Eli esimerkiksi olisi piste (2, 2) ja paraabeli y = x^2 .
Halutaan selvittää, mihin paraabelin pisteeseen on lyhin etäisyys pisteestä (2, 2).
Etäisyyttä kuvaa yhtälö
d=sqrt((2-x)^2 (2-x^2)^2) | ( )^2
d^2=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Merkitään d^2 = y
y=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Tälle derivaattafunktio on y'=4x^3-6x-4
Huipussa derivaatta on 0
eli 4x^3-6x-4=0
nyt ongelma, miten ratkeaa x? tai onko muuta ideaa miten vastaava tehtävä voitaisiin ratkaista, voidaanko?
Pisteen lyhin etäisyys paraabelin pisteeseen
onkelmala
7
5185
Vastaukset
- Vaihtoehtoja
Ratkaistaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai numeerisesti.
- näinkö
Piirrä pisteestä suora paraabelille. Tämän suoran yhtälö on
y = ax b
Suoran on oltava kohtisuorassa paraabeliin nähden, jotta etäisyys on lyhin.
Muistele mikä on derivaatta ja sen yhteys kulmakertoimeen.
Saat yhtälön suoran kulmakertoimelle ja tiedät yhden pisteen suoralta, jolloin voit määrittää suoran yhtälön.
Saat laskettua leikkauspisteen, kun huomaat että leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat samat.
Kahden pisteen välinen etäisyyden saat pythagoraan kaavasta, kun huomaat muodostuvan kolmion.- luulenma
Tämä yllä on nätti ratkaisutapa. Ja tuossa suoran yhtälössä y = ax b vakio b vain a:sta riippuva funktio.
- näinkö
Tarkoitatko siis näin? En ole varma ymmärsinkö oikein :D
Määritän siis paraabelille derivaattafunktion, y'=2x=k_1
Se kuvaa tangentin kulmakerrointa.
Kohtisuorassa sitä vastaan on suora
k_1 k_2 = -1 => k_2=-1/k_1 = -1/(2x)
y=kx-kx_0 y_0
eli
y=-1/(2x)*x 1/(2x)*2 2=1/x 3/2
Muodostuu hauska käyrä, jonka leikkauspiste paraabelin kanssa on n. (1,48; 2,19). - Kanootti3
Valitettavasti tällä konstilla (joka on kyllä mukava sinällään, sillä ei tarvita derivaattaa muuhun kuin paraabelin tangentin/normaalin kulmakertoimen tietämiseen) päädytään vain samaan kolmannen asteen yhtälöön
2x^3 - 3x - 2 = 0.
Eikä siitä taideta eroon millään konstilla päästäkään, sillä se on tuon ratkaisupisteen x-koordinaatin minimaalipolynomi (kuntalaajennuksessa Q->R) eli alinta astetta oleva jaoton rationaali-kertoiminen polynomi, jonka juuri kyseinen luku on.
Toisin sanoen kolmansista juurista ei pääse eroon ratkaisussa, joka on
1/2 ((4 - 2 sqrt(2))^(1/3) (2 (2 sqrt(2)))^(1/3)).
- Iteraatiorallia
Ei tuossa x:n ratkaisemisessa mitään ongelmaa ole, kunhan vain on edes funktiolaskin.
4x^3-6x-4=0
x=(1 1,5x)^(1/3)
Kuvasta nähdään, että jossain 1,5 seutuvilla x on, joten tuonne kuutijuuren sisään laitetaan x=1,5
Siitä tulee: x=1,48....
Se sitten uudestaan kuutiojuuren sisään, ja tulee x=1,4768...
Ja vielä kerran, niin tulee: x=1,4759...
Sitä voisi vielä jatkaa, mutten minä. Tämä on se ratkaisu jota haettiin ja vastaa myös tuota sinun ratkaisua. Kolmannen asteen yhtälö tästä väkisinkin tulee.
Tästä tehtävästä tulee väkisinkin kolmannen asteen yhtälö x:lle - Yksinkertaisesti
Ratkaisukaava:
https://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmannen_asteen_yhtälön_ratkaisukaava
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Miksei voitaisi vaan puhua asiat selväksi?
Minulla on ollut niin kova ikävä sinua, etten oikein edes löydä sanoja kuvaamaan sitä. Tuntuu kuin jokainen hetki ilman481548Sunnuntai terveiset kaivatulle
Maa on vielä valkoinen vaikka vappu lähestyy, otetaan pitkästä aikaa pyhä terveiset kaivatullesi tähän ketjuun !!761355- 241060
Olen päivä päivältä vain varmempi siitä että rakastan sinua
Onhan se tällä tuntemisen asteella jokseenkin outoa, mutta olen outo ja tunne on tunne. 😊871036- 87965
Ai miehillä ei ole varaa maksaa
Treffejä naiselle johon on ihastunut? Ihanko totta dusty miehet? Tekosyy. Haluatko laittaa 50/50 kaikki kulut parisuhtee187896Olet mielessäni
viimeisenä illalla ja ensimmäisenä aamulla. Ihastuin sinuun enkä voi tunteilleni mitään. Jos uskaltaisin, tunnustaisin s20841Verovähennysten poisto syö veronkevennykset pieni- ja keskituloisilta
Kokoomuslaiset ja perussuomalaiset kansanedustajat jakavat kilvan postauksia, jossa kerrotaan miten kaikkien työssäkäyvi99835- 82811
Hei rakas mies. Olisi yksi kysymys, mielellään rehellinen vastaus edes täällä..
Mitä sinä minusta haluat?70779