Pisteen lyhin etäisyys paraabelin pisteeseen

onkelmala

Eli esimerkiksi olisi piste (2, 2) ja paraabeli y = x^2 .
Halutaan selvittää, mihin paraabelin pisteeseen on lyhin etäisyys pisteestä (2, 2).

Etäisyyttä kuvaa yhtälö
d=sqrt((2-x)^2 (2-x^2)^2) | ( )^2
d^2=(2-x)^2 (2-x^2)^2

Merkitään d^2 = y
y=(2-x)^2 (2-x^2)^2

Tälle derivaattafunktio on y'=4x^3-6x-4
Huipussa derivaatta on 0
eli 4x^3-6x-4=0
nyt ongelma, miten ratkeaa x? tai onko muuta ideaa miten vastaava tehtävä voitaisiin ratkaista, voidaanko?

7

5229

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Vaihtoehtoja

      Ratkaistaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai numeerisesti.

    • näinkö

      Piirrä pisteestä suora paraabelille. Tämän suoran yhtälö on
      y = ax b
      Suoran on oltava kohtisuorassa paraabeliin nähden, jotta etäisyys on lyhin.
      Muistele mikä on derivaatta ja sen yhteys kulmakertoimeen.
      Saat yhtälön suoran kulmakertoimelle ja tiedät yhden pisteen suoralta, jolloin voit määrittää suoran yhtälön.
      Saat laskettua leikkauspisteen, kun huomaat että leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat samat.
      Kahden pisteen välinen etäisyyden saat pythagoraan kaavasta, kun huomaat muodostuvan kolmion.

      • luulenma

        Tämä yllä on nätti ratkaisutapa. Ja tuossa suoran yhtälössä y = ax b vakio b vain a:sta riippuva funktio.

      • näinkö

        Tarkoitatko siis näin? En ole varma ymmärsinkö oikein :D

        Määritän siis paraabelille derivaattafunktion, y'=2x=k_1
        Se kuvaa tangentin kulmakerrointa.
        Kohtisuorassa sitä vastaan on suora
        k_1 k_2 = -1 => k_2=-1/k_1 = -1/(2x)

        y=kx-kx_0 y_0
        eli
        y=-1/(2x)*x 1/(2x)*2 2=1/x 3/2

        Muodostuu hauska käyrä, jonka leikkauspiste paraabelin kanssa on n. (1,48; 2,19).

      • Kanootti3

        Valitettavasti tällä konstilla (joka on kyllä mukava sinällään, sillä ei tarvita derivaattaa muuhun kuin paraabelin tangentin/normaalin kulmakertoimen tietämiseen) päädytään vain samaan kolmannen asteen yhtälöön
        2x^3 - 3x - 2 = 0.

        Eikä siitä taideta eroon millään konstilla päästäkään, sillä se on tuon ratkaisupisteen x-koordinaatin minimaalipolynomi (kuntalaajennuksessa Q->R) eli alinta astetta oleva jaoton rationaali-kertoiminen polynomi, jonka juuri kyseinen luku on.

        Toisin sanoen kolmansista juurista ei pääse eroon ratkaisussa, joka on

        1/2 ((4 - 2 sqrt(2))^(1/3) (2 (2 sqrt(2)))^(1/3)).

    • Iteraatiorallia

      Ei tuossa x:n ratkaisemisessa mitään ongelmaa ole, kunhan vain on edes funktiolaskin.
      4x^3-6x-4=0
      x=(1 1,5x)^(1/3)

      Kuvasta nähdään, että jossain 1,5 seutuvilla x on, joten tuonne kuutijuuren sisään laitetaan x=1,5
      Siitä tulee: x=1,48....
      Se sitten uudestaan kuutiojuuren sisään, ja tulee x=1,4768...
      Ja vielä kerran, niin tulee: x=1,4759...

      Sitä voisi vielä jatkaa, mutten minä. Tämä on se ratkaisu jota haettiin ja vastaa myös tuota sinun ratkaisua. Kolmannen asteen yhtälö tästä väkisinkin tulee.

      Tästä tehtävästä tulee väkisinkin kolmannen asteen yhtälö x:lle

    • Yksinkertaisesti

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kanki kovana; ei tiedä pornovideoista mitään

      Kaikkosen erityis­avustajan asunnossa kuvattiin pornoa. Väittää ettei tiedä asiasta yhtään mitään. https://www.is.fi/po
      Maailman menoa
      191
      6722

    2. Halaisin sua mies

      Jos voisin 💗
      Ikävä
      37
      2434

    3. Onkohan meillä kummallakin joku pakkomielle toisiimme

      Vähän luulen että on..
      Ikävä
      187
      2139

    4. Mitä tämä on

      Ajatella, olen viimeksi nähnyt sinua melkein vuosi sitten ohimennen. Ja silloinkin sinä välttelit minua. En ole kuullut
      Tunteet
      10
      1433

    5. Ei monet elä kuin alle 60 v, mikä vaikuttaa?

      gulp, gulp.. Juice Leskinen eli 56 vuotta. Matti Nykänen eli 55 vuotta. Topi Sorsakoski eli 58 vuotta.
      Maailman menoa
      120
      1409

    6. Olen valmis

      Kohtaamaan sinut tänä kesänä, jos sellainen sattuma osuu kohdalleni.
      Ikävä
      73
      1097

    7. Hyvää yötä kaivatulleni

      En pysty tekemään kokemaan mitään sielussa tuntuvaa, syvää, vaikuttavaa, ilman että rinnastan sen sinuun. Niin kävi tänä
      Tunteet
      24
      1057

    8. Nyt on konstit vähänä.

      Nimittäin tuulivoiman vastustajilla, kun pitää perättömiä ilmiantoja tehdä. Alkaa olla koko vastustajien sakki leimattu,
      Kiuruvesi
      30
      1035

    9. Tilinpäätösvaltuusto 27.5

      Samalla viimeinen kokous ennen uudenvaltuustokauden alkamista. Vanhat antavat itselleen erinomaiset arvosanat, ja siirty
      Pyhäjärvi
      44
      961

    10. Hakalan asunnossa on kuvattu aikuisviihdesivusto Onlyfansin kautta julkaistu pornovideo.

      Keskustan puheenjohtajan Antti Kaikkosen avustaja Jirka Hakala ei jatka tehtävässään. Keskustan puoluelehti Suomenmaa ke
      Helsinki
      13
      946
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt