Pisteen lyhin etäisyys paraabelin pisteeseen

onkelmala

Eli esimerkiksi olisi piste (2, 2) ja paraabeli y = x^2 .
Halutaan selvittää, mihin paraabelin pisteeseen on lyhin etäisyys pisteestä (2, 2).

Etäisyyttä kuvaa yhtälö
d=sqrt((2-x)^2 (2-x^2)^2) | ( )^2
d^2=(2-x)^2 (2-x^2)^2

Merkitään d^2 = y
y=(2-x)^2 (2-x^2)^2

Tälle derivaattafunktio on y'=4x^3-6x-4
Huipussa derivaatta on 0
eli 4x^3-6x-4=0
nyt ongelma, miten ratkeaa x? tai onko muuta ideaa miten vastaava tehtävä voitaisiin ratkaista, voidaanko?

7

5224

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Vaihtoehtoja

      Ratkaistaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai numeerisesti.

    • näinkö

      Piirrä pisteestä suora paraabelille. Tämän suoran yhtälö on
      y = ax b
      Suoran on oltava kohtisuorassa paraabeliin nähden, jotta etäisyys on lyhin.
      Muistele mikä on derivaatta ja sen yhteys kulmakertoimeen.
      Saat yhtälön suoran kulmakertoimelle ja tiedät yhden pisteen suoralta, jolloin voit määrittää suoran yhtälön.
      Saat laskettua leikkauspisteen, kun huomaat että leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat samat.
      Kahden pisteen välinen etäisyyden saat pythagoraan kaavasta, kun huomaat muodostuvan kolmion.

      • luulenma

        Tämä yllä on nätti ratkaisutapa. Ja tuossa suoran yhtälössä y = ax b vakio b vain a:sta riippuva funktio.

      • näinkö

        Tarkoitatko siis näin? En ole varma ymmärsinkö oikein :D

        Määritän siis paraabelille derivaattafunktion, y'=2x=k_1
        Se kuvaa tangentin kulmakerrointa.
        Kohtisuorassa sitä vastaan on suora
        k_1 k_2 = -1 => k_2=-1/k_1 = -1/(2x)

        y=kx-kx_0 y_0
        eli
        y=-1/(2x)*x 1/(2x)*2 2=1/x 3/2

        Muodostuu hauska käyrä, jonka leikkauspiste paraabelin kanssa on n. (1,48; 2,19).

      • Kanootti3

        Valitettavasti tällä konstilla (joka on kyllä mukava sinällään, sillä ei tarvita derivaattaa muuhun kuin paraabelin tangentin/normaalin kulmakertoimen tietämiseen) päädytään vain samaan kolmannen asteen yhtälöön
        2x^3 - 3x - 2 = 0.

        Eikä siitä taideta eroon millään konstilla päästäkään, sillä se on tuon ratkaisupisteen x-koordinaatin minimaalipolynomi (kuntalaajennuksessa Q->R) eli alinta astetta oleva jaoton rationaali-kertoiminen polynomi, jonka juuri kyseinen luku on.

        Toisin sanoen kolmansista juurista ei pääse eroon ratkaisussa, joka on

        1/2 ((4 - 2 sqrt(2))^(1/3) (2 (2 sqrt(2)))^(1/3)).

    • Iteraatiorallia

      Ei tuossa x:n ratkaisemisessa mitään ongelmaa ole, kunhan vain on edes funktiolaskin.
      4x^3-6x-4=0
      x=(1 1,5x)^(1/3)

      Kuvasta nähdään, että jossain 1,5 seutuvilla x on, joten tuonne kuutijuuren sisään laitetaan x=1,5
      Siitä tulee: x=1,48....
      Se sitten uudestaan kuutiojuuren sisään, ja tulee x=1,4768...
      Ja vielä kerran, niin tulee: x=1,4759...

      Sitä voisi vielä jatkaa, mutten minä. Tämä on se ratkaisu jota haettiin ja vastaa myös tuota sinun ratkaisua. Kolmannen asteen yhtälö tästä väkisinkin tulee.

      Tästä tehtävästä tulee väkisinkin kolmannen asteen yhtälö x:lle

    • Yksinkertaisesti

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Kanki kovana; ei tiedä pornovideoista mitään

      Kaikkosen erityis­avustajan asunnossa kuvattiin pornoa. Väittää ettei tiedä asiasta yhtään mitään. https://www.is.fi/po
      Maailman menoa
      88
      4397

    2. Niin voimakkaat tunteet

      Että ajattelin hänen olevan se elämän rakkaus. Silmien edessä vikitteli toista ja hyvästelemättä hylkäs niin tyhjyys jäi
      Ikävä
      20
      2817

    3. Nainen, sinä viisas ja ymmärtäväinen

      sekä hyvällä huumorintajulla varustettu. Kun kaikki muut ovat kaikonneet, vain sinä olet jäljellä. Ellet kestä kirjoituk
      Ikävä
      24
      2684

    4. Puhe on halpaa

      Katso mitä hän tekee.Teot kertoo enemmän kuin tuhat sanaa.Uskokaa punaisia lippuja.Hyvää yötä.
      Ikävä
      44
      1886

    5. Halaisin sua mies

      Jos voisin 💗
      Ikävä
      25
      1736

    6. Onkohan meillä kummallakin joku pakkomielle toisiimme

      Vähän luulen että on..
      Ikävä
      152
      1530

    7. Oletko harrastanut

      seksiä kaivattusi kanssa? 🤔
      Ikävä
      125
      1511

    8. Miksi miehet hermostuvat tyhjästä?

      Olen tässä viimeisen vuoden sisään pudottanut melko reilusti painoa mikä on sitten saanut useammankin lähipiirin aiemmin
      Sinkut
      111
      1471

    9. Nainen, se on vain karu totuus, että

      sinut on luotu synnyttämään ja mies siittämään. Niin on luomakunnassa säädetty ja niin se on. Sinut luotiin heikoksi ja
      Ikävä
      282
      1409

    10. Joko aiheuttamani pettymys

      on lieventynyt? Toivottavasti. Uskallan heittää lentosuukon näin etäältä ja nimettömänä 😘.
      Ikävä
      94
      1360
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt