Eli esimerkiksi olisi piste (2, 2) ja paraabeli y = x^2 .
Halutaan selvittää, mihin paraabelin pisteeseen on lyhin etäisyys pisteestä (2, 2).
Etäisyyttä kuvaa yhtälö
d=sqrt((2-x)^2 (2-x^2)^2) | ( )^2
d^2=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Merkitään d^2 = y
y=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Tälle derivaattafunktio on y'=4x^3-6x-4
Huipussa derivaatta on 0
eli 4x^3-6x-4=0
nyt ongelma, miten ratkeaa x? tai onko muuta ideaa miten vastaava tehtävä voitaisiin ratkaista, voidaanko?
Halutaan selvittää, mihin paraabelin pisteeseen on lyhin etäisyys pisteestä (2, 2).
Etäisyyttä kuvaa yhtälö
d=sqrt((2-x)^2 (2-x^2)^2) | ( )^2
d^2=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Merkitään d^2 = y
y=(2-x)^2 (2-x^2)^2
Tälle derivaattafunktio on y'=4x^3-6x-4
Huipussa derivaatta on 0
eli 4x^3-6x-4=0
nyt ongelma, miten ratkeaa x? tai onko muuta ideaa miten vastaava tehtävä voitaisiin ratkaista, voidaanko?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Ratkaistaan kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavalla tai numeerisesti.
Piirrä pisteestä suora paraabelille. Tämän suoran yhtälö on
y = ax b
Suoran on oltava kohtisuorassa paraabeliin nähden, jotta etäisyys on lyhin.
Muistele mikä on derivaatta ja sen yhteys kulmakertoimeen.
Saat yhtälön suoran kulmakertoimelle ja tiedät yhden pisteen suoralta, jolloin voit määrittää suoran yhtälön.
Saat laskettua leikkauspisteen, kun huomaat että leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat samat.
Kahden pisteen välinen etäisyyden saat pythagoraan kaavasta, kun huomaat muodostuvan kolmion.
Tämä yllä on nätti ratkaisutapa. Ja tuossa suoran yhtälössä y = ax b vakio b vain a:sta riippuva funktio.
Tarkoitatko siis näin? En ole varma ymmärsinkö oikein :D
Määritän siis paraabelille derivaattafunktion, y'=2x=k_1
Se kuvaa tangentin kulmakerrointa.
Kohtisuorassa sitä vastaan on suora
k_1 k_2 = -1 => k_2=-1/k_1 = -1/(2x)
y=kx-kx_0 y_0
eli
y=-1/(2x)*x 1/(2x)*2 2=1/x 3/2
Muodostuu hauska käyrä, jonka leikkauspiste paraabelin kanssa on n. (1,48; 2,19).
Valitettavasti tällä konstilla (joka on kyllä mukava sinällään, sillä ei tarvita derivaattaa muuhun kuin paraabelin tangentin/normaalin kulmakertoimen tietämiseen) päädytään vain samaan kolmannen asteen yhtälöön
2x^3 - 3x - 2 = 0.
Eikä siitä taideta eroon millään konstilla päästäkään, sillä se on tuon ratkaisupisteen x-koordinaatin minimaalipolynomi (kuntalaajennuksessa Q->R) eli alinta astetta oleva jaoton rationaali-kertoiminen polynomi, jonka juuri kyseinen luku on.
Toisin sanoen kolmansista juurista ei pääse eroon ratkaisussa, joka on
1/2 ((4 - 2 sqrt(2))^(1/3) (2 (2 sqrt(2)))^(1/3)).
Ei tuossa x:n ratkaisemisessa mitään ongelmaa ole, kunhan vain on edes funktiolaskin.
4x^3-6x-4=0
x=(1 1,5x)^(1/3)
Kuvasta nähdään, että jossain 1,5 seutuvilla x on, joten tuonne kuutijuuren sisään laitetaan x=1,5
Siitä tulee: x=1,48....
Se sitten uudestaan kuutiojuuren sisään, ja tulee x=1,4768...
Ja vielä kerran, niin tulee: x=1,4759...
Sitä voisi vielä jatkaa, mutten minä. Tämä on se ratkaisu jota haettiin ja vastaa myös tuota sinun ratkaisua. Kolmannen asteen yhtälö tästä väkisinkin tulee.
Tästä tehtävästä tulee väkisinkin kolmannen asteen yhtälö x:lle
Ratkaisukaava:
https://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmannen_asteen_yhtälön_ratkaisukaava