikanyritteliäs

        Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x^3-x^2-x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74=(16x^2-4x-5)^2 (31x^4-10x^3 x^2) (40x^2-60x 49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3 x^2=x^2(31x^2-10x 1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x 49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.

        Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.

      • matikanyritteliäs

        Epäyhtälö 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3 56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

        (7x^5-4x^3 6x^2 2x-5)^2 (-3x^5 7x^4-3x^3 7)^2

      • koodimatikisti

        Hmm. Python 2:sta tuo olikin.

      • mathFM

        Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.

      • yksvaanma

        Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.

    • NoinOn

      "Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56."

      Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.

      • matikanyritteliäs

        Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.

        Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3 56x^2<58 20x<74 20x.

      • matikanyritteliäs

        Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.

    • tractor

      No mutta se oli ilkeästi sanottu :(

      • tractor

        Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p

    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kaksi rikollista

      "Molemmat vangitut ovat osoitetietojen perusteella kotoisin reilun sadan kilometrin päästä Suomussalmelta. Molemmilla on
      Suomussalmi
      47
      3729

    2. Mitä tekee Rebelwerks?

      Rebelwerks myy melkein kaiken tavaransa. Onko Rebelwerks menettänyt järkensä? Vai onko hän lopultakin tullut järkiinsä
      Taivalkoski
      31
      3280

    3. Vesa Ahola rehellisin valtuutettu?

      Tuli seurattua valtuuston kokous netin kautta. Taitaa valtuutettu Vesa Ahola olla selkeästi rehellisin valtuutettu. Hän
      Kemijärvi
      16
      1797

    4. Oho! Pippa Laukka saa kurimusta tanssiope Marko Keräseltä: "Oli vastaanotto kesken tai ei..."

      Toivotaan, ettei Pippa ja Marko tipu jo heti kättelyssä… Tsemppiä Tanssii Tähtien Kanssa -kisaan! Lue lisää: https://w
      Tanssii tähtien kanssa
      37
      1442

    5. Tere Sammallahti: Sosiaaliturva pois vieraskielisiltä

      Hän viittaa Iltalehden juttuun. IL kertoi maanantaina Kelalta saatuun tilastotietoon perustuen, että vieraskieliset muod
      Maailman menoa
      239
      1368

    6. Nainen, tuskin muistan koska ollaan nähty

      niin pitkä aika siitä on. Suurin ilonaihe elämässäni olit, ja tulevan onnen aamuaurinko. Tunnut niin minun omalta, tutul
      Ikävä
      18
      1341

    7. Jatkoksi ikäero keskusteluun

      Mikä oli ensireaktiosi, kun sait tietää teillä olevan vähän enemmän ikäeroa? Tiesitkö alunperin ikäerosta vai missä vaih
      Ikävä
      79
      1179

    8. Tää on joku molemminpuolinen pakkomiellerakkaushömppä

      Aivan selkee 🤣
      Ikävä
      97
      1106

    9. Dmitri Medvedev: Suomi tuhotaan - kukaan ei enää lue heille muumisatuja

      Helsinki valmistautuu sotaan ja todennäköisesti valmistelee ponnahduslautaa hyökkäykselle Venäjää vastaan, valittaa Venä
      Maailman menoa
      185
      1099

    10. Pilasin kaiken

      No ei voi mitään enää.
      Ikävä
      48
      954
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt